关于大学数学与高中衔接问题的研究

高雪芬,王月芬,张建明

(1.浙江理工大学理学院,浙江杭州 310018; 2.华东师范大学理工学院,上海 200241)

关于大学数学与高中衔接问题的研究

高雪芬1,2,王月芬1,张建明1

(1.浙江理工大学理学院,浙江杭州 310018; 2.华东师范大学理工学院,上海 200241)

该研究在教材分析的基础上,对高中教师及大学生进行了问卷调查与访谈,从而发现学生在高等数学学习中所遇到的衔接问题,提出了解决问题的教学对策。

大学数学;高中数学;衔接;教材

一、问题的提出

大学数学与高中的衔接问题一直是教育工作者研究的热点[1-2],在高中实行课程改革的背景下,衔接问题更加突出。现有的研究主要基于两个方面,一是学习方法的衔接[3-4],一是教学内容的衔接[5]。而有关教学内容的衔接多是基于教材研究,即将大学数学教材与高中教材进行比较,找出交叉点与脱节之处。但是,仅仅研究教材是不够的,因为究竟高中教师讲到什么程度,学生学到什么程度都很难从教材的比对中得出。故本研究在教材研究的基础上,对高中教师及大学生进行了调查,以期发现学生在高等数学学习中所遇到的衔接困难,并寻找解决这些困难的方法。

二、研究方法

(一)研究过程

本研究采用混合研究方法,即教材研究和问卷调查、访谈相结合 (见图 1)。首先,分析高中与大学数学教材。高中数学教材主要选择使用范围最广的人教A版作为高中段的参照;大学教材则选择工科院校使用最多的同济版高等数学(第六版)作为参照。通过教材研究,总结出学生可能遇到的衔接问题,针对这些问题制定了调查问卷。为保证问卷的全面、科学,我们采用该问卷对 10名实行新课标地区的高中教师和 10名大学生进行了访谈与预调查,并对讲授高等数学课的教师进行了访谈,根据访谈与预调查的结果,修正了调查问卷。2010年 1月,对浙江理工大学的大一学生进行了调查。之所以选择这个时间是因为学生已基本学完一元微积分的内容,与高中相衔接的内容也已大部分都涉及到,如果选择下学期做测试,学生则有可能对高中所学和大学所学的内容有所混淆,以致研究者无法做出正确的判断。在问卷调查后,每个教学班随机抽取了 8名学生进行了访谈,访谈的结果基本与问卷调查结果一致。

图1 研究过程

(二)研究工具

包括分别针对高中教师与大学生的两份访谈提纲和一份针对大学生的半结构化调查问卷。调查问卷由四部分组成。

1.学生基本信息

包括性别、高考分数、高中使用的教材版本。

2.教学衔接内容

该部分是问卷中的主体,亦是本文着重分析的内容。有 12道题目,分别针对不同的教学内容,这些题目中共含 27个子问题,其中 5个问答题,22个选择题(见表 1)。

表 1 教学内容研究框架

3.教学方法与教材形式

包括大学教材与高中教材在语言、形式方面的差异,大学与高中教学方法的差异等。

4.建议

学生对更好地处理好衔接问题的建议,如建议大学教师了解高中教材等。

(三)被试

我们随机选取了浙江理工大学一年级的三个教学班,来自过程装备与控制工程、机械电子工程、会计学等专业,对班上的每个理科同学发放了问卷,共发放 278份,回收有效问卷 269份。这 269人中有 89%是浙江省生源,另有 5%来自实行新课标的其他省份(如江苏)和 6%的来自未实行新课标的省份(如山西)。基本情况见表 2。

表 2 被试的基本情况

三、调查结果分析

关于教学内容衔接上的困难,我们首先设计了一个多选题:“你在大学数学中遇到了哪些衔接上的困难?”,调查结果见表 3。

表 3 教学内容的衔接困难排序

从结果中可以看出,反三角函数首当其冲,存在着很大的问题;微分的理解紧随其后。在随后的访谈中只有 15%的学生给予了微分准确的定义与描述,如指出微分是函数增量的近似值,或能用图形表示;而其余的同学对微分的认识则有各种偏差,如认为微分就是导数,微分就是函数的增量等。访谈时学生表示:由于高中没有学过微分,而大学教材中只有 10页关于微分的内容,约需 2课时,讲解不够深入,所以存在着认知的困难。三角函数的公式虽然难记,但是却只有 30%的学生认为存在衔接的困难。访谈证实,学生认为只要老师能把这些公式给出,那么就不存在困难。以下我们将详细剖析相关内容。

