一类解析函数的系数不等式

赵翠新

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

一类解析函数的系数不等式

赵翠新

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文引进新解析函数类ZBλ（α，β，μ），利用从属关系和初等方法得到类中函数的系数不等式.

近于凸函数；Fekete-Szegö不等式；系数估计

1 引言

假设本文中出现的参数λ,α,β均满足:λ＞-1,α∈[0，1）, β∈[0，1）.设A表示在单位圆盘U={z:|z|＜1}内解析的函数f (z)=z+a2z2的全体构成的族.以p(α)表示在U内的α级正实部函数族，用S*(α)和K(α)分别表示α级星象函数族和α级凸象函数类：

设f(z)∈A，0≤β＜1，若存在g(z)∈S*(α)，使得Re[(zf'(z))/g (z)]＞β，则称f(z)属于β级近于凸函数类C(α,β).C(0,0)=C为熟知的近于凸函数类.

设f(z)∈A，Fekete-Szegö首先提出A上的系数泛函|a3-ξa22|，并得到精确估计

且对任意的ζ(0≤ζ＜1)等号均能成立.

文[1]中引进如下两类函数：

定义A[1]若函数f(z)∈A满足条件

定义B[1]若存在g(z)∈Sλ(α)，使得函数f(z)∈A满足条件

则称f(z)在Bλ(α,β)中.

文[1]和[3]分别讨论了函数类Bλ(α,β)的极值问题和系数不等式.

本文引进函数类：

定义2.1设μ∈R(-∞,1]，若存在g(z)∈Bλ(α,β)，使得f (Z)∈A满足下列条件

则f(z)∈ZBλ(α,β,μ)，其中w=Dλf(z)

本文中利用ZBλ(α,β,μ)与Bλ(α,β)之间的关系，结合从属关系和初等方法得到函数类ZBλ(α,β,μ)的系数估计和Fekete-Szegö不等式.

2 函数类ZBλ(α,β,μ)的系数估计

定理1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，则有

证 设f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，由定义2.1，存在g(z) =z+b2z2+…∈Bλ(α,β)使得（2.1）式成立.

比较(1)式两边系数得

由（2.3）可知，要想估计|an|只要求出|bn|的上界即可.由文[1]中定理5.1可知

由（2.3）、（2.4）式即得（2.2）式成立.证毕.

推论2.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZB0(α,β,μ)，则有

3 函数类ZBλ(α,β,μ)的Fekete-Szegö问题

引理3.1[3]设w(z)=d1z+d2z2+…在U={z:|z|＜1}内解析且满足|w(z)|≤|z|，则

引理3.2[3]设g(z)=z+b2z2+…∈Bλ(α,β),则对于α∈[0,1),

β∈[0,1),λ≥max{-α,-β}和任意实数μ，有

定理3.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，则有

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证 存在ø(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α)，U内满足|φ(z)|≤|z|的解析函数φ(z)=在d1z+d2z2+…和U内满足|w(z)|=≤|z|的解析函数w(z)=w1z+w2z2+…，，对于g(z)∈Bλ(α,β)，有

换言之，存在ø(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α)和U内满足|φ(z) |≤|z|的解析函数φ(z)=d1z+d2z2+…，使得

将g(z)、ø(z)和φ(z)的幂级数展开式代入上式，比较两边系数可得

由（2.3）、(3.1)和(3.2)式可知

因为e-iθf(eiθz)=z+a2eiθz2+a3e2iθz3+…∈ZBλ(α,β,μ)仍属于所以不失一般性，可以假定a3-μa22≥0.下面估计Re(a3-μa22).

由于ø(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α),所以存在U内满足|w(z) |≤|z|的解析函数w(z)=w1z+w2z2+…，使得

将ø(z)和w(z)的幂级数展开式代入上式，经过一些运算可得

将（3.4）代入(3.3)式，得

16k1(1-α)Re(w2+w12)≤16k2(1-α)(1-ρ2)+16k1(1-α)ρ2cos2φ，

其中w1=ρe-iφ，0≤ρ≤1.

其中d1=reiθ，0≤r≤1.

所以

其中

因为

所以

同理可证3)、4）.证毕.

〔1〕李书海，木林.有关近于凸函数的一族解析函数.数学杂志，2005，25（4）：428-434.

〔2〕St.Ruscheweyh,Sheil-Small.Hadamard Products of schlicht functions and the polya-Shoenbehy Conjecture. Comment Math Helv，1973，48:119-135.

〔3〕李书海，鲍春梅.有关近于凸函数的Hadamard卷积与Fekete-Szegö问题 [J].赤峰学院学报 （自然科学版），2008,24(5):1-4.

〔4〕李书海.特殊解析函数[M].赤峰：内蒙古科技出版社，2007.

O174

A

1673-260X（2010）02-0001-03

内蒙古自然科学项目基金资助（2009MS0113）；内蒙古高等学校科学研究项目基金资助（NJzy08150）