基于分布式压电片的圆柱壳结构振动功率流主动控制研究

2010-09-22金全洲李天匀刘敬喜

船舶力学 2010年1期

金全洲，李天匀，赵耀，刘敬喜

（华中科技大学交通学院，武汉 430074）

1 引言

圆柱壳是许多工业和国防领域中广泛应用的结构形式，受到激励时会产生结构振动并辐射噪声。结构振动功率流是研究结构振动，进行减振降噪的有效方法。对结构振动功率流的主动控制方法进行研究分析，具有重要的现实意义。

压电驱动器在汽车、船舶、飞机和土木工程结构的减振、降噪和超精密微位移控制等领域展现出良好的应用前景。其频响范围宽、响应速度快、承载能力高、能耗底、组合灵活，是一种比较理想的智能驱动材料，受到国内外研究者的普遍重视。Wang和Vaicaitis[1]对粘贴压电片的双层圆柱壳振动及声辐射进行了研究，采用速度反馈及声压反馈两种方式对壳体振动进行控制，控制目标函数为壳体位移。Jha和Inman[2]对环形壳表面粘贴压电片的模型进行了详细的论述，并给出了两种不同的压电片粘贴形式（单面压电片粘贴及双压电片对贴）下壳体振动方程，建模过程考虑了压电片质量及刚度影响，计算得出了模态力和模态感应电压。Wang和Liew[3]用波传播的方法研究了附着压电层圆柱壳的振动情况，得出壳体散射特性曲线并讨论了压电层对散射特性的影响。Sun和Tong[4]讨论了任意壳体附着分布式压电激振及感应片时的壳体振动情况，使用准模态感应器估测壳体模态坐标，利用使估测误差最小的原则得到压电感应片的最佳尺寸及粘贴位置。同样使用准模态激振器，将估测得到的模态坐标经补偿后作为反馈信号进行控制。Lam和Ng[5]讨论了复合压电感应层及激振层平板的主动控制方法，以感应层的感应电压作为反馈信号对平板中点的位移进行主动控制。

在圆柱壳结构的功率流研究及其控制方面，张小铭[6]分别研究了无限长圆柱壳、周期加肋壳、周期粘弹性复合壳的输入与传播功率流。徐慕冰[7]研究了充液圆柱壳功率流的输入和传播特性。Pan等[8]分别以壳体径向位移和结构在传感器处的传播功率流为控制目标求取最优控制力。朱宏平[9]提出了三种基于功率流的结构控制策略，并在简化的单自由度建筑结构模型上加以运用。Brennan[10]对于梁中的弯曲振动提出了不同的控制策略，其算法相对较为简单，利用导纳函数构造目标函数为哈密尔顿二次型并求取最优控制力。Brévart等[11]研究了充液圆柱壳的频散特性，取其径向模态响应的平方作为控制目标函数，同样使用文献[10]中的方法进行传播波的全局最优控制，并通过能量传输损失对控制效果进行了描述。

本文以附着压电片的无限长真空光壳为结构模型，对壳体输入功率流主动控制方法进行了研究。以输入壳体的总功率流为控制目标函数，利用位移导纳函数将其表示成外加电压的二次型函数形式求解最优控制电压。讨论压电片与原始激励的轴向间距及周向粘贴位置的变化对壳体结构振动功率流主动控制效果的影响。

2 压电片激励下的壳体响应

以图1所示粘贴压电片的无限长壳体为研究对象，壳体壁厚为h，中面半径R，材料密度ρ，泊松比μ，弹性模量E，壳体轴向、周向和径向分别用x，θ，r表示，u，v，w分别表示壳体中面轴向、周向和径向位移。压电片轴向长度L，周向宽度2φR。本文压电片长宽尺寸及厚度相对圆柱壳半径假设为小量。对于多片压电片铺设情况，可以利用本文所述方法计算单片小面积压电片作用下的响应，并通过叠加原理得出最终的等效结果。设压电片粘贴中心处的壳体坐标为：x=0，θ=0。

