方向差交会中水平位移可靠算法研究＊

陈德标

(丽水职业技术学院,丽水 323000)

方向差交会中水平位移可靠算法研究＊

陈德标

(丽水职业技术学院,丽水 323000)

针对当前方向差交会法数据处理中存在的问题,通过合理定义方向差的正负号,导出水平位移最大值可靠算法。基于“验算”思路,推导了符号系数 K的实用判别式和最大位移方向可靠算法,避免了异常区域计算错误。最后模拟算例验证了算法的可靠性和正确性。

方向差交会法;水平位移;最大值;位移方向;模拟算例

1 引言

前方交会在水平位移、主体倾斜等变形监测中应用广泛,其水平位移计算方法有两种：一是由两周期观测方向值之差,直接解算坐标变化量的“方向差交会法”;二是计算每周期观测点的坐标值,再以坐标差计算水平位移[1,2]。当前由坐标差计算水平位移的方法成熟。在直接由方向差计算水平位移过程中,常以图解方式作答 (如秒差作图法[3]),或以图解结果作为反三角函数项“±”号的取值依据[4],但文献[5]未交代水平位移分矢量与矢量投影之间关系,文献[6]给出了由“角差”计算最大倾斜量 e和倾斜方向αOO′的通用公式:

式中 eA、eB由α、β变化所决定,角值变大时为正,反之为负。同时规定三角函数项“±”的取值规则为“同号取正、异号取负,且以数值代入计算”。

多数情况下,两式能正确求得水平位移最大值和位移方向,但存在一些不足和不严密之处。式(1)有“±”号,需人为判断,不方便;式 (2)“±”号取值规则不严密,当 eA、eB绝对值差异大时,易出现计算错误。由上分析知,方向差交会中水平位移可靠算法研究具现实意义。

2 水平位移最大值可靠算法

如图 1、图 2所示,O为某建筑物底部观测点或首期观测位置,O′为顶部观测点或后期观测位置; A、B为基线端点,顾及坐标代码选用习惯,A、B、O3点顺时针编号,与文献[6]编号相反;βA、βB为实测水平角,交角γ=180°-βA-βB;基线长度 SAB通过钢尺丈量或坐标反算求得,测站至 O点的距离 SA、SB由正弦公式求出;Δ βA、Δ βB为瞄准 O、O′时的方向差,仿测量坐标系,规定右偏为正、左偏为负,注意在本文A点处,此约定与文献[6]角差符号约定相同,B点处则相反。另外为了分析方便,以AO右侧垂线为坐标主轴,建立局部坐标系 X′OY′。

因为Δ βA、Δ βB均为小角,故总水平位移 e在AO垂线上的投影值 eA=Δ βASA;在BO垂线上的投影值eB=Δ βBSB。

图 1 γ＜90°方向差同号Fig.1 Same sign of direction difference asγ＜90°

图 1中 eA、eB均为正,根据矢量求和三角形法则(或平行四边形法则),在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的计算公式如下:

图 2中,eA为负 ,eB为正,夹角为 180°-γ,分矢量夹角∠A′OB′=γ,在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的计算公式为:

注意此式与式(3)最终表达式完全相同。经分析 eA、eB均为负,或 eA正 eB负,式 (3)同样适用,同时交角γ大小也不影响公式使用。

3 最大位移方向可靠算法

3.1 系数 K异常区域分析

如图 1、图 2所示,在局部坐标系 X′OY′中,水平位移最大值 e的方向,即OO′方向用αmax表示。

式中,反三角函数项符号系数 K=±1,具体取值与eA、eB正负号、γ大小及最大位移方向有关,现分述如下。

1)当γ=90°时

根据反余弦坐标方位角计算公式,显然有 eB≥0,K=+1;eB＜0,K=-1。

2)当γ＞90°时

如图 3所示,令ω=γ-90°,多数情况下,K的取值规则与γ=90°时相同。但最大位移方向在 (0, ω)∪(180°,180°+ω ]阴影区时,将出现异常,且注意到此时 eA、eB异号,绝对值差异大。

当最大水平位移处在OO′方向,其方位角在(0, ω)内。此时Δ βA右偏,eA为正;Δ βB左偏,eB为负。据图解 K理应取 +1,规则与γ=90°时相反。

当最大位移方向位于 (180°,180°+ω]时,Δ βA左偏,eA为负;Δ βB右偏,eB为正。据图解 K理应取-1,规则亦与γ=90°时相反。

3)当γ＜90°时

如图 4所示,令ω=90°-γ,其情况与γ＞90°时类同。最大位移方向在[-ω,0)∪(180°-ω,180° )阴影区时,将出现异常,且注意到此时 eA、eB同号,绝对值差异大。此区域内 K取值规则亦与γ=90°时相反。

图 3 γ＞90°时,K取值异常区Fig.3 Kabnor mal area ofKvalue asγ＞90°

图 4 γ＜90°时,K取值异常区Fig.4 Kabnormal area ofKvalue asγ＜90°

3.2 K值可靠算法

鉴于上述分析,可知 K不能简单依据 eA和 eB正负号取值,它还与γ大小及最大位移方向有关,经分析,可用下式确定 K值:

