六角孔的夫琅禾费衍射场的实验演示

李 多,景红梅,平 澄,周 静

(北京师范大学物理系,北京100875)

六角孔的夫琅禾费衍射场的实验演示

李 多,景红梅,平 澄,周 静

(北京师范大学物理系,北京100875)

采用一维光栅叠加和傅里叶变换对二维矩形光栅构成的矩孔衍射屏进行了分析计算,给出了衍射场光强分布的解析解和数值模拟结果.将内部具有3个不同取向的光栅的六角孔衍射屏看作是由3个不同方向一维光栅的叠加,对构造出的衍射屏进行快速傅里叶变换,得到该衍射屏的夫琅禾费衍射场分布.结果表明,单个六角孔的衍射场仅在衍射场中心处有一亮斑,衍射光强在3个受限方向有展开,演示观察效果不明显;内部具有光栅结构的六角孔的衍射场能明显地反映出六角孔的形状和衍射光强在3个受限方向的展开,演示效果明显.

光栅;夫琅禾费衍射;傅里叶变换

1 引 言

光的衍射是光学教学的重要内容,做好衍射演示实验、观察各种不同衍射屏的衍射现象是学生理解光的衍射现象的重要途径.在演示实验中学生希望既能看到衍射场的分布,又能看到衍射孔的形状,从而加深对衍射规律的理解.但是经常遇到的问题是:当衍射孔的线度在肉眼可观察的量级(mm)时,其衍射场分布将集中在场中央,很难直接看到条纹分布;而当衍射场的条纹分布可直接观察时,其所对应的衍射孔的线度将小于10-1mm量级,很难看出孔的形状,因而达不到演示实验的预期效果.为了解决这类问题,可以在大衍射孔(mm量级)中加入微结构,例如在PASCO的光学衍射实验系统中,有一种衍射屏用肉眼看是六角形的孔,用电子显微镜观察时,发现在六角形的孔内还有规则排列的光栅结构.使用这样的衍射屏进行演示实验,可以直接看到六角孔的形状及其衍射条纹分布.本文对二维矩形光栅构成的矩孔衍射屏进行了分析计算,然后采用快速傅里叶变换的方法分析计算了内部具有三角光栅的六角孔的衍射场分布,并与单个六角孔的衍射场进行了比较,结果表明内部具有光栅结构的六角孔的衍射场分布观察效果比单个六角孔的观察效果明显.

2 二维矩形光栅构成的矩孔衍射屏的夫琅禾费衍射

如图1所示的二维矩形光栅可以看成是二维矩形光栅构成的矩孔衍射屏,在分析其衍射场分布时,可将其看成是由x和y方向的一维光栅的叠加,由衍射理论可知[1],平行光入射时,其衍射的强度分布为

图1 二维矩形光栅构成的矩形衍射屏

光波在x和y方向上受限,所以衍射图样沿x和y方向展开.

观察屏上得到的衍射图样如图2所示.

图2 数值计算得到的二维矩形光栅构成的矩孔衍射屏的夫琅禾费衍射条纹

3 内部具有光栅的六角孔的夫琅禾费衍射的理论分析

内部具有光栅的六角孔衍射屏见图3,六角孔边长为0.69 mm,光栅常量为0.08 mm.仿照二维矩形光栅组成的矩孔衍射屏,可看成是沿3个方向的一维光栅的叠加,原理与前一种情况相同.这时,光波在3个方向上受限,衍射图样沿3个方向展开.衍射场的分布可由基尔霍夫衍射积分计算得出,由傅里叶光学理论知[2],平行光垂直入射时,对于远场的夫琅禾费衍射,基尔霍夫积分可简化为衍射屏的透过率函数的傅里叶变换.

