基于OMP分解的宽带Chirp信号多参数估计

(重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065)

1 引 言

宽带Chirp信号作为一种大的时间带宽积信号，广泛应用于各种信息系统，如通信、雷达、声纳和地震勘探等[1]，它也是一种特殊的非平稳信号。在这类系统中，Chirp信号的检测、参数和波达方向角的估计是一个重要的研究课题。

关于Chirp信号的参数估计，比较有代表性的是基于空间时频分布(STFD)的方法[2-3]。该类方法通过计算阵元间的互Wigner-Ville分布(WVD)构造时频域数据向量，然后利用Chirp信号的局部窄带特性，截取时频分布谱峰附近的时频点，对截取出的时频点数据进行特征值分解，再利用子空间类方法[4-5]实现信号参数估计。但是，该类算法只在信噪比较高的情况下才能有较好的性能，而且在多目标的情况下，信号之间的交叉项将严重影响Chirp信号的参数估计性能，弱目标很容易被交叉项所掩盖。

对于稀疏分解在阵列信号处理领域中的应用，已经有人把稀疏分解中常用的匹配追踪(MP)算法[6]引入到阵列信号处理领域中，实现了对信号参数和波达方向角的估计。而本文提出的基于正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[7]分解的宽带Chirp信号多参数估计方法与MP算法相比有更好的收敛性，在一定的过完备原子库密度条件下，本文所述算法能很好地实现对Chirp信号起始频率和调频斜率的估计，且波达方向角(DOA)估计的性能高于WVD算法[8]，尤其在多信源和低信噪比情况下，算法仍然有良好的性能。

2 信号数学模型

假设M元线阵沿x轴均匀放置，阵元间距为d。第一个阵元位于坐标原点，称为参考阵元。假定有P个宽带Chirp信号从不同方向入射到M元阵列上，则第m个阵元的输出为

(1)

(2)

将式(2)代入式(1)可得：

(3)

(4)

将其写为向量形式可以得到阵列瞬时窄带模型：

Aθ,tSt+Nt

(5)

式中，A(θ,t)=[a1(θ,t),a2(θ,t),…,aP(θ,t)]为M×P的阵列方向矩阵，包含了信源的方位信息，ai(θ,t)=[1,e-j2π(fi,0+kit)τ2,i,e-j2π(fi,0+kit)τ3,i,…,e-j2π(fi,0+kit)τM,i]T；P×1的入射信号向量为S(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为M×1的加性噪声向量。

假设取N次快拍，问题就变为在已知x(n),n=1,2,3，…,N的情况下，估计信号参数(fi,0,ki,θi),i=1,2,3，…,P。

3 基于OMP分解的宽带Chirp信号多参数估计

给定一个集合D={gk，k=1,2,3,…,K}，其元素是张成整个Hilbert空间H=RN的单位矢量，K>>>N,我们称集合D为原子库，其元素为原子。集合Γ={γk，k=1,2,3,…,K}为原子参数组成的集合，其元素γk为每个原子的参数。

假设在D中所有原子的范数都为一，算法在初始化时，设R0x=x，可以首先对信号x进行第一次OMP分解，从过完备库中选出与信号x最为匹配的原子gγ0，即：

R0x=〈R0x,gγ0〉gγ0+R1x

(6)

式中，〈R0x,gγ0〉gγ0是R0x对gγ0的投影，R1x是剩余量。显然，gγ0是与R1x正交的，所以可得到下式：

‖R0x‖2=〈R0x,gγ0〉2+‖R1x‖2

(7)

初始化u0=gγ0，对m≥0，OMP挑选gγm，使得：

(8)

利用Gram-Schmidt算法[8]将gγm关于gγp0≤p≤m正交化，定义：

(9)

对um归一化：

(10)

将余项Rmf投影到um(而不是gγm)上，得到：

Rmx=〈Rmx,um〉um+Rm+1x

(11)

将此方程对0≤m

(12)

式中，Pvk是在um0≤m

〈Rmx,um〉=〈Rmx,gγm〉

(13)

因Vk的维数为k,故存在M使得x∈VM，从而Rmx=0。将式(13)代入式(12)，并令k=M,得：

(14)

