初中数学教学中的分类方法与分类思想

　　摘 要： 在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。它不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法。分类思想不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。本文作者谈了初中数学教学中几种重要的分类方法，并讲述了在法则、定理、公式导出过程中，学生应如何应用分类讨论的思想。让学生学会用这种思想方法解决问题，是培养学生思考周密性、条理性的前提条件，对提高学生的思维能力和解决问题的能力有很大作用。
　　关键词： 初中数学教学 分类方法 分类思想
　　
　　一、初中数学教学中几种重要的分类方法
　　所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性的分类讨论思想，贯穿于整个初中数学的全部内容中。学习分类方法可以增强思维的缜密性。在教学中渗透分类思想时，应让学生了解到所谓的分类就是选取适当的标准，需要根据对象属性x，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法是解决问题的关键所在。下面我就简单谈几种分类方法。
　　（一）根据数学的相关法则性质或特殊规定进行分类。
　　例如，学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类讨论大于0、等于0、小于0这三种情况对应方程的解。
　　分析：此题的符号决定能否开平方，是分类的依据，通过移项不等式可以化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0、a-2=0和a-2<0三种情况分别解不等式。
　　（二）根据数学的概念分类。
　　有些数学概念是经过分类得出的，解答此类题目，一般就可以按概念的分类形式进行分类。
　　例题：化简：|a-4|—|a+6|
　　分析：这要按绝对值的意义进行分类求解。需要分三种情况：绝对值>0时，绝对值<0时和等于0时，分类讨论，得出结果。
　　再如：当m为何值时，函数y=（m+3）x2m+l+4x-5（x≠0）是一次函数？
　　分析：这要根据一次函数的概念进行分类求解。
　　（三）根据图形的特征或相互间关系进行分类。
　　1.三角形按角分类可以分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
　　2.二次函数二次项系数正负关系到抛物线开口方向。
　　3.直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离，直线与圆相切，直线与圆相交，等等。
　　例题：等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，底边长为a，则腰上的高是多少？
　　分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高，可得出两种不同的答案：高=（四）根据几何图形中的点和线出现不同的位置进行分类。
　　例如在证明圆周角定理时，由于圆心的位置分为在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况。因此分析时三种不同情况就要分别进行讨论证明。可以先证明圆心在圆周角的一条边上，这是最容易解决的，然后通过作过圆周角顶点的直径利用先证明的（圆心在圆周角的一条边上）的情况来分别解决圆心在圆周角的内部和外部这两种的情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。初中数学教材中，在证明弦切角定理即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角时，也要分圆心在弦切角的一条边上、弦切角的内部和弦切角的外部三种不同情况来解决。
　　例题：⊙O的半径为OA=l，弦ABBAC的度数是多少？分析：根据两弦的位置的不同进行分类，最后就可以求得∠BAC=75°或l5°。
　　再如交于A、B两点。两圆半径分别是25和17，AB=30，则圆心距是多少？
　　分析：根据两圆的位置进行分类就可以求得圆心距为28或12。
　　二、在法则、定理、公式导出过程中的分类思想
　　有些数学性质、公式或定理在不同条件下是会有不同结论的，或者可以说结论只有在一定限制条件下才能成立。这就需要教师在教学的过程中逐步体现分类讨论思想，分类讨论在什么条件下成立，结论如何，等等。
　　比如：正比例函数的图像，它的递减或递增性就要取决于k小于0还是大于0，这就需要分类来进行验证。
　　再如：不等式的运算性质要按不等式的两边同时乘以或同除以同一个正数或负数的不同来决定不等号方向是否改变。
　　又如：初中课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证明？这就需要学生在自主画图测量、分析讨论才能回答的，否则就失去了从一般到特殊、从特殊到一般的思维过程，当然也就无法体会到分类证明的目的和优点。
　　学生在教师的引导下兴趣盎然地进行探索活动，会逐步体会到恰当的分类可增加题设的条件，即可以把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况。这样就拓宽了解决问题的思路，以化繁为简。
　　其实分类讨论的本质就是由特殊到一般、由复杂到简单，分而治之。只要学生掌握住这种思想，解起比较难解的题时也会思路清晰，得心应手。如，学会了证明圆周角定理之后，在学习弦切角定理的证明时，学生们就可以自主运用再次认识“分类讨论的思想”的探究过程。在数学教学中，教师应该重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。
　　三、结语
　　总之，分类的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，它的灵活掌握需要有个潜移默化的过程，不能急于求成，是要在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的。因此，教师要在在日常教学中要在根植于课本的基础上，着眼于提高；要善于挖掘出各种教学资源中所蕴含的分类的思想方法，不失时机地引导学生建立分类的思想，揭示分类思想的本质，进行渗透、概括、提炼与强化，使学生能够自觉合理地运用分类的思想解决相应的数学问题。掌握分类的数学思想方法，可以提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质，也有利于学生数学思维的建立与发展。
　　
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