图3 内部具有三角光栅的六角孔衍射屏的电镜片

建立坐标系,x沿水平方向,y沿竖直方向,则沿着3个方向的光栅的透过率函数分别用t1(x,y),t2(x,y),t3(x,y)表示,则

其中,d是光栅常量,L为六角孔的边长,N为光栅缝数.3个方向光栅的傅里叶变换分别为

其中,F(·)表示傅里叶变换,N为光栅缝数,fx和fy分别为x和y方向的空间频率.根据傅里叶变换的性质可知[2-3],内部具有三角光栅的六角孔衍射屏的衍射光场分布为

(8)式为内部具有三角光栅的六角孔衍射屏的衍射光场分布的解析表达式.进行数值模拟时,先用3个光栅构成六角结构,如图3所示,然后再对该结构进行快速傅里叶变换,得到其在观察屏上的光强分布,如图4所示.

图4 计算得出的六角结构的衍射场分布

由图4可以看出,内部具有三角光栅的六角孔衍射屏的衍射光强分布既能看出明显的六角结构,又能反映出光强在3个受限方向的展开,演示效果明显.

单个六角孔的衍射屏如图5所示,其大小与图4中的角光栅的六角孔衍射屏相同.对其进行快速傅里叶变换,可得单个六角孔的衍射场分布,如图6所示,(b)为(a)中方框内的放大图.

图5 单个六角孔衍射屏

4 内部有三角光栅的六角孔的实验结果

采用图7光路图,用氦氖激光做光源,透镜L1的焦距是10 cm,去掉了透镜L2,将接收屏远离衍射屏放置,接收屏与衍射屏距离为150 cm,满足夫琅禾费衍射条件,用canon IXUS 850IS数码相机直接拍摄接收屏上的衍射图样.

图7 夫琅禾费衍射光路

图6 计算得出的单个六角孔的衍射场分布

由图6可看出,单个六角孔的衍射光强分布只有光强在3个受限方向的展开,没有明显的六角孔结构,演示效果不明显.

实验中采用的是图3所示的衍射屏,图8为用canon IXUS 850IS数码相机直接拍摄接收屏上的衍射图样.

图8 内部具有三角光栅的六角孔的实验结果

5 结束语

用3个一维光栅对内部具有三角光栅的六角孔衍射屏进行了构造,然后对构造出的衍射屏进行快速傅里叶变换,得到该衍射屏的衍射场分布,并与单个六角孔的衍射场进行比较.结果表明,单个六角孔的衍射场分布,仅在衍射场中心处有一亮斑且3个受限方向有展开,演示观察效果不明显,而内部具有三角光栅的六角孔的衍射场分布,能明显反映出六角孔的形状和衍射在3个受限方向的展开,演示效果明显.

[1] 姚启钧.光学教程[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2] 顾德门J W.付里叶光学导论[M].北京:科学出版社,1976.

[3] 张洁天,严函斐,栾峰,等.二维快速Fourier变换及其在模拟光学现象中的应用[J].物理实验,1999, 19(6):6-10.

Demonstration experiment of Fraunhofer diffraction from a hexangular aperture

LI Duo,J ING Hong-mei,PING Cheng,ZHOU Jing

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

The diffraction screen of a two-dimensional rectangular grating is analyzed and calculated using one-dimensional grating superposition and Fourier transformation.The analytic solution and numerical simulation of the diffraction field are given.The hexangular aperture with three differently oriented gratings is treated as three one-dimension gratings.The constructed diffraction screen is transformed by FFT to obtain Fraunhofer diffraction pattern.The pattern can reflect the shape of hexangular aperture clearly and spread widely at three directions,showing obvious demonstration effect.In contrast,the diffraction pattern of simple hexangular aperture has only one bright spot in the center,and can spread at three limited directions,the demonstration effect is not apparent.

grating;Fraunhofer diffraction;Fourier transform

O436.1

A

1005-4642(2010)06-0005-03

[责任编辑:任德香]

“全国高等学校第9届物理演示实验教学研讨会”论文

2009-08-28;修改日期:2009-11-02

教育部第二类特色专业建设项目(No.TS2072);北京市教育委员会共建项目专项

李 多(1972-),女,黑龙江伊春人,北京师范大学物理系高级实验师,硕士,从事普通物理实验教学工作.

景红梅(1971-),女,山西太原人,北京师范大学物理系副教授,博士,从事光学信息处理研究工作.