做有限M次迭代可以得到收敛性。它是x在一个正交向量族上的分解，故：

(15)

此过程即为OMP的基本步骤，因为信号残差和前面每一步中从原子库中选择的原子相正交，在有限维空间中，OMP能在有限次迭代后收敛。

3.1 宽带Chirp信号起始频率和调频斜率的估计

假设有P个宽带Chirp信号从不同方向入射到M元阵列上，则参考阵元接收数据为

(16)

对P个宽带Chirp信号进行离散化，得：

(17)

式中，i=1,2,3,…,P；n=1,2,3,…,N；fs为采样频率。

根据宽带Chirp信号形式，建立过完备原子库，其基本原子为

(18)

原子gγ的长度与信号x1n本身长度相同，原子参数组为γ=f,k，f、k分别对应Chirp信号的起始频率和调频斜率参量。假设f的取值范围为f∈0,0.6，k的取值范围为k∈0,0.1，f、k按照需要的精度取值(本文设原子库的搜索精度为0.001)，构造出过完备原子库Df=gγγ∈Γ：

Df=gγγ∈Γ=

(19)

式中，Γ为参数组γ所属的集合，其值视具体情况而定。

由于OMP分解的特性，对Chirp信号进行分解时，将在某一分量上达到最大匹配，而噪声不具有Chirp信号的特征，因此在这一分量上投影接近零，从而可以达到滤除噪声的目的。将淹没在噪声中的多个Chirp信号进行OMP分解，将会在不同分量上得到最大匹配，根据这些与信号最大匹配的原子参数，即可估计出每个Chirp信号的起始频率和调频斜率。

经过P步OMP分解后，可以得到P个原子gγi和原子系数αi=〈Ri-1xin,gγi〉。根据原子的参数γi=fi,ki就可以得到P个Chirp信号的起始频率和调频斜率参数估计：

(20)

(21)

由此，我们可以重新构造出P个宽带Chirp信号：

(22)

在得到Chirp信号具体形式的基础上，我们再进行DOA估计。

3.2 宽带Chirp信号的DOA估计

首先，针对各个不同的Chirp信号分别建立过完备库的原子：

(23)

Gθgl=g1,g2,g3,…,gL

(24)

整个原子库的原子数为L个。

通过在原子库Gθgl上对阵列信号用OMP算法做稀疏分解，由所获得的最佳原子便可以得到信源DOA估计参数，我们通过计算阵列接收数据与原子库Gθgl中原子之间的互相关矩阵的迹，搜索迹的最大峰值来获得。假定互相关矩阵Rxy的m个特征值为λ1,λ2,λ3,…,λm。由矩阵的迹的概念可知：

(25)

即互相关矩阵Rxy的特征值之和trRxy反映了两信号xt和yt之间的相关程度。由此，分别计算阵列接收数据矩阵xn与原子库Gθgl中原子gl的互相关矩阵：

(26)

并求解互相关矩阵Rxg的迹，通过比较迹的大小获得最佳匹配原子gi的参数，进一步得到DOA估计：

(27)

综合上述分析，将基于OMP分解的宽带Chirp信号参数估计算法步骤总结如下：

(1)建立过完备库的原子gγ，如式(18)所示，进一步建立过完备原子库Df=gγγ∈Γ，如式(19)所示；

(3)建立过完备库的原子gl，如式(23)所示；进一步建立原子库Gθgl，如式(24)所示；

(5)多信号时重复第3步和第4步，得到各个信号的DOA估计。

4 仿真实验

为体现OMP算法中信号原子之间的正交性，考虑5个宽带Chirp信号从远场入射到八阵元均匀线阵，信号的起始频率和调频斜率分别如下：

信号1：f10=0.150 000 1,K1=0.033 000 000 01;

信号2：f20=0.250 000 1,K2=0.066 000 000 01;

信号3：f30=0.350 000 1,K3=0.099 000 000 01;

信号4：f40=0.450 000 1,K4=0.055 000 000 01;

