平面的法向量在解题中的应用

　　如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称向量垂直于平面α，记作⊥α。如果⊥α，那么叫做平面α的法向量。结合线面垂直的知识，不难知道平面的法向量有以下简单性质:
　　性质1：平面的法向量不唯一，即一个平面的法向量有无数个，这些向量平行（或共线）。
　　性质2：平面的法向量与平面内的任意向量垂直。
　　性质3：平面的法向量与平面平行的线段表示的向量垂直。
　　利用平面的法向量，可以求二面角的大小、线面角（直线与平面所成角）的大小、以及点到平面的距离。
　　一、求二面角的大小
　　如图1-1和图1-2，向量、分别是平面α、β的法向量，α∩β=l。在二面角α-l-β内任取一点P，作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，作AC⊥l于C，连结BC，则有BC⊥l，于是∠ACB是二面角α-l-β的平面角。由平面几何知识易知∠ACB与∠APB互补;要求∠ACB，只需求∠APB或其邻补角即可。由平面的法向量的性质1、2，问题转化为求向量、的大小及其它们的夹角。在具体解题中，依据性质2列方程组求出、，继而求出cos<，>，后，根据题给条件判断出所求二面角是钝二面角还是锐二面角，然后表示出所求二面角的大小（特殊值对特殊角，不是特殊值，用反三角函数表示），判断方法如下：不妨设cos<，>=m。
　　（Ⅰ）当m∈（0，1）时，（1）若二面角是钝二面角，则其大小为πUhXY9wIIMVSQzItRklmi2iYLwSLw+yB7czFNbdfaPng=-arccosm；（2）若二面角是锐二面角，则其大小为arccosm。
　　（Ⅱ）当m∈（-1，0）时，（1）若二面角是钝二面角，则其大小为arccosm或π-arccos|m|；（2）若二面角是锐角二面角，则其大小为arccos|m|。
　　例1：（2007全国Ⅱ卷、理19、交20）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点。
　　（Ⅰ）证明EF∥平面SAD;
　　（Ⅱ）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小。
　　本文只完成（Ⅱ）的解答，后面所举例题同。
　　解：建立如图2所示的坐标系o-xyz。设CD=a，则SD=2a，于是D（0，0，0），A（a，0，0），E（a，，0），F（0，，a）。令平面AEF的法向量=（x，y，z），平面DEF的法向量=（x，y，z），则有·=0·=0，·=0·=0
　　即（x，y，z）·（0，-，0）=0（x，y，z）·（-a，0，a）=0，（x，y，z）·（-a，-，0）=0（x，y，z）·（-a，0，a）=0
　　于是=（1，0，1）；=（1，-2，1）。
　　∴cos<，>==
　　由题知，二面角A-EF-D是锐二面角，于是其大小为arccos.
　　二、求线面角
　　设AP是平面α的一条斜线段，斜足为A，PB⊥α于B，平面α的法向量为，则：
　　（1）当与同向时，如图3-1，cos<，>=cos<，>=，于是：
　　∠PAB=-arccos=arcsin.
　　（2）当与反向时，如图3-2，-cos<，>=cos<，>=<0，于是：
　　∠PAB=-arccos=arcsin.
　　综上述：∠PAB=-arccos=arcsin.
　　例2：（2005全国Ⅱ卷）如图4，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。
　　（I）求证：EF⊥平面PAB；
　　（II）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。
　　解：建立如图所示的坐标系o-xyz。设AD=PD=1，则F（，，），D（0，0，0），A（0，1，0），C（，0，0），E（，0，0），令平面AEF的法向量为=（x，y，z），
　　则有·=0·=0，即（x，y，z）（，-，）=0（x，y，z）（，-1，0）=0，
　　∴=（，1，-1）.
　　又=（，-1，0），
　　于是cos<，>==，
　　所以AC与平面AEF所成角的大小为arcsin.
　　三、求点到平面的距离
　　由图3-1和图3-2知，在△PAB中||=cos∠APB·||=||=cos∠APB·||=|cos<·>|·||=·||=.
　　例3：（2006湖北卷）如图5，已知正三棱柱ABC-ABC的侧棱长和底面边长均为１，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC上的点，且CN=2CN。
　　（Ｉ）求二面角B-AM-N的余弦值；
　　（II）求点B到平面AMN的距离。
　　解：建立如图所示的坐标系O-xyz，则M（0，0，0），A（-，0，0），N（0，，），B（0，-，1）.
　　令平面AMN的法向量为=（x，y，z），则有·=0·=0，即（x，y，z）（-，0，0）=0（x，y，z）（0，，）=0，
　　∴=（0，4，-3）.
　　又=（0，-，1），
　　于是，设点B到平面AMN的距离为d，则：
　　d===1.