一类具有正负系数一阶中立型微分方程的振动性

石艳香,刘桂荣

一类具有正负系数一阶中立型微分方程的振动性

石艳香1,2,刘桂荣2

(1.广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;2.山西大学数学科学学院,山西太原030006)

考虑一类具有正负系数一阶中立型微分方程

建立该方程一切解振动的两个充分性条件.

中立型微分方程;振动性;最终正解

本文考虑一类具有正负系数一阶中立型微分方程

总假定

并且p(t)-q(t-τ+σ)≥0且最终不等于零.本文的目的是建立方程(1)所有解振动的新的充分性条件.

对方程(1),当i=1时的振动性已经有了许多不同的充分性判断[1,3-5].在文[1]中作者对以下方程

给出了其振动的充分性条件.显然问题(2)是问题(1)的特例.需要强调的是,在本文中,运用文[2]的方法给出方程(1)振动的新的充分性条件,所得的结论与由方程(2)直接推广到方程(1)所得的结论相比,前者要弱.

方程(1)的解称为振动,如果它的解有充分大的零点;称为非振动,如果它的解最终正或最终负.

引理 (A1)假设存在θ∈(0,1],使得

若y(t)是方程(1)的一个最终正解,且设

则z′(t)≤0,z(t)>0.

证明 从方程(1)和式(3),有

下证z(t)>0.假设z(t)<0,那么存在T≥t0和β<0,满足:z(t)<β<0,t≥T.因此由(3)和已知条件有

得到矛盾.

对上式取上极限,当k→∞时,有

得到矛盾.故z(t)>0.引理得证.

下面给出本文的主要结论.

定理1 假设条件(A1)成立,且

(A2)p(t)>0,q(t)>0,且

(A3)存在函数αi(t)∈C([t0,+∞],R+)(i=1,2,…,l)满足:

(A4)存在正连续函数

则方程(1)的所有解振动,如果存在T,当t≥T时,下列任意一个条件成立:

证明 否则,若方程(1)有一个最终正解y(t),设z(t)如(3)式,则由引理得z(t)>0,z′(t)≤0.且z(t)≤y(t),当t≥T1≥t0.由方程(1),条件(A2),(A3),有

即

设

则λ(t)>0.由(5)式可以诱导出

(I)条件(i)成立,存在一个δ∈(0,1)满足

另一方面,由文[6](引理2.1),(A2)和(7)式,有

由(A4)知事实上,则存在一个点列,满足tk≥ max{T1,T}+max{γ,τ},且令λ(tk)=min{λ(t),t∈[T1,tk]},k=1,2,…,从(6)式有

则当s≥T2,有

对s取下极限,有

令δ λ0=λ1,有

因为T2≥T,λ1>0,则(9)式与(8)式矛盾.

(II)条件(ii)成立,由(6)式,有λ(t)H(t)≥p(t)-q(t-τ+σ),则代入(6)式,有

类似于(I)的证明,如果条件(ii)满足,从(10)式可以完成证明;如果条件(iii)满足,从(11)式可以完成证明.定理得证.

由于ex≥ex,且ex>1,x>0,我们从定理1得到下面推论.

推论1 假设条件(A1)-(A4)成立,且

则方程(1)的所有解振动.

定理2 假设条件(A1)-(A4)成立,且

(A5)令hi(t)=t-γi,g(t)=t-τ,t≥t0,i=1,2,…,l.

则方程(1)的所有解振动,如果存在T,当t≥T时,下列任意一个条件成立:

证明 否则,若方程(1)有一个最终正解y(t).类似于定理1的证明过程,可以推导出:

令

则λ(t)>0,且由(12)式可以推导出

从(14)式,有λ(t)H(t)≥p(t)-q(g(t)+σ),代入(13)式有,

类似于定理1的证明,如果条件(i)满足,从(13)式可以完成证明;如果条件(ii)满足,从(15)式可以完成证明.定理得证.

类似于推论1,我们从定理2得到下面推论.

推论2 假设条件(A1)-(A5)成立,且

则方程(1)的所有解振动.

注 本文得到的两个充分性条件以及两个充分性推论是对文[1]中研究的方程的推广:文[1]关于方程(2)的振动结果都需要如下的假设条件:

这是一个充分条件,本文在不需要上述条件的情况下建立方程(1)振动的新的充分性条件.同时,本文对文[2]进行了改进,文[2]中当l=2时给定的系数都是正的,而本文研究的方程既有正系数,也有负系数.

[1] SHEN J H,DEBNATH L.Oscillations of Solutions of Neutral Differential Equations with Positive and Negative Coefficients[J].A pplied Mathematics Letters,2001,14:775-781.

[2] WANG Qi-ru.Oscillation Criteria for First-order Neutral Differential Equations[J].A pplied Mathematics Letters,2002 (15):1025-1033.

[3] WANG Qi-ru.Oscillation Theorems for First-order Nonlinear Neutral Functional Differential Equations[J].Computers Math A ppl,2000,39(5/6):19-28.

[4] FARREL K,GROVE E A,LADAS G.Neutral Delay Differential Equations with Positive and Negative Coefficients[J]. A ppl A nal,1988,27:181-197.

[5] LALLI B S,ZHANGB G.Oscillation of First order Neutral Differential Equations[J].A ppl A nal,1990,39:265-274.

[6] GYORI L.On the Oscillatory Behavior of Solutions of Certain Nonlinear and Linear Delay Differentail Equations[J].Nonlinear A nal,1984,8(5):429-439.

two sufficient conditions are obtained for oscillation of all solutions of the neutral equation.

Oscillation of the First Order Neutral Differential Equation with Positive and Negative Coefficients

SHI Yan-xiang1,2,LIU Gui-rong2
(1.School of Mathematics and Inf ormation Sciences,Guangzhou University,Guangzhou510006,China; 2.School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

neutral differential equation;oscillation;eventually positive solution

For the first order neutral differential equation with positive and negative coefficients

O175

A

0253-2395(2010)02-0161-05