在三个状态下两个相同部件并联的可修系统解的稳定性分析

阿不都克热木阿吉白丽克孜玉努斯

1.新疆大学数学与系统科学学院; 2.新疆大学机械工程学院

在三个状态下两个相同部件并联的可修系统解的稳定性分析

阿不都克热木1阿吉1白丽克孜2玉努斯2

1.新疆大学数学与系统科学学院; 2.新疆大学机械工程学院

本文用C0-半群理论和正算子理论证明三个状态下两个相同部件并联的可修系统时间依赖解是强渐近稳定的.

C0 -半群; Dirichlet 算子; 谱; 豫解集

1，引言

随着科学技术的发展，电子产品以及信息网络的广泛应用，系统的可靠性、稳定性分析变得 越来越重要.三个状态下两个相同部件并联的可修系统在通讯、计算机网络等领域中有广泛 的应用， 所以研究该系统的适定性和稳定性分析不但从理论还是从实际都具有重要意义.在三个状态下由两个相同部件组成的并联可修系统由以下方程组描述

其中p0(t)表示在时刻t两个部件完好的概率； p1(x，t)表示在时刻t一个部件完好另一个部件故障并且故障的部件在(x，x+dx]内被修好的概率；λ表示部件的平均寿命； μ(x)表示部件的修复率， 满足

k表示正比失效率: k=1时表示并联；0＜k＜1时表示热备；k =0时表示冷备.当两个部件都完好时，一个部件工作， 一个部件储备， 储备的部件的失效率为k λ.在文献[1]中作者在以下的条件下

用Laplace变换研究了此模型.他给出了解的Laplace 变换公式，即得到了解的存在性.在文献[2]中作者用C0-半群理论证明了该模型的非负解的存在唯一性.在文献[3]中当系统冷备及修复率函数μ(x)为常数μ时通过研究相应算子的谱特征得到了该系统的解 p(x， t)的强渐近稳定性。在文献[4]中作者当修复率函数μ(x)满足0＜μ≤μ()≤μ＜∞时通过直接估计冷备状态下系统的主算子的预解式得到了该系统的时间依赖解的强渐近稳定性.在文献[5]作者中当修复率函数 μ() 满足0＜μ≤μ()≤μ＜∞时， 证明了冷备状态下系统的间依赖解的是指数稳定的.到这里， 我们自然回提出这样一个问题: 对修复率函数μ(x) ， 在热备与并联状态下系统的该系统的时间依赖解是否强渐近稳定性的？这是一个没有解决的问题。要证明， 采取估计预解式的方法是不行的， 即估计预解式是非常困难的事情.为了克服这个困难， 避免过于繁琐的计算， 在本文中，我们将利用主算子的特征方程的技巧，当修复率函数μ(x)为有界可测函数且系统在冷备、热备与并联状态下时证明该模型的时间依赖解是强渐近稳定的，即该模型的时间依赖解按范数意义下趋向于0。由此看出， 文献[3]与文献[4]的结果是本文结果的特殊情况。取

为状态空间.显然X是一个Banach空间.为简单起见， 以下引入算子及其定义域。

其中， ψ是如下的线性泛函:

D是在空间W1，1[0，∞)上的如下算子:

定义算子 (A， D(A)) 如下:

则以上方程(1)～(4) 可以写为Banach空间 X 中的抽象常微分方程:

在文献[2]中作者得到了以下结果:

定理1算子(A，D(A)) 生成正压缩C0-半群 (T(t))t≥0.

2 主要结果

在这一段中我们首先研究算子 A 的谱特征， 然后研究系统时间依赖解 p(x， t) 的渐近稳定性.如果我们定义算子 (A0，D(A0 )) 如下:

那么根据[4，Lemma1.2]， 对任意γ∈ρ(A0)， 有

经过简单计算可以表示 ker(γ-Am ) 中的元素如下:

由于 L是满射，对每个

是可逆的(见[6，Lemma1.2])。我们把它的逆记为

并且称D γ为Dirichlet算子.

下面的是D γ的具体表达式:

引理1对每个γ∈ρ(A0)， 有

如下用算子 D γ和 Φ 来表示相应算子 A 的特征.为此，我们就象在文献[7，Sect.3]中的方法给出如下定义:

引理2 设γ∈ρ(A0)，若存在γ0∈C，使得

证明 就象在文献[7， Prop.3.3]方法一样， 我们首先证明

因为我们有

所以由此可知， γ∈A 可逆当且仅当 I∈BR(γ， A0 ) 可逆.由于

由此可知， I-BR(γ，A0)可逆等价于1∈/σ(ΦD γ)， 因此，(8)成立.由假设1∈/σ(ΦDγ0)可推出γ0∈ρ(A)， 即ρ(A)=从而由[8， Prop.IV.2.17]得到σ(A)=σ(A)，

由于A是A在X0的限制.这表明(7) 成立.

证明 注意到

并且设γ∈iR，γ=ai.对0≤k≤1， 我们可以估计ΦDγ的范数如下:

[1] 史定华.随机模型的密度演化方法[M].北京∶ 科学出版社.1999.

[2] 艾尼·吾甫尔.一类两个相同部件并联的可修系统的适定性[J].应用泛函分析学报.2001,3, 188–192.

[3] 阿不都克热木·阿吉,尼牙孜·苏来曼.一类两个相同部件并联的可修系统解的渐近稳定 性[J].新疆大学学报(自然科学版).2004, 21(3), 265–271.

[4] 仲彦军, 张苹.冷备状态下两个相同部件并联的可修系统解的渐近性质[J].信阳师范学院 学报(自然科学版).2006, 19(2), 141–143.

[5] 张峰, 热扎依丁·夏木西丁.冷备状态下两个相同部件并联的可修系统的进一步研究[J], 新 疆大学学报(自然科学版).2008, 25(4), 416–420

[6] Greiner G.Perturbing the boundary conditions of a generator[J].Houston J.Math.1987,13, 213–229.

[7] Kramar M, Sikolya E.Spectral Properties and Asymptotic Periodicity of Flows in Networks[J].Math.Z.2005, 209, 139-162.

[8] Engel K-J, Nagel R.One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations[M].Graduate Texts in Mathematics, vol.194, Springer-Verlag, 2000.

[9] Nagel R.One-parameter Semigroups of Positive Operators[M].Springer-Verlag, Berlin, 1986.

[10] Arendt W, Batty C J K, Hieber M, et al.Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems[M], Monographs in Mathematics, vol.96, Birkh¨auser Verlag, 2001.

10.3969/j.issn.1001-8972.2010.11.014

新疆大学博士基金项目(No.BS080108)资助