关于Finsler递归定理的几点注记

燕子宗，尹 飞

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

关于Finsler递归定理的几点注记

燕子宗，尹 飞

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

Finsler递归定理和S-引理，是二次约束二次优化问题的2个基本结果。它们以及由Finsler递归定理发展起来的双边投影定理在鲁棒优化和控制领域扮演十分重要的角色。利用二次函数的连通特性证明了Finsler递归定理和S-引理的等价性，并给出了双边投影定理的一个新证明。

Finsler递归定理；S-引理；双边投影定理

Finsler递归定理主要有以下2个结果。

定理1[1]设A，B是n阶对称矩阵且B是不定的，则存在t∈R使得A+tB半正定当且仅当：

xTBx=0⟹xTAx≥0

(1)

定理2[1](严格Finsler递归定理) 设A,B是n阶对称矩阵,则存在t∈R使得A+tB正定当且仅当：

x≠0xTBx=0⟹xTAx≥0

(2)

作为S-过程的最早结果，Finsler递归定理有很长的历史并被重新证明多次[2]。由定理2发展起来的双边投影定理，在控制论的稳定性分析中发挥重要作用[3,4]。S-过程处理多个二次约束下二次优化的可解性问题。1971年，Yakubovich[5]对单个二次约束下二次优化的可解性给出了如下S-引理。

定理3[5](S-引理) 设A和B是对称实矩阵，二次不等式：

xTAx≥0

(3)

xTBx≥0

(4)

成立的充分必要条件是存在非负常数λ≥0使得B-λA半正定。

下面，笔者将证明定理1与S-引理的等价性，并给出了双边投影定理的一个新证明。

1 Finsler递归定理与S-引理的等价性

在对定理1和定理3等价性证明之前，首先对齐二次映射构成的锥给出一个连通性结果。为了叙述方便，引入记号：

(5)

代表由实对称矩阵A∈Rn×n确定的二次锥，使用记号0(A)分别代表集合(A)所有内点构成的集合。

引理1设A∈Rn×n为对称矩阵，则集合(A)-{0}至多由2个连通区域构成。

证明当A半正定时，(A)为全空间Rn,(A)-{0}仅包含一个连通区域。当-A半正定时，(A)为原点集合，因此(A)-{0}为空。以下讨论A是不定的情况。不妨假定A是对角矩阵且对角元素为1，-1或者0，因此二次锥(A)可以表示为如下形式：

(6)

式中，1≤klt;m≤n。

若k=1，由锥优化理论[6]可以知道，(A)由2个关于原点对称的2个二阶锥构成，于是结论成立。

若kgt;1，令x2=…=xk-1=0和xk=1，则二次锥(A)包含一个连通子集：

下面给出定理1和定理3的等价性证明。

(1)定理1⟹定理3。

不妨设B是不定矩阵，由定理3的假设可以得到A也是不定矩阵。由定理1知，存在实数t使得B+tA半正定。另一方面，由定理3的假设知，若x1∉0(-B)，则x1∉0(-A)。这一事实说明当t≥0时，B+tA不可能半正定，因此tlt;0。此外，若B是半正定矩阵，当然t可以等于0。于是引理1得证。

(2)定理3⟹定理1。

定理1假设蕴涵如下包含关系：

(7)

2 双边投影定理的新证明

μPTP-Hgt;0

(8)

当且仅当：

(9)

引理3[3](Gahinet-Apkarian) 设A∈Sn是对称矩阵，且具有3×3分块。则存在矩阵X使得：

(10)

当且仅当：

(11)

引理2和引理3的证明参见文献[7,8]

Iwasaki-Skelton，Gahinet-Apkarian各自独立的获得了如下双边投影定理，它是定理2的一个新扩展。下面给出双边投影定理及其一个新的证明。

定理4设H∈Sn是对称矩阵，P，Q是适当维数矩阵，NP和NQ分别是由核空间N(P)和N(Q)的任意一组基作为列向量构成的矩阵，则存在矩阵X使得：

H+PTXTQ+QTXPlt;0

(12)

当且仅当：

(13)

证明必要性显然，下证充分性。设V1是N(P)∩N(Q)的一组基作为列向量构成的矩阵，将其分别扩充为N(P)和N(Q)的一组基，记扩充的列向量构成的矩阵记为V2和V3，即：

R(V1，V2)=N(P)R(V1，V3)=N(Q)

这里R(·)代表由矩阵的列向量构成的线性空间。由线性代数知识得到，V1，V2和V3的列向量构成N(P)⊕N(Q)的一组基。令V=(V1，V2，V3)，则V列满秩。

取R(P)∩R(Q)一组基作为列向量构成矩阵A，则：

P+PA=Q+QA=A

或者等价地，有：

ATP+P=ATQ+Q=AT

显然AT的核空间N(AT)=N(P)⊕N(Q)。令X1=(QT)+AATP+，则有：

由V的构造知，PV=(O，O，PV3)，QV=(O，QV2，O)，因此有：

由引理3知，在条件(13)的假定下，存在Y使得：

(14)

其中：

3 结 语

双边投影定理3的证明是对Gahinet-Apkarian给出证明的一种修改，该证明同时应用了引理2和引理3。这2个引理都是定理4的特殊形式。例如在定理4中令P=Q可得引理2，若令：

P=(O，O，I)Q=(O，I，O)

则有：

将其分别代入到式(12)和式(13)中就可以得到式(10)和式(11)，即得引理3。

[2]Uhlig F.Onaffine scaling algorithm about pairs of quadratic forms and exetnsions:A survey[J].Linear Algbra Appl,1979,25:219～237.

[3]Gahinet P,Apkarian P.A linear matrix inequality approach toH∞control[J].Int J Robust and Nonlinear Control,1994,(4):421～448.

[4]Iwasaki T,Skelton R E.All controllers for the generalH∞control problem:LMI existence conditions and state space formulas[J].Automatica,1994,30(8):1037～1317.

[5]Yakubovich V A.S-procedure in nonlinear control theory[J].Vestnik Leningrad Univ,1971,(1):62～77.

[6]Ben-Tal A，Nemirovski A.Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis,Algorithms and Engineering Applications[A].MPS-SIAM Series on Optimization[C].2001.

[7]黄琳.稳定性与鲁棒性的理论基础[M].北京：科学出版社，2003.

[8]俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.

[编辑] 洪云飞

O177.91;O224

A

1673-1409(2010)01-N021-03