式中,sign(x)为符号函数,abs(x)为绝对值函数。

式(5)含义是:总水平位移 e在 BO右侧垂线(局部坐标方位角为γ)上的投影反演值,必须与实测值相等。当αmax确为 cos-1(eA/e)时,位移投影反演验算值等于实测值 eB,abs(x)项为 0,顾及计算误差和符号取值需要,引入 e/1 000项,K取值 +1。当αmax不为 cos(eA/e)时,位移投影反演验算值与实测值 eB差异明显,abs(x)项远大于 0,K取值 -1。判别式(5)经大量数据验算正确可靠。

3.3 最大位移方向统一方位角计算

参见图1、图2,设直线AB在统一坐标系中的方位角为αAB统一,最大位移方向为αmax统一,则:

4 算法验证

基于 Excel,拟定测站坐标A(200,200)、B(100, 100);交会三角形内角βA=45°、βB=18°。计算得交角γ=117°,首期交会点坐标 O(200,150.9525),方位角αAO=270°、αBO=27°,距离 SAO=49.047 5 m、SBO=112.232 6 m,AO右侧垂线方位角为 0°(局部坐标系与统一坐标系重合)。接着以 O为基准点,起始方位 5°,步长 20°,半径 0.2 m,算出验算圆圆周上各 Ci点坐标。进而算出测站A、B至 Ci的方位角,并与αAO、αBO比较,得方向差Δ βA、Δ βB。然后顾及距离 SAO、SBO,得投影值 eA和 eB。再按式 (3)、(5)、(4)计算水平位移最大值 e、系数 K和位移方向αmax。最后根据文献[6]的计算思路,参照本文点号顺序和方向差正负号的约定,且暂不考虑 eA=0或 eB=0之特例,式 (2)修正为式 (7),算出最大位移方向,相关计算结果见表 1。

从表 1可以看出,水平位移最大值的计算值与理论值 0.2 m相差甚微。因方向差交会法本身不是严密算法,最大位移方向αmax与理论值有所差异,误差大的可能有数分,这对一般工程没实质影响。同时注意到,e理论方向为 5°或 (25°、185°、205°)∈(0°,27°)∪(180°,207°]时,K取值异常,即与 eB符号相反,应用式(5)避免了错误。

反观式(7),绝大部分计算正确,但 e理论方向为 105°或 (285°)∈(90°,117°)∪(270°,297°)时,计算所得 128°55′46″、309°04′11″,与正确方向的差数分别是 23°55′46″、24°04′11″,该差值为 2cos-1(abs(eB)/e),表明此时反三角函数项的符号系数错了。进一步分析知,最大位移方向αmax位于BO过O点垂线与AO所夹之锐角(交角γ与 90°之差)区域内时,式(7)计算结果均不正确。

上述分析表明,本文算法比式 (2)及修正后的式(7)可靠。

5 结束语

针对性地提出“右偏为正、左偏为负”的方向差正负号定义规则,导出方向差交会中水平位移最大值可靠算法,去除“±”,方便计算。并指出反三角函数项符号系数 K取值存在异常区域,基于“验算”思路,推得实用判别式,得出最大位移方向可靠算法。最后模拟算例验证了该算法的可靠性、正确性和易编程性,完善了方向差交会法,可有效地减少水平位移计算错误。

表 1 水平位移可靠算法验算结果Tab.1 Results from checking horizontal displacement algorithm

1 JGJ 8-2007.建筑变形测量规范 [S].2007.(JGJ 8-2007.Standard for defor mation measurement for building and structure[S].2007)

2 GB 50026-2007.工程测量规范[S].2007.(GB 50026-2007.Standard for engineering surveying[S].2007)

3 陈龙飞,金其坤.工程测量[M].上海：同济大学出版社, 1990.(Chen Longfei and JingQikun.Engineering surveying [M].Shanghai：TongjiUniversity Press,1990)

4 王再华,柳广杰.塔形建构主体倾斜测量[J].测绘通报, 2005,(9)：29-31.(Wang Zaihua and Liu Guangjie.Inclination surveying for tower building[J].Bulletin of Surveying andMapping,2005,(9)：29-31)

5 平海庆,等.高屋建筑物倾斜观测的一种新方法[J].北京测绘,2006,(3)：34-37.(Ping Haiqing,et al.A new method of tall building oblique observation[J].Beijing Surveying andMapping,2006,(3)：34-37)

6 彭伟平.烟囱倾斜变形观测的新方法及其应用[J].测绘通报,2004,(10)：38-41.(PengWeiping.A new method for deformation measurement of chimney inclination and its application[J].Bulletin of Surveying and Mapping,2004, (10)：38-41)

STUDY ON REL IABLE ALGORITHM FOR HORIZONTAL D ISPLACEM ENT IN D IRECTION D IFFERENCE INTERSECTION

Chen Debiao
(L ishui Vocationalamp;Technical College,Lishui 323000)

Aiming at the problem in data processing of direction difference intersection,a reliable algorithm for the maximum horizontal displacement is derived through defining direction differencec’s plus-minus.To avoid incorrect calculation of abnormal area,practical discriminant of the code coefficientKand the reliable algorithm of maximum displacement direction are derive,the reliability of improved method is verified through simulation examples finally.

direction difference intersection;horizontal displacement;maximum;displacement direction;simulation example

1671-5942(2010)05-0140-04

2010-02-23

浙江省丽水科技计划项目(200903)

陈德标,男,1970年生,工程硕士,讲师,主要从事工程测量、地下管线测量的教学和实践工作.E-mail：cdb203@163.com

P212+.2

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