曼宁公式及其误差分析

贾界峰 赵井卫 陈客贤

1 曼宁公式(Manning's formula)

曼宁公式是1889年提出的,反映了水流与河床之间的部分关系以及河床内部各因素间的相互关系。当工程中不知道河道水位流量关系曲线时,用曼宁公式推求是必要的手段。

水文计算流量所依据的河流横断面,称为水文断面,又称形态断面,形态断面的流速和流量计算常常用到曼宁公式[1,2],其基本表达式为:

其中,v为断面平均流速,m/s,对于复式断面,河槽与河滩的断面平均流速应分别计算;n为粗糙系数,糙率;m为n的倒数,为水力半径,m;i为洪水比降,以小数计。

水文断面的流量计算为:

单式断面时:Q=Av;

复式断面时:Q=Acvc+Atvt=Qc+Qt。

其中,Q为全断面总流量,m3/s;A为过水断面面积,m2;Ac,At分别为河槽与河滩的断面过水面积,m2;vc,vt分别为河槽与河滩的断面平均流速,m/s;Qc,Qt分别为河槽与河滩的流量,m3/s。

2 误差分析

2.1 误差的提出

2.2 误差的推求

水力半径 R为过水断面面积与其湿周的比值,若以X表示湿周,则 R=A/X,代入上式则有:

以断面平均水深h代替水力半径R时流量计算公式为:Q1=B为水面宽,两种方法计算流量成果的相对误差为:

把 Q1和 Q的表达式代入式(1),整理得:

式(2)就是以平均水深h代替水力半径R利用曼宁公式计算流量的误差公式。可以看出,其误差系统是偏大的。

张仲平道：“至于，当然至于，像我们这样在这么一个有创意的地方碰上，算什么？算缘份啦。你主动开口求我点事，被我的电话打忘了，我罪过大了，求求你，你还是赶紧把那问题想起来吧，别让我难过了，好吗？”

2.3 不同断面形状的具体误差分析

2.3.1 矩形断面

矩形断面形状如图1所示。

矩形断面的湿周 X1=B+2h,式(2)可写为:

规范规定:断面的宽深比大于100称为宽浅河道,以断面平均水深 h代替水力半径 R,计算的流量误差

当B/h→∞时,δ→0,也就是说,矩形断面宽浅河道以断面平均水深h代替水力半径R计算的流量误差范围在0%～1.33%之间。宽深比B/h越大,则误差越小。对于矩形断面窄深河道,流量计算误差大于1.33%,且宽深比B/h越小,则误差越大。表1给出了矩形断面不同宽深比所对应的流量计算误差。

表1 矩形断面 B/h—δ关系表

参照《水文资料整编规范》给出的水位流量关系水力因素法定线指标对系统误差的规定,系统误差不能超过2%。要使系统误差不大于2%,利用式(3)可得最小宽深比应大于66.3。

2.3.2 三角形断面

三角形断面的流量误差,除与宽深比有关外,还受三角形形状的影响。

对于等腰三角形断面,过水面积 A=Bhmax/2,又因 A=Bh,所以 h=hmax/2,即 hmax=2h。

则误差公式为

对于直角三角形断面(断面形状如图2所示),X3=

则误差公式为

对于宽浅河道,h≤B/100,代入式(4),则 δ≤0.05%;代入式(5),则δ≤1.34%。表2给出了等腰、直角三角形断面不同宽深比所对应的流量计算误差。

表2 三角形断面 B/h—δ关系表

2.3.3 “U”形断面

“U”形断面的湿周X4介于矩形断面湿周X1和等腰三角形断面湿周X2之间,所以按照规范系统误差不超过2%的要求,最小宽深比应在16.2～66.3之间。但“U”形断面更接近于矩形断面,为保证流量计算精度,“U”形断面的宽深比 B/h宜大于66.3。

3 结论与建议

1)断面的宽深比大于100时,以断面平均水深h代替水力半径R利用曼宁公式计算流量,矩形断面引起的流量误差 δ≤1.33%;等腰三角形断面引起的流量误差δ≤0.05%;直角三角形断面引起的流量误差 δ≤1.34%;“U”形断面引起的流量误差 δ≤1.33%。

2)对于较为普遍的“U”形断面,当 B/h≥66.3时,可采用断面平均水深代替水力半径进行计算,成果的系统误差不超过2%。

3)对于等腰三角形断面,当B/h≥16.2时,可采用断面平均水深代替水力半径进行计算,成果的系统误差不超过2%;对于直角三角形断面,当B/h≥67.3时,可采用断面平均水深代替水力半径进行计算,成果的系统误差不超过2%;对于其他任意三角形断面,为保证流量计算精度,宽深比 B/h宜大于67.3。

4)实际中应根据实测断面计算各级水位的宽深比,不可盲目采用断面平均水深代替水力半径进行流量计算。

5)对采用断面平均水深代替水力半径进行的有关计算中,建议规范中采用断面平均水深代替水力半径的宽深比的标准可以适当放宽,并给出不同形态断面采用的具体宽深比限值,而不能只用一个限值套用所有的断面形式。

[1] 刘润生,李家星,王培莉.水力学[M].南京:河海大学出版社,1992.

[2] 高东光.桥涵水文[M].北京:人民交通出版社,2008.

[3] 中华人民共和国行业标准,水文资料整编规范[S].

[4] 中华人民共和国交通部,公路工程水文勘测设计规范[S].