Jordan标准形在一般数域上的推广

万冰蓉

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

Jordan标准形在一般数域上的推广

万冰蓉

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

设A是数域P上的一个矩阵.通过定义A的广义初等因子与广义Jordan块，能证明由A的所有广义初等因子的广义Jordan块组成的准对角阵与A相似，它是矩阵的Jordan标准形在一般数域上的一种推广形式，而且在一些情况下比有理标准形形式更简单.

初等因子，Jordan块，Jordan标准形，有理标准形

1 引言

矩阵的相似是矩阵之间的一种非常重要的等价关系.尤其是矩阵在相似关系下的简单形式对于很多问题的讨论都起到了关键性的作用.在此，我们将矩阵在相似关系下的各种简单形式统称为矩阵的相似标准形.众所周知，复数域上矩阵的都相似于它的Jordan标准形；任意一个数域P上的矩阵都相似于它的有理标准形.可以看出，当P取复数域时，数域P上的矩阵的有理标准形并不是它的Jordan标准形.这说明任意一个数域P上的矩阵A很可能还存在一种形式较简单的相似标准形，而且Jordan标准形恰是这种标准形在复数域中的具体体现.本文通过定义A的广义初等因子与广义Jordan块，能证明由A的所有广义初等因子的广义Jordan块组成的准对角阵与A相似，它是矩阵的Jordan标准形在一般数域上的一种推广形式，而且一般情况下比有理标准形形式更简单,我们称之为广义Jordan标准形.

文中如果没有特殊说明，字母P均表示任意一个数域.

2 广义初等因子与广义Jordan块

首先我们对数域P上的矩阵A来定义它的广义初等因子.

定义1设A是数域P上的一个矩阵，把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的不可约因式方幂的乘积，所有这些不可约因式方幂（相同的按出现的次数计算）称为矩阵A的广义初等因子.

显然，在复数域上，广义初等因子就是初等因子.

为了定义广义Jordan块，我们先介绍[1]中对于多项式的伴侣阵的定义：

定义2[1]对数域P上的一个多项式d(λ)=λn+a1λn-1+…+an(n≥1)，称矩阵

因为|λE-D|=d(λ)，并且|λE-D|中(1,n)元的余子式为1，从而易知D的不变因子为1,…,1,d(λ)，其中包含n-1个1.显然，d(λ)=λ-λ0的伴侣阵为一阶方阵(λ0).

下面我们对于广义初等因子来定义它的广义Jordan块.

定义3设d(λ)是数域P上的一个不可约多项式，∂(d(λ))=m，D为d(λ)的伴侣阵.对于不可约因式d(λ)的方幂dr(λ)，称分块阵

为dr(λ)的广义Jordan块，其中E1m表示(1,m)元为1，其余元为0的基本阵.

3 广义Jordan标准形

定义4设A是数域P上的一个矩阵，由A的所有广义初等因子的广义Jordan块组成的准对角阵称为A的广义Jordan标准形.

显然，复数域上矩阵的广义Jordan标准形即为它的Jordan标准形.因此广义Jordan标准形是Jordan标准形在一般数域的一个推广，而且一般情况下比有理标准形的形式简单.

4 主要结论及其证明

为了证明我们的主要定理，首先不加证明的介绍[1]中的一个引理：

定理 数域P上任意一个矩阵都与它的一个广义Jordan标准形相似，这个广义Jordan标准形除去其中广义Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的.

设它们的广义Jordan块依次为Bp1+1,1,…,Bs1,…,Bpt-1+1,t-1,…,Bs,t-1,B1t,…,Bst，则A的广义Jordan标准形为

对于上述的每一个广义Jordan块Bij，注意到它是rijmj阶方阵，所以根据引理1有λE-Bij等价于矩阵

其中主对角线上有rijmj-1个1.故λE-B等价于

其中主对角线上有s-pt-1个1，且主对角线上元素所含dt(λ)dt-1(λ)的方幂是按递升幂次排列的.反复地应用引理2，最终能使λE-B等价于

如果有另一个A的广义Jordan标准形B'与A相似，那么B'与A有相同的不变因子，从而B'与B有相同的广义初等因子，因此B'与B除了其中广义Jordan块的排列次序外是相同的，即A的广义Jordan标准形被矩阵A唯一决定.

〔1〕Michacl Artin.Algebra[M].Englewood Cliffs:Prentice-Hall,1991.

〔2〕聂灵沼,丁石孙.代数学引论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

〔3〕北京大学数学系.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.9.

〔4〕张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社，1998.

O15

A

1673-260X（2010）06-0005-05

南昌工程学院青年基金项目（2008KJ025）