剖析数学概念内涵的教学方法

王冰燃

西安市第二十五中学 陕西西安 710002

剖析数学概念内涵的教学方法

王冰燃

西安市第二十五中学 陕西西安 710002

数学概念具有高度的抽象性、概括性和严密性，它是学习数学公式、原理、法则的基础知识。本文结合课堂教学，谈谈数学概念教学的体会。

概念 数学概念 教学方法

数学概念既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心。准确地揭示概念的本质，使学生思考问题、推理证明有所依据，有创建地解决问题。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及内部联系，就要了解概念的体系，注意概念的引入，剖析概念的内涵，掌握概念的符号，重视概念的巩固。本文主要从课堂教学实际出发，谈论几种剖析数学概念内涵的教学方法。教学方法得当，将有助于学生对概念的理解与掌握。

概念是思维的基本单位，它反映一类事物的本质属性。数学概念是揭示现实世界中空间形式与数量关系本质属性的思维形式。数学概念脱离了具体的事实，具有高度的抽象性、概括性和严密的逻辑性，学生学习起来有一定的难度。但数学概念又是学习数学公式、原理、法则以及提高能力的基础。因此搞好数学概念的教学至关重要。

一、教师必须重视数学概念的教学

21世纪是知识经济的时代，是人才竞争的时代，数学知识在社会的各个领域得到了广泛的应用，社会对其成员的数学素养也提出了越来越高的要求，对传统的数学教学方法提出了新的挑战。教师讲例题，学生做习题，教师讲公式，学生套公式的旧的教学模式显然落伍。课堂上空谈理论，硬套公式，忽视了应用和能力的培养，从而造成了许多人对数学无多大实际应用的思想。目前，国家一再强调的素质教育，使我们重新考虑确定我们的数学教学思想，加强基础学习，重视数学的应用，重视学生思维、运算能力的培养。这些都在于加强数学概念的教学。学生在数学学习中对数学概念的掌握和应用，直接关系到他们数学能力的发展及对数学知识的理解、掌握和应用的程度。要使学生学好数学必须对数学概念的教学给予足够的重视。课堂上，通过教师的科学引导，使学生对每一个数学概念都有清晰而精确的认识，以达到融会贯通，举一反三的应用效果。

二、数学概念的综合介绍

数学中的概念有些是加定义的，如方程、对数、函数；有些是不定义的，只加以直接描述，如点、线、面、集合等；有些既不定义也不描述，而作为常识应用，如无限延伸、旋转等。由于各个概念的具体内容和它在教学中的地位与作用的不同，有的概念简单，有的概念复杂，有的直观易懂，有的抽象不易接受，有些概念之间存在着一定联系，有些不同概念则容易混淆，而且概念也有主要与次要，关键与一般之分。因此，对各个数学概念教学的具体要求也有所不同。教学时对于不同的概念应采用不同的教学方法，灵活多变地引导学生剖析概念的内涵，建立正确的数学概念。

三、采用先进灵活的教学方法，引导学生建立正确的数学概念

1.引导学生从概念的形成过程中阐明概念的定义

概念的定义是在概念的形成过程中逐渐明朗化的，数学概念来源于生活实际，它是客观事物的数量关系和空间形式的反映。人们的认识是从感性到理性，从具体到抽象的过程。这就要求我们在数学概念的教学中，要紧扣生活中的现象，把实际问题转化为数学问题，运用数学概念来解释生活中的现象。

例：学习“角的概念的推广”时可举出生活实例，如钟表的指针按同一方向不停地旋转所形成的角，螺丝扳手与曲柄连杆按不同方向旋转所形成的角，用于学习“大于360°的角和负角”。在导数定义的教学中，通过分析物体作变速直线运动的瞬时速度形成了导数的定义，它虽然抛开了具体的物理意义，具有较强的抽象性，但学生接受起来并不困难，因为学生理解了导数的形成过程，感觉到数学概念就在我们的生活中，就在我们的身边。