(一)预备知识

这里的预备知识是指大学教材编著者认为学生在高中已经学过或掌握,而在大学教材中没有详细讲授的内容。

1.三角函数与反三角函数

从表 4中可以看出,由于高中教材中[6]没有出现反三角函数与正余割函数的内容,所以对于大学微积分中常用的这些函数,学生实际上知之甚少。如关于正余割函数、反正余切函数,高中老师没有提到过或仅仅是提到而没细讲的比例都超过了 80%,而大学老师却常常认为这些都是高中已经很熟悉的知识。原因是大学老师多是新课改前接受的高中教育,当时的高中教材中有反三角函数等内容,这样就产生了脱节(见表 3)。所以在微积分的开课之初讲授“初等函数”一节时,如果教师能将这个几个函数的定义、图像、性质等做详细的补充,强调其重要性,并指明将在日后经常用到,就可以有效地避免脱节问题。

表 4 三角函数与反三角函数调查表

2.复数

高中教材[7]101-116在“数系的扩充与复数的引入”一章中包括:(1)数系的扩充与复数的概念;(2)复数代数形式的四则运算(没有三角形式)。从调查中也可看出 95%的学生没有学过复数的三角形式,但却仅有 10%的学生认为复数部分存在衔接困难(见表 3)。这也许是因为高等数学上册基本用不到复数,而可以预计在下册讲授“二阶常系数线性微分方程”时学生将面临困难,需要教师在该节前加以补充。

3.极坐标与参数方程

高中在选修教材中介绍了极坐标[8]8-15与参数方程[8]21-44。极坐标内容有:(1)极坐标的定义; (2)简单曲线的极坐标方程,还提到了在三重积分中将用到的柱面坐标系与球坐标系。参数方程: (1)曲线的参数方程,包括参数方程的定义、圆的参数方程、参数方程和普通方程的互化等;(2)圆锥曲线的参数方程,包括椭圆、双曲线、抛物线等;(3)直线的参数方程;(4)渐开线与摆线。

调查中有 16%的学生称没有学过极坐标,56%的学生称能完成一些曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。2%的学生称没有学过参数方程,72%的学生称能完成一些曲线的参数方程与一般方程的互化。可以看出理科生对参数方程的掌握情况基本上能满足大学学习的要求,然而 45%的学生在极坐标中存在困难(见表 3)。所以大学教师要根据学生情况补充极坐标的内容,尤其是常用的极坐标方程及极坐标与直角坐标的互化。

4.数学归纳法

高中教材[7]92-96讲述了数学归纳法。调查结果显示,所有学生都学过了数学归纳法,并且64%的学生都能用其来完成证明,但仍有 36%的学生认为不太会用该法证明。

(二)微积分

1.极限

在问题“你上高中时学过极限定义吗?回忆一下,高中老师是怎么讲的,与大学老师讲的有什么区别吗?”中只有 32%的学生称高中学过极限,如:“学过,极限即是无穷,是抽象的存在”;“当 x无限趋于 或某一特定值时,函数无限趋于某个数,就是极限”;“只是在求数列题目中讲过”;“高中老师没有明确地定义,只是形象描述一下,大学老师通过证明得出,更有说服力”。这其中甚至还包括一些错误的看法如“极限就是永远达不到”。

2.连续

在高中教材中没有具体阐述“连续”的概念,只是在某些内容中提到了连续,如:在“定积分的定义”[7]38、“方程的根与函数的零点”[9]小节中,用“函数的图像是连续不断的一条曲线”来代替“连续”。

在问题“你上高中时学过函数连续性吗?回忆一下,高中老师是怎么讲的,与大学老师讲的有什么区别吗?高中时学过函数间断点的类型吗?”中,只有 38%的学生认为高中学过连续性,如:“学过函数连续性,讲的与大学老师相近,但没那么深。学过间断点,只是提到而已”;“老师提到过连续不一定可导”;“有提过,但没学过,只是讲题目时指出某函数是否连续;大学讲的是证明连续性”;“高中老师说高中所学的函数基本上都是连续的,不必考虑”;这其中也有一些不严格的说法,如:“没专门讲函数连续性,老师说图像连续,函数就连续”,而严格地说,图像看起来连续,函数也未必是连续的。