压电片施加电压后将产生如图1所示等效轴向和周向面内分布力qs、qθ及力矩ms、mθ，可用单位阶跃函数表示为[4]：

其中 qs0、qθ0、ms0、mθ0为压电片产生的激励力幅值，s=x/R 为无量纲轴向坐标，ω 为圆频率，Ls=L/（2R）为压电片轴向的无量纲半长，n为周向波数，kn为周向模态n下的轴向波数。H（·）为单位阶跃函数，可表示成delta函数的积分：

根据壳体单元的平衡方程（附录A）并将内力、内矩用中面变形分量表示[12]，可得到壳体表面粘贴压电片时的运动方程：

将（1）、（2）、（4）式代入（3）式得：

式中［I3×3］为［L3×3］的逆矩阵，qs0、qθ0、ms0、mθ0同（1）所述。

将（6）式所得波数域幅值解代入（4）式，省去时间项eiωt，则可得到某一周向模态n下，轴向、周向和径向的响应幅值 Un、Vn、Wn：

（7）式所示结果为压电片粘贴在周向位置θ=0时的情况，当压电片粘贴在周向位置θ=θpzt时，只需将（7）式中的 θ替换成（θ-θpzt）即可。

设在压电片厚度方向上施加电压Ve，依照文献[2]，则有：

将（8）式代入（7）式即得到当外加电压为Ve时，图1所示壳体模型n阶周向模态响应幅值。

3 壳体输入功率流主动控制算法

设壳体所受的原始激励载荷为周向余弦分布简谐载荷F，作用在x=xp处：

Fst为原始激励力幅值。

当壳体结构受到（9）式形式的外力激励时，其任意位置的响应幅值可用与上节类似的方法得到，具体求解方法及响应表达式可参阅文献[13]。

下面考虑外载荷输入壳体的功率流。由参考文献[6]可知，当结构上某点承受简谐力Feiωt作用，而在该点产生速度响应Veiωt时，可按时间平均求得该点的输入功率流：

对压电片施加电压后，将产生图1所示的面内力及力矩qs、qθ、ms、mθ。由板壳理论可知，与上述四个分布力、力矩对应的位移及转角变化率为：

当激励力（周向线力）与控制力（面力）同时作用于壳体时，各力的输入功率流为相应位置输入功率流的线积分和面积分：

其中，Pst为激励力输入功率流，Pqs、Pqθ、Pms、Pmθ分别为 qs、qθ、ms、mθ的输入功率流。面积分区域 S 为压电片所覆盖的壳体表面。

为实现基于输入功率流的能量控制，将控制目标函数选取为原始激励力与压电片输入壳体的总功率流Pt：

将（10）、（13）式代入（14）式，可以将（14）式表示成为如下形式：

式中App、Aps、Ass由前述导纳矩阵及矩阵B中元素构成，虽然形式较为复杂，但当壳体及压电片参数不变、压电片与激励力相对位置确定的情况下为定值，具体表达式在附录C中给出。至此，便将Pt表示成为外加电压Ve的二次型函数形式。

以Pt为目标函数，利用二次型函数极值理论，则可得到当输入结构总功率流取极值时所需施加的最优控制电压表达式：

由于三角函数的正交性，压电片激励产生的第n阶模态将对原始激励力输入功率流产生影响，其它模态振动在原始激励作用处不输入功率流，而通过大量的数值计算表明，在本算法下压电片粘贴处的输入功率流相对原始激励处为小量，故下文重点考虑图1所示模型在某一周向模态n下输入功率流的变化情况。

利用（16）式便可根据原始激励力的大小设计一个开环前馈控制系统，通过改变施加在压电片上的电压对圆柱壳结构的输入功率流进行有效控制。

4 数值计算与讨论

参数选取：壳体弹性模量E=2.0×1011N/m2，泊松比μ=0.3，壳体密度ρ=7800kg/m3，壳体半径R=1m，周向模态n=1，壳厚比h/R=0.05；压电片弹性模量Ep=0.63×1011N/m2，泊松比μp=0.3，压电片密度ρp=7600kg/m3，压电片厚度比 hp/R=0.0004，压电应变常数 d31=2.74×10-10m/V,Ls=0.02，φ＝π/96。