2.把概念定义的解释转化为逻辑推理的结论

把新概念的定义平铺直叙地讲给学生，会淡化学生的求知欲望。让学生亲自参与到新概念下定义的过程中,不但会激发学生的学生兴趣,而且还培养了学生的逻辑思维能力。在饶有兴趣的问题中环游,使学生明确了概念的定义,不失为一种有意义的学习新概念的方法。

例：在学习直线的倾斜角时,可拿世界有名的比萨斜塔为例,塔的倾斜程度是相对于地面而言作比,引入直线的倾斜角是直线相对于x轴的倾斜程度。直觉思维使学生首先想到“直线与x轴的夹角就是直线的倾斜角”。

第一步：教师通过图1反驳学生，仅仅“取直线与x轴的夹角”是不能说明问题。因为图1中两条直线与x轴的夹角都为30°，但这两条直线的倾斜方向不同。

图1 两条直线l1、l2与x轴的夹角都为30°，但这两条直线的倾斜方向不同

第二步：学生在老师的引导下，考虑到“取直线向上的方向与x轴正向所成的角”。图2说明两者所成的角有无穷多个，不能用一个具体的数据来反映直线相对于x轴的倾斜程度。

图2 直线向上的方向与x轴正向所成的角有很多

第三步，经过冷静地思考后，学生会得到“直线向上的方向与x轴所成的最小正角”是惟一的，它能够作为直线倾斜角的定义（如图3）。

图3 直线向上的方向与x轴所成的最小正角是惟一的

对比发现，把“直线倾斜角”的定义直接叙述给学生，课后善于思考的学生会问老师“为什么要这样定义?”不善思考的学生也只是机械的背会了这个定义，并不明白它的真正内涵。让学生亲自参与到下定义的过程中，学生不但获得了知识而且思维也得到了进一步的提高，由开始的直觉思维上升到最后严格的逻辑思维，教师因势利导，层层深入，学生一步一步迈向新概念的大门。

3.利用学习的迁移规律，加强新旧知识的联系，建立新概念

学习迁移指的是一种学习对另一种学习的影响，也可以说是将学得的经验（包括概念、原理、原则等）改变后运用于新的情景之中。数学概念的形成具有连续性，新概念都是建立在已有的数学基础知识之上。因此数学新概念的学习又依赖于旧的知识体系，在教学时将新、旧概念对照，并揭示新、旧概念的联系，把新概念的学习融于旧的知识体系中，使学生容易接受和掌握新概念。

例如：在“反三角函数”概念的教学时，我们必须时时处处与反函数的概念紧密联系起来，反函数中的一一对应，互为反函数的定义域、值域的互为对立性，都是学习“反三角函数”的基础。观察、分析、寻找新概念与旧知识的联系与区别，挖掘个性，分离个性，解剖个性，则会事半功倍，提高学生的学习能力。

4.提供丰富的感性材料，创设问题情景，启发学生善于抓概念的本质特征

数学中，有些新概念与旧概念缺乏逻辑联系，而且又比较抽象难懂。对于这类概念的学习，教学时，教师应该给学生提供丰富的感性材料，尽可能较全面的突出概念本质特征的感性材料。再加上教师卓有成效的启发引导，促使学生思维持续地发展，愉快地接受新概念的学习。

