关于非线性Petrovsky方程初边值问题的注记

张有珍, 王书彬

(1.郑州轻工职业学院基础部 河南郑州450002;2.郑州大学数学系 河南郑州450001)

关于非线性Petrovsky方程初边值问题的注记

张有珍1, 王书彬2

(1.郑州轻工职业学院基础部 河南郑州450002;2.郑州大学数学系 河南郑州450001)

考虑一类具有非线性阻尼项和源项的Petrovsky方程的初边值问题,通过对稳定集和非稳定集的精确刻画,证明了当初值属于稳定集及其边界时问题整体弱解的存在惟一性.

Petrovsky方程;初边值问题;稳定集;整体弱解

0 引言

非线性Petrovsky方程是描述梁振动问题的一类重要的四阶波动方程,并且出现在许多物理问题中[1-2].本文考虑具有非线性阻尼项和源项的Petrovsky方程的初边值问题,

其中,m≥2,p≥2,Ω是Rn中的一个具有光滑边界∂Ω的有界区域,v是∂Ω的单位外法向量.

Messaoudi[3]对问题(1)进行了研究,证明了当m≥p时,初边值问题的弱解是整体存在的,当m

在本文中使用如下记号:Hk(Ω)=Wk,2(Ω)表示Sobolev空间,(Ω)={w∈H2(Ω):0},其中和是在迹的意义下取值.分别表示Lp(Ω)和H2(Ω)的模,特别地

1 预备知识

首先给出初边值问题(1)的局部存在性定理.

定理1[3]假定当n≤4时,2≤m<∞,2

(Ω),u1∈L2(Ω),则对某个足够小的T>0,初边值问题(1)存在惟一弱解

且对t∈[0,T],有

定理1使(1)在Ω×[0,T)上存在解的所有T的上确界称为问题(1)解的生命界,用T＊表示.如果T＊=∞,称解是整体的;如果T＊<∞,称解是非整体的,此时也称解在有限时刻发生爆破,利用标准的延拓方法可以证明.

定理2在定理1的条件下,若

为了刻画稳定集和不稳定集,引入泛函

引理1设2)J(λu)对λ∈[0,+∞)有惟一的极值点,且在λ0处取到最大值

引理2设,u≠0,记

引理31)若I(u)<0,则;2)若;则I(u)>0;3)若I(u)>0,则0<;4)若,则I(u)<0.

引理4若J(u)≤d,则1)I(u)>0的充要条件是2)I(u)<0的充要条件是

定理3记(Ω):‖Δu‖

证明1)只需证明⊂W.当时,,从而J(u),当u≠0时,0≤,故知u∈W,即⊂W;2)若,则I(u)=0,J(u)≤d,且u≠0,因此u∈N,且J(u)≤d,故得u∈E＊,反之,若u∈E＊,则J(u)=d,I(u)=0,因此.

引理5在定理1的假设下,若E(0)

2 整体解的存在性

引理6在定理1的假设下,若E(0)

定理4在定理1的假设下,若E(0)≤d,m

证明首先,从定理1可知问题(1)存在惟一的局部解u(x,t),记解u(x,t)的生命界为T＊,只需证明T＊=∞.

引理1设(Ω),u≠0,则1)=0,=-∞;2)J(λu)对λ∈[0,+∞)有惟一的极值点λ0=,且在λ0处取到最大值.

引理2设u,记

取序列{λk}使得0<λk<1,k=1,2,…,且当k→∞时λk→1,令u0k=λku0,u1k=λku1,考虑初边值问题

如果u1=0且u0=0,则Ek(0)=0

且

利用引理6有估计式

于是由引理3和引理4可知

从式(5)和(6)可知,存在惟一函数~u∈W~和{uk}的子序列(仍记为{uk})使得对任意的T>0,当k→∞时uk在L∞(0,T;)中弱＊收敛于,ukt在L∞(0,T;L2)中弱＊收敛于,ukt在Lm((0,T)×Ω)中弱＊收敛于在L∞(0,∞);中弱＊收敛于

在等式(4)中,令m=k→∞可得

显然有~u(x,0)=u0(x),~ut(x,0)=u1.

因此~u是初边值问题(1)的整体弱解,从问题(1)解的惟一性可知在且对任意的故得T＊=∞.定理证毕.

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Remark on the Initial Boundary Value Problem for Nonlinear Petrovsky Equation

ZHANG You-zhen1, WANG Shu-bin2
(1.Department of Foundation,Zhengzhou Vocational Colloge of L ight Industry,Zhengzhou 450002,China;2.Department of M athem atics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

The initial boundary value p roblem is studied for Petrovsky equation w ith nonlinear damping and source term s.By construsting the stable set and the unstable set,the existence and the uniqueness of global weak solution are p roved w hen the initial value belongs to the stable set and it's boundary.

Petrovsky equation;initial boundary p roblem;stable set;global weak solution

O175.13

A

1671-6841(2010)03-0031-03

2010-03-12

国家自然科学基金资助项目,编号10971199;河南省基础与前沿技术计划项目,编号08230041060.

张有珍(1964-),女,讲师,主要从事非线性微分方程研究,E-mail:zhangyouzhen0816@126.com.