不等式证明的方法探究

孙凤芝，李 伟

(1.大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712；2. 沈阳工业大学 数学系，辽宁 沈阳 11000)

0 引言

不等式证明的基本方法很多,主要有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法,现在国内外有许多教师、学者对不等式的证明方法进行了系统的归纳和总结,并结合丰富的教学经验,许多方法已经在教学实践中得到广泛应用,并且已经取得了非常显著的成效。但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统的理论层面的提升.下面主要从导数、函数的凸性、泰勒公式、排序不等式、构造法等高等数学的层面对不等式证明方法进行了探讨。

1 利用概念证明不等式

1.1 利用导数证明不等式

用导数证明不等式,关键在于构造函数,然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性,再利用单调性得到所证明的不等式。

则f′(x)=1cosx>0,g′(x)=sec2x-1>0,

即x>sinx,x

注:这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数,利用函数的单调性来证明,简单、快捷。

1.2 利用函数的凸性证明不等式

相关定理:设f(x)为区间I上的二阶可导函数,则在I上f(x)为凸函数的充要条件是f″(x)≥0,x∈I。

例2：利用函数的凸性证明:

证明:设f(x)=t″,则f′(t)=ntn-1,f″(t)=n(n-1)tn-2

当n>1时,f″(t)>0(t>0),所以f(t)是凸函数,依定义,有

f(λt1+(1-λ)t2)<λf(t1)+(1-λ)f(t2)

1.3 利用泰勒公式证明不等式

泰勒定理:若函数f(x)满足下列条件

1)在闭区间[a,b]上函数f(x)有直到n阶的连续导数；

2)在开区间(a,b)内函数f(x)有n+1阶导数,则对任何x,x0,至少存在一点ξ∈(a,b),使

证明:设f(x)=x2,

即f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)

将不等式两边相加,得

泰勒公式是用一个次多项式来逼近函数f(x)，而此多项式具有形式简单,易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中,使问题简单化。

2 应用重要不等式证明不等式

数学家利用不等式的基本理论和一些重要的数学方法,推导出几个数学中最著名的不等式。这些不等式简明优美,而且有着广泛的应用。

排序不等式:设a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,则有

a1bn+a2bn-1+…+anb1(倒序积和)≤a1br1+a2br2+…+anbrn(乱序积和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序积和)

其中r1,r2,r3…rn是1,2,…n的一个排列。

证明:考察右边不等式,并记s=a1br1+a2br2+…+anbrn。

不等式s≤a1b1+a2b2+…+anbn的意义是:当r1=1,r2=2,…rn=n时,s达到最大值a1b1+a2b2+…+anbn。因此,首先证明an必须与bn搭配,才能使和s达到最大值。也即,设rn

证明:设b1,b2,…bn是a1,a2,…an的一个排列,且b1≤b2≤b≤…≤bn。

注:排序不等式在不等式证明中占有重要的地位,和柯西不等式十分相似,它的使用是根据需要合理的构造出两组适当的数a1,a2,…an和b1,b2,…bn或者在不改变题目要求的前提下,规定大小关系。

3 构造法证明不等式

构造法证明不等式其实质是将不等式进行等价转化,它以构造方程﹑数列﹑向量﹑图形等作为主要手段。

(tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)

证明:构造方程

(tanγ-2tanα)x2-2(tanαtanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0

1)tanγ-2tanα=0,因为tanαtanβ≥0,所以不等式成立。

2)tanγ-2tanα≠0,当x=-1时,

(tanγ-2tanα)+2(tanγ-2tanβ)+(2tanβ-tanγ)=0。

所以x=-1是方程的根。

所以 △=4(tanαtanβ)2-4(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)≥0

所以 (tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)。

注:形如β2-AC≥0(或≤0)型不等式可尝试用构造二次方程来解。

4 结语

证明不等式的方法灵活多样,根据待证不等式的特点,找到一种适当的方法可使问题迎刃而解。以上对不等式证明方法从导数、函数的凸性、泰勒公式、排序不等式、构造法等高等数学的层面进行了一些探讨,还将在以后的研究中不断完善。

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