为便于比较，将圆频率ω和总的输入功率流Pt分别无量纲化为Ω，Pt′：

4.1 压电片与原始激励力轴向间距对控制效果的影响

图2以无量纲频率为横坐标，输入壳体总的无量纲功率流为纵坐标，给出了周向模态 n=1，压电片与原始激励力轴向间距不同时，控制效果随频率变化的曲线。图中压电片与原始激励力轴向间距用无量纲量xp′=xp/R表示（以下称其为轴向控制距离），周向粘贴位置θpzt=0。通过计算分析发现，原始激励力与压电片轴向距离越近，总的输入功率流在较宽频段上就相对越小。随着轴向控制距离的增加，控制效果会产生波动现象。图中所示无量纲频率Ω=0，Ω=1，Ω=1.5附近出现的波动现象，可由圆柱壳输入功率流特性解释[6]：Ω=1是壳体环频率，波动频率大于此频率时，由于壳体曲率而产生的钢化效应凸显，未加控制时在此频率附近会存在输入功率流峰值，施加控制后的输入功率流有所减小，但相对其它频率仍然较大；对每一周向模态n，都存在一截至频率，在这个频率以下，外载荷不向壳体输入功率流，而刚刚超过截至频率时，壳体弯曲振动占主要成分，输入功率流会在截至频率附近取得一个峰值，当n=1时，截至频率趋近于零；Ω=1.5对应壳环的伸缩振动占主要成分，此频率附近也会出现输入功率流的一个波动。对于Ω=0附近的波动，本文所用方法控制效果相对较好，施控后输入功率流很小，说明表面粘贴压电片对壳体的弯曲振动抑制作用相对较强。随着控制距离的增大，另外两频率处的波动现象越为明显，这说明当轴向控制距离较远时，控制效果在一些频段上不会很好。由此可见，对于壳体输入功率流的前馈最优控制，轴向控制距离会对控制效果产生极大的影响，在实际工程应用中应慎重选择。

为进一步深入了解轴向控制距离对控制效果的影响，图3以xp′为横坐标，给出了某些频率下控制后总的输入功率流随轴向控制距离变化的曲线。

通过计算分析发现，施控后输入壳体的总功率流呈周期性变化。当Ω=0.3时，控制效果曲线的波动幅值小、周期长，且此频率下输入功率流相对其它频率较小（见图3）。随着无量纲频率Ω的增大，控制效果曲线的周期不断减小，同时，波动幅值也不断增大。当Ω=1.2时，曲线波动已非常剧烈。由此可知，随着轴向控制距离的增加，某些频率下，尤其是高频下的总输入功率流对压电片与原始激励力的轴向间距将会变得极端灵敏。对于其它周向模态下的输入功率流主动控制，经计算分析证明，轴向控制距离与控制效果间亦有类似结论。

4.2 压电片周向粘贴位置对控制效果的影响

4.1节讨论了压电片与原始激励力的轴向间距对控制效果的影响，相关结论都是在压电片的周向位置θpzt=0的情况下得出的。在某一周向模态下，壳体不同方向的响应沿周向是以简谐函数的形式波动分布的。不难想象，压电片周向的粘贴位置必然会对控制效果带来一定影响。

为具体讨论周向位置对控制效果的影响，图4所示为周向模态n=1，相同的轴向控制距离（xp′=0.05）、不同周向粘贴位置时，输入壳体总的无量纲功率流随频率变化的曲线。从图中可以看出，压电片的周向粘贴位置对控制效果的影响比较明显。通过计算分析得出，周向粘贴位置变化时，输入壳体总功率流曲线只是大小不同，而线形基本相似（如图4），这有别于轴向控制距离对控制效果的影响。为进一步了解周向粘贴位置对控制效果影响，需讨论控制效果随周向粘贴位置的变化情况。