3.导数

高中教材[7]2-37讲述了 (1)变化率与导数;(2)导数的计算 (基本初等函数的导数公式、导数四则运算);(3)导数在研究函数中的应用 (函数的单调性与导数、函数的极值与导数、函数的最值与导数);(4)生活中的优化问题举例(海报版面尺寸的设计、磁盘的最大存储量等问题)。可以看出导数部分是与大学数学教材中重叠最大的一部分。这些内容在大学教材中几乎是从头讲起,不同的是:高中教材中有更多的实例,如气球膨胀率、高台跳水、原油温度变化率、药物浓度的顺时变化率等;而大学[10]77-125的阐述则更为全面和严格,如导数的计算中包含反函数的求导公式,对复合函数求导、隐函数求导、高阶导数等进行了系统阐述,还对导数与单调性、极值等问题进行了严格的论证等。

问卷调查显示,导数部分是学生在高中阶段就比较熟悉的内容。如只有 12%的学生认为在导数的学习中有衔接困难(见表 3)。部分同学认为高中已学过很多,并且在一些如单调性等问题上比大学的题目还要难。如:“学过,老师自己扩展,与大学相近”;“学过导数的定义,讲的比较具体,包括导数的运算法则,一些常见函数的导数都要求记住,主要用于对一些复杂函数的图像分析,难度较大,比大学老师讲的还要更深入,更难”;“学过,单调性作为必考内容,常是压轴题,重点讲解内容”;“讲过斜率,没有讲复合函数、隐函数、参数方程的求导等等”;还有的同学认为只是记公式 :“高中老师只是粗略的讲了导数的定义及公式,未讲过如何证明导数存在”;“只需记住几个导数公式,而大学从本质上讲,较详细”。

另一方面,虽然关于导数的定义、初等函数的求导公式、四则运算的求导公式、单调性等学生已学过,但是在这四个方面,均有 30%以上的学生希望大学能重新学习一遍。在对学生的访谈中发现,这主要是由于两个原因,一是虽然学过,但是经过漫长的假期也有很多遗忘,二是由于高中所学重在结果和应用,所以纵使学生对结果和公式有所了解,但是由于高中学习中缺少推导和证明,知识体系不清,造成大部分学生并不真正理解,所以更容易遗忘。这就提示我们在大学教学中某些内容应更多地注重思想方法与论证,而非操练 (如初等函数的求导公式、导数的应用等),而对诸如隐函数求导法则等新的内容则需详细讲述。问卷中有关导数部分有一个表格,要求学生在适合的格子里打钩(极限、积分部分也有这样的表格,限于篇幅,本文只陈述了重要的结果),调查结果见表 5。

表 5 关于导数的调查结果

4.积分

高中教材[7]38-62中的积分部分包括:(1)定积分的概念。含曲边梯形的面积、汽车行驶的路程、定积分的几何意义、利用定义计算定积分。(2)微积分基本定理。通过位移与速度关系引出基本定理,含一些简单的例题。(3)定积分的简单应用。含求图形面积、定积分在物理中的应用(变速直线运动的路程、变力作功)。高中例题中的被积函数主要是幂函数、三角函数(sinx、cosx)、指数函数 ex,在课后习题 B组中有关于 cos 2x,e2x的积分。而大学教材[10]182-292除了在上述内容上有所深化外还包含分部积分法等内容。

虽然超过 50%的学生都学过定积分的定义及求法 (牛顿-莱布尼兹公式),但学生仍认为积分的理解和计算是难点(见表 3)。只有 1%的认为可以不讲定积分的定义及求法,7%的人认为可以略讲,43%的同学还是希望老师能够重新讲一遍。对于问题:“高中时积分是如何定义的?高中毕业时你理解该定义吗?”,只有 9%的人回答“理解”。包括:“积分是先分割,求和,求极限;用于计算曲边面积以及不规则物体的面积 ”;“高中不是重点内容,高考一般只有一道题,常较简单,能理解”。25%的同学坦言“不理解”。其余的同学回答的较含混,如“积分就是将一个区域分为无穷个区间,再求和”;还有同学认为“就是求面积、计算。不理解”;“求面积专用”;“记不清了,只记得跟导数相对”;“即反求导数。运算理解”。

在对教师的访谈中,有的教师坦言,由于某些省份高考不考积分,所以不讲;而某些省份的情况是只考一个计算题,常较简单。而定积分的应用虽然在高中已有所涉及,但由于需联系物理等实际问题,学生很难灵活应用;至于分部积分与换元法学生在高中没有学过,由于形式灵活多变,技巧性强,所以掌握起来也较困难。总体来说,学生在高中只是了解到定积分的定义(对面积的表示印象深刻),掌握初步的计算 (简单的基本初等函数),所以不定积分与定积分这部分内容需要大学教师详细系统地讲述一遍。

