Zakharov-Kuznetsov方程新的周期解和孤立波解

高 云, 乐励华

(东华理工大学数学与信息科学学院,江西抚州 344000)

Zakharov-Kuznetsov方程新的周期解和孤立波解

高 云, 乐励华

(东华理工大学数学与信息科学学院,江西抚州 344000)

随着非线性科学的发展,许多物理、工程技术和数学模型都可以转化为非线性方程,如非线性常微分方程、偏微分方程等。非线性方程的求解已经成为非线性科学领域的一个重要研究课题。Zakharov-Kuznetsov方程 (简称 ZK方程)作为非线性方程中重要的一类,是由 Zakharov和 Kuznetsov在 1974年提出的,该方程是 KdV方程在二维空间的典型推广形式之一,因此研究该方程具有广泛的理论意义和实践意义。本文用拓展的双曲函数正切法,借助 Riccati方程的解,结合Mathematical数学软件,得到 Zakharov-Kuznetsov方程新的显示精确解,包括周期解和孤立波解.所给的方法还可以用来求解其它的一大类非线性发展方程。

Zakharov-Kuznetsov方程;Riccati方程;周期解;孤立波解

非线性波动方程被广泛地应用到物理、工程技术和数学等众多领域,如非线性光学、量子论、流体力学等。Zakharov-Kuznetsov方程 (简称 ZK方程)作为非线性波动方程中重要的一类,近年来受到了很多数学和物理学者的关注,也取得了一些有价值的研究成果:应用 Backlund变换和齐次平衡法(Chen Y,et al.,2003)得到 ZK方程的显式解;利用相容性方法 (Yan et al.,2006)求出了 ZK方程的某些精确解;用试探函数法 (冯庆江等,2010;刘常福等,2008)求 ZK方程的孤子解;Jacobi椭圆函数展开法 (刘式适等,2001);还有一种直接方法等(LOU et al.,2005;Ma,2005)。笔者在以上文献的基础上给出新辅助方程与 ZK方程的一种新形式解相结合的方法,借助 Riccati方程的解 (韦雪敏等,2010),结合 Mathematica数学软件,求出 ZK方程新的精确解。这种方法构造非线性发展方程(组)的新精确解有重要的意义。

1 新的辅助方程

假设给定的非线性发展方程

具有行波解 u(x,y,t)=u(ξ),ξ =kx+cy+w t,将该解代入上面方程得常微分方程

假设该方程的解为

其中 ai(i=0,1,…,n)为待定常数,n是由齐次平衡法确定的自然数,在双曲正切函数法中取tanh(ξ)=φ(ξ),φ(ξ)由 Riccati方程所确定 ,φ′=qφ2+pφ +r(p,q,r是可变化的常数 )。将 u(ξ),φ′代入 G(u,uξ,uξξ,uξξξ, …)=0,并令 u(ξ)的各次幂的系数为 0,得到一个以 ai(i=0,1,…,n),w,p,q,r为未知量的代数方程组,利用Mathematica软件求该方程组的解,再把每一组解与φ(ξ)的解代回u(ξ),就得到要求非线性发展方程的精确解。

2 具体例子

其中 p,q,r是可变化的常数。平衡最高阶导数项 uξξ?

求解 ZK方程和最高次非线性项 u2,可得 n=2,则

其中 A,B是非零的实常数,且 A2-B2>0.

把情形一的值与φ1～φ7的值分别代入 (5)式,从而得方程 (1)的周期解为

3 结论

本文通过构造辅助方程,把求解非线性偏微分方程的问题转化为求解线性方程组的问题,不同于利用分式变换法 (刘常福等,2008)求解,并借助符号计算系统Mathematica求出了 ZK方程的一些新的精确解,这些解在其它的文献中尚未出现过,这些新解有助于对 ZK方程的进一步深入了解。此方法同样可以用来求解其它非线性方程或方程组。

冯庆江,李岩,杨利.2010,用试探函数法求 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解[J].长春大学学报,20(6):8-11.

刘常福,戴正德,林清梅.2008.改进的 Zakharov-Kuznetsov方程的精确分式解[J].西南大学学报:自然科学版,30(9):1-5.

刘式适,傅遵涛,刘式达.2001.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,50(11):2068-2073.

韦雪敏,朱小军.2010.广西科学院学报.26(2):103-106.

Chen Y,LiB,Zhang H Q.2003.Backlund transformation and exact solutions for a new genetalized Zakharov-Kuznetsov equations with nonlinear ter ms of any order[J].Commun.Phys.39:135-140.

Lou S Y,Ma H C.2005,.Non-Lie symmetry groups of(2+1)-dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method[J].J.Phys,A:Math.Gen.38:L129-135.

Ma H C.2005.simple method to generate Lie point symmetry groups of the(3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equation[J].Chin.Phys.Lett.,22:554-557.

Yan ZL,Liu X Q.2006.Symmetry reductions and explicit solutions for a generalized Zakharov-Kuznetsov equation[J].Commun.Theor.Phys.45:29-32.

A New Periodic and SolitaryWave Solutions to Zakharov-Kuznetsov Equation

GAO Yun, LE Li-hua
(School ofMathematics&Infor mation Science,East China Institute of Technology,Jiangxi Fuzhou 344000,P.R.C)

W ith development of nonlinear science,a lot of physics,engineering,and mathematicsmodels can be changed into nonlinear equations,such as nonlinearODE,PDE.Solving nonlinear equations has become an important research topic in the field of nonlinear science.In 1974 Zakharov and Kuznetsov posed the nonlinear Zakharov-Kuznetsov equation(ZK equations in short),which is an important nonlinear equations for a class.This equation is one of the best known two-dimensional generalizations of the KdV equation.Studying this equation is important not only in theory but also in practice.In this paper,by using extend hyperbolic tangent function,with the aid of solutions of Riccati equation and Mathematica sof tware,Zakharov-Kuznetsov equation obtains the new explicit exact solutions,which contain periodic solutions and solitarywave solutions.The method can be used to solve other nonlinear developing equation.

Zakharov-Kuznetsov equation;Riccati equation;periodic solutions;solitarywave solutions

O175

:A

:1674-3504(2010)04-393-05

10.3969/j.issn.1674-3504.2010.04.016

2010-10-12

高 云 (1986—),女,硕士研究生,计算数学专业.方向:微分方程。