一类p-Laplacian系统同宿轨道的存在性

肖 莉

(中南大学数学科学与计算技术学院，中国 长沙 410081)

考虑p-laplacian系统

(1)

其中p>1,t∈R,u∈Rn,l:R→R,W:R×Rn→R,f∈C(R,Rn).通常，我们说(1)的解u(t)同宿于零，即指当t→±∞,u(t)→0.另外，如果u(t)≢0,则u(t)为非平凡同宿解.

当p=2,f=0,(1)退化为下列二阶哈密顿系统

(2)

Rabinowitz和Tanaka[1]在l和W没有周期假设的条件下，利用不含PS条件的山路引理获得(2)的同宿轨道的存在性.

受文献[1～8]的启发，我们将证明系统(1)具有一个非平凡同宿解,获得定理如下：

定理1假定l,W，f满足l∈C(R,(0,+∞))且l(t)→+∞,|t|→∞，以及下面的假设：

(H3)W2(t,0)≡0且存在常数ρ∈[2,μ)使得对任意t∈R,x∈Rn有

(3)

则系统(1)具有一非平凡同宿解.

1 预备知识

(4)

则I∈C1(E,R),

(5)

进一步，I在E中的临界点就是系统(1)的古典解且u(±∞)=0.

利用一般形式的山路引理，我们将获得I的临界点.由于I的极小极大性质提供的临界值对定理证明非常重要.因而，可引入下面的引理.

引理1[6]设E是一实Banach空间，I∈C1(E,R)满足PS条件.如果I满足下列条件:

Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e}.

引理2[5]设a>0和u∈H1(R,Rn).则对任意t∈R,下列不等式成立：

(6)

推论1[5]设u∈H1(R，Rn),则对任意t∈R,下面不等式成立：

(7)

引理3对于u∈H1(R,Rn),有

(8)

对于u∈E,有

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

所以

对任意t∈R,选择k∈N满足t-k

(14)

(15)

利用(14)，可得

l(s)|u(s)|p-2(u(s),u(s))]ds,k∈N.

可知(10)成立.

类似地，利用(15)可证明(11).证明完毕.

(16)

2 定理的证明

定理1的证明显然I(0)=0.首先证明I满足PS条件.假定当k→+∞,I′(uk)→0,{uk}k∈N⊂E是一序列满足{I(uk)}k∈N有界.则存在常数c>0满足

(17)

(18)

(19)

类似可得|uk(t)|p≤ηp,t≤-T,k∈N.记在X中，uk⇀u0,容易验证uk(t)收敛于u0(t),t∈R.因而得到

|u0(t)|≤η,t∈(-∞,-T]∪[T,+∞).

(20)

因l(t)≥c>0,t∈[-T,T]=J,定义算子S：X→H1(J):u→u|J是线性连续映射.这样，在H1(J)中， uk⇀u0.由Sobolev’s定理[8]可知在J中，uk→u0一致成立,因此存在k0∈N满足

(21)

另一方面，由(18)～(21)得到

2ε(‖uk‖p+‖u0‖p)≤4εAp,k∈N.

(22)

(23)

(24)

这证明了‖u‖=ρ且有I(u)≥α.

最后，还可证明I满足引理1的假设(iii).设a1=max{W2(t,x)|t∈[-2,2],x∈Rn,|x|=1},a2=max{W2(t,x)|t∈[-2,2],x∈Rn,|x|≤1}.则通过引理4，0≤a1≤a2<∞，

取ω∈E满足

(25)

对ζ>1,利用引理4，有

(26)

：

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