四、总结与思考

高中的课改给大学数学教学带来了极大的挑战。一方面高中教师不会去了解大学的教材,所以在教学中很少设计为大学铺垫的内容;另一方面,大学教师也很少有时间了解中学课程。这样对于大一学生来说,他们面临的不仅是学习方式、授课方法的转变,还面临着内容上的脱节,总结起来有以下几种情况:(1)内容上的断层。即高中没有讲述,大学中也没有讲述的内容,如反三角函数。(2)选修所带来的层次差异。由于学生在高中选修了不同的内容,使大学课堂中的学生在某些内容方面差异较大,如极坐标。(3)概念表述不清。虽然一些概念高中教材中没有,但由于教学需要,很多高中教师会在课上作些直观介绍,如极限与连续的概念。但不严格的表述会给学生的后续学习带来误区,如学生认为“极限就是永远达不到”“图像看起来连续,函数就连续”。所以对这类内容需大学教师给予严格的定义并澄清概念。(4)高中教材有较详尽的阐述,但由于高考不考,所以老师不讲,或只是简单介绍,所以学生掌握得并不充分的内容,如积分。对这样的内容大学教师应给予系统详细地讲述。(5)高中学过,并且学生已经掌握得较好的内容,如导数的应用 (单调性、极值),求导公式,教师应不再过度重复操练,而需给予适度理论论证与提升。至于实践中具体脱节问题,由于高中的分层次教学带来了学生层次上的差异,以及不同地区高考内容上的差异,所以大学教师除了要了解新课改的情况及高中毕业生的基础外,更需根据所教授班级的情况适度调整,才能做好衔接。

教材方面,高中教材与大学教材相比,还有以下特点:(1)更多地引入了数学教育研究的新理念(如信息技术进课堂);(2)例题、习题与实际联系更紧密;(3)语言比较生动、口语化、贴近生活;教材中还有很多注释、思考的环节,以随时对内容进行补充与提升;(4)形式上更漂亮,图片丰富,形式活泼,如字体变化、颜色变化等。所以在编制大学教材时除了要考虑内容上的衔接外,也许还需考虑语言与形式上的衔接,引入新的理念、注重与实际的联系、采用尽可能丰富的语言与形式,以满足在“信息时代”、“读图时代”成长起来的新一代大学生的需要。

[1]Clark M,Lovric M.Understanding secondary-tertiary transition in mathematics[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,2009,40(6):755-776.

[2]Ghislaine G.Investigating the secondary-tertiary transition[J].Educational Studies inMathematics,2008,67(3):237-254.

[3]季素月,钱林.大学与中学数学学习衔接问题的研究[J].数学教育学报,2000,9(4):45-49.

[4]张彦春.大学与中学数学的衔接教育研究[J].乐山师范学院学报,2006,21(12):81-83.

[5]潘建辉.大学数学和新课标下高中数学的脱节问题与衔接研究[J].数学教育学报,2008,17(2):67-69.

[6]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.数学 4:普通高中课程标准试验教科书[M].2版.北京:人民教育出版社,2007:1-79.

[7]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.数学选修 2-2:普通高中课程标准试验教科书 [M].2版.北京:人民教育出版社,2007.

[8]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.数学选修 4-4:普通高中课程标准试验教科书 [M].2版.北京:人民教育出版社,2007.

[9]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.数学 1:普通高中课程标准试验教科书 [M].2版.北京:人民教育出版社,2007:88.

[10]同济大学数学系.高等数学上册[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.

I nvestigation on CollegeMathematics Curriculum’s Connection with That of Senior High School

GAO Xuefen,1,2WANG Yuefen1,ZHANG Jianming1
(1.School of Sciences,Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou 310018,China; 2.School of Science and Technology,East China No rmalUniversity,Shanghai 200241,China)

Based on the analysis of textbooks,the research is intended to find out the real difficulties and the most important issues in curriculum connection via investigation on freshmen in universities and teachers in secondary schools.According to the results of the questionnaires and interviews thatwe have taken,the paper has given some advice on teaching.

college mathematics;mathematics of senior high school;connection;textbook

G633.6

A

1671-6574(2010)03-0030-07

2010-04-02

课题项目:浙江省教育科学 2008年度规划课题(SCG252)

高雪芬(1976-),女,黑龙江北安人,浙江理工大学理学院数学科学系副教授,华东师范大学理工学院数学教育专业 2010级博士研究生;王月芬(1978-),女,浙江杭州人,浙江理工大学理学院数学科学系讲师;张建明(1972-),男,陕西延川人,浙江理工大学理学院数学科学系副教授。。