一类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破

春玲

（内蒙古民族大学，内蒙古 通辽 028000）

一类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破

春玲

（内蒙古民族大学，内蒙古 通辽 028000）

研究了一类带有非线性边界条件的半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破问题.通过构造方程组的上、下解，得到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充分条件.

半线性抛物型方程组；非线性边界条件；整体解；有限时刻爆破

1 引言及主要结果

本文讨论了半线性抛物型方程组

我们的主要结果如下：

定理1若p1≤1，p2≤1，0＜α1，α2＜1,则对于小初值u0(x)，v0(x)，方程组（1）的解整体存在.

定理2若p1p2＞1，（1）的解在有限时刻爆破.

2 上下解法和解的存在性

利用文献[6]的结果，我们有下面的命题：

当pi＞0,qi＜0(i=1,2)时，取α满足max{p1,p2}≤α≤1.

3 定理1的证明

证 取h(x)∈C2(Ω)是下面椭圆方程

取

取g(t)满足

由题设条件p1≤1，p2≤1，0＜α1，α2＜1，知0＜k+1,0＜l+1≤1,故0＜(k+1)p1≤1,0＜(l+1)p1≤1,且成立.

由（4）（5）计算得

因α≤1故ø(ω)整体存在，g(t)也整体存在.

这时上、下解定义中的（2）式变为

边界：

初值：

4 定理2的证明

证 取ø(ω)满足

ø'(ω)=exp(βø(ω))ω＞0ø(0)=0

有xi+d＞0,i=1,2,…,N取0＜η≤1使得当0＜η＜D3η时η (k+1)N≤1，η（l+1）N≤1并得A≤ø(ηD3)≤σ那么(k+1)ø(τ)≥1(l+1)ø(τ)≥1

再令G=η2β取g(t)是满足

g'(t)=Gexp(βø(g(t)),t＞0,g(0)=0的正解.则

下面验证以上取的(u,v)是方程组（1）的下解.

〔1〕WANGMX.Global existence and finite blow up for a reaction diffusion system[J].ZAMP,2000,51:160-167.

〔2〕ESCOBEDO M,LEVINE H A.Critical blow up and global existence numbers for a weakly coupled system ofreaction diffusion equation [J].Arch RatMech Analysis,1995,129:47-100.

〔3〕JULIODR,NOEMIW.Blow up and global existence for asemilinearreaction diffusion system in abounded domain[J].Partial Diffusion Equtions,1995,20():1991-2004.

〔4〕MUCL,SUY.Globlexistenceandblow upfora quasilinear degenerate parabolic system in a cylinder[J]. Appi Math Letters,2001,14:715-723.

〔5〕王术.带非线性边界条件的非线性抛物型方程组.数学学报，1997：40.

O175.26

A

1673-260X（2010）02-0007-02