图5以压电片的周向粘贴位置为横坐标，输入壳体的总功率流为纵坐标，给出了某两个频率、两个周向模态下、相同轴向控制距离时，控制效果随周向粘贴位置的变化曲线。图中显示的计算结果表明，输入壳体总功率流随压电片的周向粘贴位置是以弦函数的形式周期波动变化的。在不同频率，相同周向模态下，曲线只有波动幅值的区别，没有波动周期的变化。这说明周向粘贴位置对频率的敏感程度相同，与图4中描述的输入总功率流特性（不同周向位置时，pt′随频率变化曲线的线形相似）相吻合。相同频率不同周向模态下的输入功率流曲线的振荡周期不同，这与壳体周向模态的振型有关。不同周向模态下，在周向振型的驻点位置控制效果最差（图5中曲线峰值点对应的θpzt）。对于其它周向模态下的输入功率流主动控制，经计算分析证明，压电片周向粘贴位置与控制效果间亦有类似结论。实际工程运用时，可根据需要选择适当的位置粘贴压电片对输入结构的总功率流进行主动控制。

5 结论

本文对基于压电片作用的圆柱壳结构振动功率流主动控制进行了研究，构造目标函数（输入壳体的总功率流）为二次型函数的形式，求解最优控制电压。分析讨论了压电片与原始激励力的轴向间距及周向粘贴位置对控制效果的影响，对实际工程应用有一定的指导意义。

通过数值计算和分析比较可得出以下结论：

（1）输入壳体的总功率流随轴向控制距离是周期变化的，且不同频率下控制效果曲线的周期、幅值都不相同。不同频率对轴向控制距离的敏感程度不同。

（2）轴向控制距离较小（如当n=1时，xp′＜0.05）进行主动控制时，能在较宽的频段取得较好的控制效果。随着控制距离的增加，控制效果整体下降且出现波动现象。

（3）压电片周向粘贴位置变化时，输入壳体总功率流随θpzt周期振荡变化，振荡周期与相应周向模态下的周向振型有关。不同频率下控制效果曲线的幅值不同但周期相同。

[1]Wang C Y,Vaicaitis R.Active control of vibrations and noise of double wall cylindrical shells[J].Journal of Sound and Vibration,1998,216(5):865-888.

[2]Jha A K,Inman D J.Piezoelectric actuator and sensor models for an inflated toroidal shell[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2002,16(1):97-122.

[3]Wang Q,Liew K M.Analysis of wave propagation in piezoelectric coupled cylinder affected by transverse shear and rotary inertia[J].International Journal of Solids and Structure,2003,40:6653-6667.

[4]Sun Dongchang,Tong Liyong.Modal control of smart shells by optimized discretely distributed piezoelectric transducers[J].International Journal of Solids and Structures,2001(38):3281-3299.

[5]Lam K Y,Ng T Y.Active control of composite plates with integrated piezoelectric sensors and actuators under various dynamic loading conditions[J].Smart Mater.Struct,1999(8):223-237.

[6]张小铭.周期结构振动波传播和功率流研究[D].武汉:华中理工大学,1990.

[7]徐慕冰.圆柱壳—流场耦合系统的振动波传播与能量流研究[D].武汉:华中科技大学,1998.

[8]Pan X,Hansen C H.Active control of vibration transmission in a cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,1997,203(3):409-434.

[9]朱宏平.基于功率流的结构主动控制方法[J].振动与噪声控制,1998(5):21-28.

[10]Brennan M J,Elliott S J,Pinnington R J.Strategies for the active control of flexural vibration on a beam[J].Journal of Sound and Vibration,1995,186(4):657-688.

[11]BrévartB J,Fuller C R.Active control of coupled wave propagation in fluid-filled elastic cylindrical shells[J].Acoustical Society of America,1994,3:1467-1475.

[12]曹志远.板壳振动理论[M].北京:中国铁道出版社,1989.

[13]金全洲,李天匀,赵耀,严谨.基于主动力方式的圆柱壳结构振动功率流控制分析[J].中国舰船研究,2006,1(1)::17-20.

附录A 壳体单元平衡方程