辅助函数法在一些数学问题中的应用

王利霞

（苏州高等职业技术学校，江苏 苏州 215011）

辅助函数法在一些数学问题中的应用

王利霞

（苏州高等职业技术学校，江苏 苏州 215011）

辅助函数法是处理和解决数学问题的一种重要思想方法。在高等数学解题中，往往不是直接对问题本身进行求解，而是根据问题以及所给的已知条件，巧妙地构造一个适当的辅助函数，从而间接有效的解决问题。

辅助函数法；极限；零值定理；罗尔定理

一、辅助函数在求极限中的应用

思路总结：构造恰当的辅助函数；化离散变量为连续变量，而且还必须考虑连续变量相应的极限过程（x→0或 x→+∞），如本例中用罗必达法则的过程；求解的关键在于考虑辅助函数极限的求得。

二、辅助函数在证明不等式中的应用

有关解不等式的问题，一般是运用比较法、分析法、综合法等。然而，运算很麻烦，且不易得到结果。这时，若针对所解决的问题构造一个辅助函数，则原来问题的求解或证明，就转化为对这一函数性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最值、连续和微积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了。

思路总结：（1）利用作商法比较；（2）构造恰当的辅助函数；（3）充分利用对数的性质求解。

三、辅助函数在证明等式中的应用

微分中值定理是数学分析的基础之一,它的重要性是不言而喻的。所以很多证明题就是考察能否灵活运用中值定理。而在中值定理的应用中又以罗尔定理的应用居多。下面先介绍两个定理：

零值定理：设函数 f( x)在闭区间[a,b]上连续，且f( a)· f( b) ＜ 0，则必存在 ξ∈ (a, b)使f(ξ)=0成立。这是介值定理的一种特殊情况。

罗尔定理：若函数f( x)在有限闭区间[a,b]上连续,在(a, b)上可导,并且 f( a) =f( b),则必 ∃ξ∈ (a, b),使得f′(ξ) = 0.

例3 设f( x)在[a,b]上连续，且 a ＜c＜d ＜b，证明：在 (a,b)内 至 少 ∃ 一 个 ξ ， 使 得pf (c)+qf(d)=(p +q)f(ξ)，其中p，q为任意正常数。

证明 构造辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)，由题设可知F(x)在[a,b]上连续。

∴当 f(c)-f(d )≠0时，又 p＞0,q＞0，于是有F(c)F(d)=-pq[f(c)-f(d)]2＜0

由零值定理可知，至少∃一个 ξ∈(c ,d)⊂(a,b)，使得F(ξ)=0，即 pf (c)+qf(d)=(p +q)f(ξ)。

例 4 设函数f( x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且 f (0)=1， f (1) = 0，证明存在一点 ξ∈ (0,1)使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0。

证明 构造辅助函数 F(x )=xf(x)

由已知条件知F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且有F(0)=F (1)=0，即F(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件，从而在区间(0,1)至少存在一点ξ，使得 F'(ξ)=0，即

思路总结：先构造辅助函数F(x)，根据已知条件验证F (x)满足的条件，然后再根据零值定理和罗尔定理得证。问题的关键在于构造恰当的辅助函数，而辅助函数构造的依据就是已经掌握的熟悉的有关定理。

四、辅助函数在讨论方程根中的应用

论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考，另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了。

例5 设 a0,a1, …, an为满足

证明：方程 a0+a1x+a2x2+…+anxn=0在(0,1)内至少有一个实根。

在x=1处的函数值F(1)恰好是式子（*），因此该命题可利用罗尔定理来证。

思路总结：（1）只知f(x)在[a,b]或(a,b)上连续，而没有说明f(x)是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明；

（2）作出f(x)的一个原函数F(x)，证明F(x)满足罗尔定理条件，从而得出f(x)的零点的证明。

例6 试讨论方程 xe-x=a(a ＞0)的实根。

解 构造辅助函数 F(x)=xe-x-a，则方程xe-x=a的实根个数相当于F(x)的零点个数。为此研究F(x)的单调性及极值（或最值）。令 F′(x)=(1-x)e-x=0⇒x=1，列表：

x （－∞,1） 1 （1,＋∞）F ＋↑'(x)) F(x) (e-1-a极大值－↓

∵ x=1是F(x)唯一的驻点， F (1)= e-1-a为(-∞,+∞ )上的极大值，因此也是最大值，以下就是F (1)= e-1-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点。

10若 F(1 )=e-1-a＜0，即(1, e-1-a)位于x轴的下方，由表单调性所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点。

20若 F(1 )=e-1-a=0，即 (1,e-1-a)位于x轴上，由表所示，F(x)与x轴除 (1, e-1-a)点外再不会相交，因此F(x)只有唯一的零点。

30若 F(1)=e-1- a＞0，即 (1,e-1-a)位于x轴的上方 ， 由 表 可 知 F(x)在 (-∞,1)内， 且，可知F(x)在(-∞,1)内有且仅有唯一的零点；而F(x)在(1,+∞)内"↓"，且，可知F(x)在(1,+∞)内也有且仅有唯一的零点。总之在这种情况下F(x)在 (-∞, +∞ )内有且仅有二个零点。

综上所述，当 a ＞e-1时，方程没有实根； a =e-1时,方程有唯一实根；当 a ＜e-1时，方程有两个实根。

五、总结

本文主要介绍了辅助函数法在一些数学问题中求解中的巧妙应用，从而体现了辅助函数法的重要性。分别从求极限，证明不等式，证明等式及求解方程根等几个方面举例说明辅助函数法的巧妙之处，然而构造辅助函数的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力。其中心思路是针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，从而使论证过程简洁明了。构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用辅助函数法既能熟练掌握有关定理，提高解题能力，又能开阔思路，锻炼思维，从而提高数学素质，培养数学能力。

[1] 翟连林，姚正安. 数学分析方法论[M]. 北京：北京农业大学出版社，1992.

[2] 赵刊，吴开禄. 辅助函数在解不等式中的应用[J]. 成都教育学院学报，2000.

[3] 陈文登，黄先开. 考研数学复习指南[M]. 北京：世界图书出版公司，2008.

[4] 李长青，杜素梅. 辅助函数在证明题中的应用[J]. 胜利油田职工大学学报，2002.

The application of auxiliary function method in some math problem

WANG Li-xia

Auxiliary function is an important thinking method in dealing with math problem. In the course of solving advanced mathematics, we are not always direct to the question itself but base on problems and the known factors to construct a proper auxiliary function to solve the problems indirectly.

auxiliary function method; limitation; zero theorem; Rolle theorem

G42

A

1008-7427（2010）07-0148-02

2010-04-21