信号5：f50=0.550 000 1,K5=0.077 000 000 01。

5个信号的波达方向角分别为10°、20°、30°、40°、50°，阵元间距为信号最高频率对应的半波长。

(1)实验1：用OMP算法和WVD算法进行DOA估计的空间谱

(a)OMP的空间谱曲线

(b)WVD的空间谱曲线图1 五信源的DOA估计的空间谱Fig.1 Spatial spectrum curve of DOA estimation of five source signals

从图1中可见，OMP算法准确有效地估计出了5个信源的波达方向，在波达方向角为10°、20°、30°、40°、50°处，空间谱出现了谱峰，而WVD算法在40°处出现偏差。仿真结果表明，OMP算法的估计性能优于WVD算法。

(2)实验2：用OMP算法对宽带Chirp信号起始频率和调频斜率的估计

信号采样长度取N=512。用OMP算法估计信号1、信号2、信号3的起始频率和调频斜率。信噪比从-20～20 dB,每隔1 dB进行100次Monte-Carlo实验，实验结果如图2和图3所示。

(a)信号1

(b)信号2

(c)信号3图2 3个信号的起始频率估计Fig.2 The starting frequency estimation of three signals

(a)信号1

(b)信号2

(c)信号3图3 3个信号的调频斜率估计Fig.3 Modulation frequency estimation of three signals

由图2和图3可见，OMP算法很好地实现了对Chirp信号起始频率和调频斜率的估计。在信噪比为-20 dB时，OMP算法对起始频率和调频斜率的估计性能很好，估计误差较小。3个信号的起始频率估计误差分别为0.11、0.15、0.14，调频斜率估计误差分别为0.03、0.03、0.053；在信噪比门限值-2 dB时，起始频率和调频斜率估计误差(RMSE)值达到了克拉美罗限，并且当信噪比进一步增加时，由于本文所设的原子库的搜索精度为0.001，OMP算法只能估计到起始频率和调频斜率真实数值的小数点后3位，且估计值不再随信噪比的增加而变化，故估计误差(RMSE)不随信噪比的增加而增加，在仿真结果中表现为一条水平的线段；当信噪比在信噪比门限值-2 dB以下时，OMP算法对起始频率和调频斜率的估计误差随信噪比的增加越来越小。

(3)实验3:用OMP算法和WVD算法对宽带Chirp信号的DOA的估计性能与快拍数的关系

(a)信号1

(b)信号2

(c)信号3图4 3个信号DOA估计的RMSEFig.4 RMSE of three signals DOA estimation

固定信噪比为10 dB，分别采用OMP算法和WVD算法，信号采样长度N(取值从100到1 000)每隔100进行200次Monte-Carlo仿真实验。图4给出了这两种算法在信噪比为10 dB时，在不同快拍数下的3个信号DOA估计的RMSE曲线。

从图4可见，在固定信噪比为10 dB条件下，随着信号采样长度的增加，OMP算法的DOA估计的均方误差减小，且估计性能明显优于WVD方法。

(4)实验4:用OMP算法和WVD算法对宽带Chirp信号的DOA估计性能与信噪比的关系

实验中分别采用OMP算法(信噪比从-20～20 dB)和WVD算法(信噪比从-10～20 dB)，信噪比每隔2 dB进行200次的Monte-Carlo实验。其中，阵元数M=8,信号采样长度N=512。结果如图5所示。

(a)信号1

(b)信号2

(c)信号3图5 3个信号DOA估计的RMSEFig.5 RMSE of three signals DOA estimation

由图5明显可见，OMP算法对信号DOA估计效果非常好。随着信噪比的提高，DOA估计的均方误差越来越小，估计精度明显优于WVD方法。在信噪比为-14 dB时，该算法仍具有很好的性能，而WVD方法在-10 dB几乎失效。

5 结 论

本文通过大量的仿真实验证明了在多信源低信噪比的情况下，OMP对宽带阵列信号参数估计的有效性。论文的研究尤其在以下方面得到了很大改进：在信噪比为-20 dB时，OMP算法对起始频率和调频斜率的估计性能仍很好；在信噪比门限值为-2 dB时，该方法对起始频率和调频斜率的估计的RMSE值达到了克拉美罗限；在信噪比为-14 dB时，该方法对波达方向角度的估计仍然有良好的性能，且其估计精度明显优于传统的WVD方法。

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