在集体环境噪声下两个二能级原子的纠缠演化

谭美元,王 琼,刘 军,曾浩生

(湖南师范大学物理系低维量子结构和量子控制教育部重点实验室，中国 长沙 410081)

量子纠缠是量子计算与量子信息处理的重要资源，因此屏蔽环境对纠缠的影响是顺利进行量子计算与量子信息处理的前提．正因为如此，人们对噪声作用下纠缠的演化特性产生了浓厚的兴趣，对各种噪声环境下(包括振幅阻尼[1-3]、相位阻尼[4-6]、退极化阻尼和其他更复杂的噪声环境[7-8])，纠缠的动力学演化行为进行了认真的研究，并提出了一些保护纠缠的理论方案[9-11]．尤其是在实验中已观测到纠缠死亡的现象[12-14]．然而这些研究一般都是基于独立环境模型，并且都是针对一种特殊的初态——X态进行的．本文将研究两个二能级原子系统同一个集体环境噪声的相互作用，并在非常一般的初态条件下，求出系统的精确解，从而能更加方便的研究其他非X态的纠缠动力学行为．我们发现当系统初始处于纠缠态时，其纠缠既可以以单调递减的方式、也可以以振荡衰减的方式发生纠缠死亡；而当系统初始处于直积态时，可以出现有限时间内的纠缠产生与死亡的振荡．

考虑两个二能级原子1和2，把它们放在同一真空量子腔中，该腔的作用是模拟集体真空环境．总系统的哈密顿量为

H=HA+HF+HI,

(1)

(2)

(3)

(4)

在马尔可夫近似下，可推出原子的约化密度算符满足的主方程：

(5)

HA+HΩ描述原子态的相干演化，HA由方程(2)给出，HΩ是由真空场引起的原子偶极-偶极相互作用，其表达式为：

(6)

系数Ω描述原子间有效的偶极作用强度．(5)式的最后一项表示原子的自发辐射，其表达式为:

(7)

(8)

通过拉普拉斯变换后得

(9)

|Ψin〉 = a|00〉+ b|01〉+ c|10〉+d|11〉，

(10)

可以求得精确的解析解

ρ33=ρ33(0)e-4Γ0t,

-ρ23(0)(Γ0+Γr)e(iω0-iΩ-3Γ0-Γr)t],

ρ03=ρ03(0)e2(iω0-Γ0)t,

ρ13=ρ23=ρ23(0)e(iω0+iΩ-3Γ0-Γr)t.

有了这些密度矩阵，就可以计算任意时刻两原子之间的纠缠度．衡量两量子比特系统纠缠度最有效的手段之一就是利用所谓的Concurrence[15].

C=max(0,λ1-λ2-λ3-λ4)，

(11)

(12)

σy是Pauli矩阵．当C=0时表示两原子没有纠缠，而C=1表示两原子处在最大纠缠．

在图1中，我们描述了初始直积态

(sinθ|0〉1+cosθ|1〉1)⊗(sinθ|0〉2+cosθ|1〉2)

(13)

在图3中，我们绘出了初始处于纠缠态，其纠缠随时间的演化．从图中可以看出，随着耗散系数的增大，纠缠死亡越快．当耗散系数较少时，不但纠缠死亡得慢，而且会呈现振荡的形式；而当耗散系数较大时，纠缠单调地减少直至死亡．

图1 初始直积态(13)在集体环境下纠缠的时间演化，其中ω0=0.8,Ω=0.5,Γ0=0.1,Γr=0.01.环境以减幅振荡的方式诱导纠缠的产生和死亡,直至最后的纠缠消失

图2 不同的耗散系数下，初始直积态在集体环境下的纠缠演化，其中ω=0.8,Ω=0.5.耗散较小时，出现振动式的纠缠产生与死亡；耗散较大时，可只呈现单次的纠缠产生现象

图3 在不同的耗散系数下，初始态的纠缠随时间的演化，其中ω0=0.8,Ω=0.5.当耗散较小时，纠缠以振动的方式衰减；当耗散较大时，纠缠非振动地衰减

总之，我们研究了两个二能级原子系统和一个集体噪声环境的相互作用．在一个非常一般初始态下，求出了原子系统的解析解，并以此研究原子系统的纠缠演化．发现当原子系统初始无纠缠时，集体环境的诱导作用会使系统产生纠缠，然后在耗散作用下纠缠以振荡的方式减少，直至最后死亡．对初始处于纠缠的原子态，由于耗散的作用，总的来说纠缠随时间逐渐减少．耗散系数越大，纠缠死亡得越快，而且由振荡递减的方式变为单调递减的方式，直至纠缠的最后死亡．

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