对称正则长波方程的广义差分法

尹燕梅,谢树森

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

对称正则长波方程的广义差分法

尹燕梅,谢树森

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

本文考虑求解对称正则长波方程初边值问题的广义差分法,通过对原始方程的等价变分形式进行广义差分离散,给出全离散差分格式的误差估计,证明了格式保持原始方程所具有的守恒律,并通过数值实验,验证方法的有效性。

对称正则长波方程;广义差分法;误差估计;守恒律;数值实验

0 引言

对称正则长波(SRLW)方程

为正则长波(RLW)方程的一种对称描述,用于描述弱非线性等离子声波和空间电荷波的传播[1],由(1)式消去ρ,得到一类正则长波方程:

关于SRLW方程的定解问题适定性及数值方法已有了一些相应的研究,文献[2]为SRLW方程的拟紧致守恒差分逼近,文献[3]运用Legendre和Chebyshev拟谱方法对SRLW方程进行了分析,文献[4]给出了SRLW方程的显式精确解析解,文献[5]对SRLW方程提出了保持能量守恒的差分格式,另有文献研究了RLW方程组整体解的存在性和爆破现象及SRLW方程孤立波的轨道稳定性及不稳定性等问题。

广义差分法作为求解偏微分方程的新技术,自被提出以来日益受到重视。1978年,李荣华教授利用有限元空间和对偶单元上特征函数,将积分插值法改写成广义Galerkin法形式,将规则网格差分法推广为广义差分法(Generalized Difference Methods)。在近几十年里,李荣华教授和其他一些学者对广义差分法的理论和应用作了广泛而深入的研究工作,已建立了相当系统完整的理论。该方法是利用在对偶剖分体积单元上积分原始方程,并将近似解限制在某一有限元空间而得到的一种方程离散方法,由于它能够很好地在局部区域上保持原始方程的物理守恒性和其它重要特性,从而被广泛地应用于求解数学物理方程,文献[5-6]对该方法有较为详细的介绍。由于其与有限差分法和有限元法相比,既有前者的计算简单性,又兼顾后者的精度,从而可以在保证精度的情况下,有效的减少计算量,广义差分法的应用日益广泛,如文献[6-11]结果均体现出该方法的优越性,但对于SRLW方程的研究尚不多见。

本文在空间区间I=[a,b]和时间域[0,T]上考虑SRLW方程的初边值问题

1 广义差分格式

用Hm表示I=[a,b]上的m阶Sobelev空间, (·,·)表示L2上的内积,‖·‖m表示Hm上相应范数,记‖·‖0=‖·‖,U=H2∩H10(I),并假定问题(3)有唯一解。

对区间I=[a,b]进行剖分,定义原始剖分为Th,节点为

记hi=xi-xi-1,=(hi+hi+1)/2,h=max{hi; 1≤i≤J},并假定剖分是正则的,记Th={Ii;Ii= [xi-1,xi],1≤i≤J}。

定义相应的对偶剖分为Th＊,节点为

取试探函数空间Uh⊂H10(I)为定义在Th上的分片线性有限元空间,基函数记为φi(x),1≤i≤J-1。取检验函数空间Vh=span{ψi(x),1≤i≤J-1}⊂L2(I)为定义在T＊h上的分片常函数空间。显然, dimUh=dimVh=J-1。

定义记号:a(u,v)=(ux,vx),b((u2)t,v)= ((u2)t,vx)。于是,问题(3)相应的弱形式为:求u(t): [0,T]→H10(I),∀v∈H10(I),使

2 误差估计

定义如下离散范数:∀uh∈Uh,

3 差分格式的守恒律

4 数值实验

表1 数值解在T时刻的误差(L∞-范数)Table 1 Numerical errors at timeT(L∞-Norm)

表2 能量守恒律模拟Table 2Simulation of energy conservation laws

表1给出不同时刻,不同步长的误差,可以看出误差关于空间和时间步长是二阶精度。

表2给出不同时刻的能量近似值,验证了离散能量满足守恒律。

数值实验结果表明本文的格式是有效的,且保持能量守恒律,由于计算时只需要解3对角方程组,所用时间较少。

[1] Seyler E C,Fanstermmacher D C.A Symmetric Regularized Long Wave Equation[J].Phys Fluids,1984,27(1):4-7.

[2] 王廷春,张鲁明.对称正则长波方程的拟紧致守恒差分逼近[J].数学物理学报,2006,26A(7):1039-1046.

[3] 尚亚东,郭柏灵.广义对称正则长波方程的勒让德和切贝雪夫拟谱方法[J].应用数学学报,2003,26(4):590-604.

[4] 尚亚东.广义对称正则长波方程的显式精确解析解[J].广州大学学报:自然科学版,2003,2(2)

[5] Wang Tingchun,Zhang Luming,Chen Fangqi.Conservative schemes for the Symmetric Regularized Long Wave equations[J].Applied

[6] 李荣华.广义差分法及其应用[J].吉林大学学报:自然科学版, 1995,(1):14-22.

[7] Li Ronghua,Chen Zhongying,Wu Wei.The generalized difference Method for partial differential equations(Numerical analysis of finite volume methods)[M].New York:Marcel Dikker,2000.

[8] Wu Haijun,Li Ronghua.Error estimates for finite volume element methods for general second order elliptic problems[J].Numer.Methods Partial Differential Equations,2003,19(6):693-708.

[9] 陈传军.一维半导体器件的特征有限体积元方法及分析[J].高等数学计算数学学报,2005,27(3):279-288.

[10] 武海军,李永海,李荣华.二维非线性抛物方程广义差分法/有限体积元法的自适应计算[J].计算物理,2003,20(4):298-306.

[11] 曹艳华.一维Sobolev方程广义差分法[J].高等数学计算数学学报,2006,28(2):122-133.

[12] 吴微,李荣华.解一维二阶椭圆和抛物型微分方程的广义差分法[J].数学年刊,1984,5A(3):303-312.

[13] 李荣华,陈仲英.微分方程广义差分法[M].长春:吉林大学出版社,1994.

Abstract: In this paper,we analyze the generalize difference method for the initial boundary value problems of the symmetric regularized long wave equations and derived the error estimate for the full discrete difference scheme.We prove that the scheme proposed in this paper is conservative and provide a numerical experiment to confirm our theoretical findings.

Key words: symmetric regularized long wave equations;generalized difference method;error estimate; conservation laws;numerical experiment

AMS Subject Classification: 65C20

责任编辑 朱宝象

The Generalized Difference Scheme for the Symmetric Regularized Long Wave Equations

YIN Yan-Mei,XIE Shu-Sen
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O241.82

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-235-04

2010-04-20;

2010-05-24

尹燕梅(1984-),女,硕士生。E-mail:yinyanmei07@sina.com