例如：“集合”是不加定义的概念，我们不能用其它更基本的概念来给它下定义，而且“集合”又比较抽象，学生一时难以抓住它的本质。课堂上，教师从学生已有的知识出发，向学生提供必要的实例，通过具体的实例分析向学生提出以下两个问题：（1）是不是所有的事物杂乱地堆放在一起就形成了集合？（2）构成集合的事物之间有没有联系？有什么样的联系？从问题的解答中，使学生发现这一类对象所具有的共同性质，这些性质中有本质属性、非本质属性，通过比较分析，从中抽出本质属性，即“具有共同性质（属性）的事物形成集合”。接下来，再以“本班的全体同学”这个集合为例，再次提问：（1）本班的同学是否都已确定？（2）同学们座次不同，是否改变了这个集合？（3）尽管个别同学相貌相差不大，能否说明它们是同一个人?这3个问题又让学生很轻松地理解并掌握了集合中元素的3个性质（确定性、互异性、无序性）。由此可见，通过感性材料的分析，教师恰如其分的设疑提问，使“集合”概念更清晰地展现在学生面前。这种能够揭示概念本质的问题的提出，有利于调动学生的学习主动性，有利于促使学生积极思考，将抽象思维转化为具体的形象思维，同时又使学生体味到了“透过现象看本质”的快感。

5.善于比喻，化难为易

不同领域中的问题，常常会有同一的道理，借它山之石以攻玉，是行之有效的办法。善于运用比喻化深奥为浅易，并增添趣味，一个恰当的比喻胜过十遍的重复说教。函数并不因其表达的字母不同而改变，如：y=2x+1,(x∈R)与u=2v+1(v∈R)是同一个函数。学生对这一点不好理解，可以看作一个人并不因为衣着的不同而改变。f(x)、f(x0)难以区别，拿f(x)好比全班每个同学，f(x)不确定，而f(x0)是整个班集体中某一个同学，是确定的。通俗直观地给学生教会了一种学习方法。

6.指导学生形成概念体系

概念不是孤立的，概念和概念之间存在着各种各样的关系。概念体系是多种多样的，有相邻的概念（如正弦函数，余弦函数），有相反的概念（如原函数和反函数，导数与不定积分）,有并列的概念（如直角三角形、锐角三角形、钝角三角形），有从属的概念（如三角形函数。正弦函数）等。在教学过程中，教师可引导学生比较这一概念与其相邻的、相反的、并列的、从属的概念之间有什么区别与联系，画出概念体系图表，从整体中认识局部的、孤立的概念，以便抓住概念的本质属性和基本特征。

例如：高中学习了6个“距离”的概念，要教给学生弄懂它们之间的区别与联系：两点之间的距离；点到直线之间的距离；两条平行线之间的距离；点到平面之间的距离；两个平行面之间的距离；两条异面直线之间的距离。这6个“距离”的共同点是：距离都是指两点之间的线段之长；不同点是：相应的两个点的位置取法不同。教给学生善于从对比与联系中促进概念的深刻理解。

由上可知，运用富有启发性的教学方法，使教学活动既紧张又生动活泼，在最短的时间内，最大限度的发挥学生的智慧，达到教学的高效率、高质量。

四、在“做”与“用”的循环中领悟概念

数学概念具有高度的抽象性，许多概念都是多次抽象的结果，包含着精确丰富的内涵，大多不是“一脉相承”而是“相辅相成”的。由于智力发展的限制，是难于一次把握的，例如极限的概念蕴含了丰富的内容：无限的观点，逼近的思想，ε的独特性等。如果在极限定义中，花过多时间，常常是事倍功半，弄不好会影响学习的兴趣。而在实际应用（如计算、证明）中，在后续的知识（如连续、微分、积分、级数）的学习中逐步领悟，才能把握概念中的精神和思想，真正将极限概念识透、学懂。再如：对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的4种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目地。知识是一个整体，概念应与整个知识相结合，相适应，应在“做”与“用”的循环中逐渐领悟。

要提高教学质量，培养学生学习概念的能力，是不容忽视的。它不仅锻炼学生数学思维逻辑的严谨性，更重要的是教学生“学会”变为学生“会学”，为学生一生中的学习奠定坚实的基础，概念是思维的基本单位，概念的积累有助于学生思维的升华。

[1]数学教育教学[J].西北大学学报，2008，3

book=106,ebook=593

2010-01-13

王冰燃，本科，中教一级。