t-结构与心的Recollement

林增强

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

t-结构与心的Recollement

林增强

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

设三角范畴D允许有关于三角范畴D′和D″的Recollement，给出D中t-结构能够诱导D′和D″的t-结构的充分必要条件.证明在一定条件下，D中t-结构的心允许有关于D′和D″的t-结构的心的Recollement，从而由已知三角范畴的Recollement构造若干Abel范畴的Recollement.

三角范畴；t-结构；心；Recollement

1963年，Verdier提出了三角范畴的概念及其局部化理论［1］，从此，三角范畴理论成为代数表示论的研究热点之一.1982年，Beilinson等［2］在研究奇异空间和Perverse Sheaves时，引入了三角范畴Recollement的概念，并将Abel范畴中复形的截短概念一般化.他们在三角范畴D中引入了t-结构（D≤0，D≥0）的概念，并证明了t-结构的心D≤0∩D≥0是一个Abel范畴，函子D→D≤0∩D≥0是一个上同调函子［2］.因此，三角范畴的t-结构提供了研究三角范畴的Abel子范畴的工具.t-结构在许多数学分支起着重要的作用，如Perverse Sheaves，以及倾斜理论和交换代数等［2-5］.三角范畴的Recollement与t-结构关系密切.一方面，因为t-结构的概念类似于Abel范畴的挠理论［6-7］，对三角范畴的Recollement的研究可以归结为t-结构三元组的研究［8］.另一方面，若三角范畴D允许有关于三角范畴D′和D″的Recollement，则D′的t-结构和D″的t-结构可以诱导D的t-结构［2］.本文研究D的t-结构能够诱导D′的t-结构和D″的t-结构的充分必要条件，并利用t-结构这个工具，由已知的三角范畴的Recollement构造了若干Abel范畴的Recollement.

1 t-结构

定义1［2］假设D是三角范畴，（D≤0，D≥0）是D的严格满子范畴对.对于任意的n∈Z，记D≤n=T-n（D≤0），D≥n=T-n（D≥0）.如果满足下列3个条件：

（T1）D≤0⊆D≥1，D≥0⊇D≥1；

（T2）对任意的X∈D≤0，Y∈D≥1，HomD（X，Y）=0；

（T3）对D中任意对象X，存在三角A→X→B→TX.其中：A∈D≤0；B∈D≥1.

则称（D≤0，D≥0）是D的t-结构，D≤0∩D≥0为t-结构（D≤0，D≥0）的心.

例1 设A是Abel范畴，D=Db（A）.记

D≤0=｛X∈D|Hn（X）=0，对任意n＞0｝，

D≥0=｛X∈D|Hn（X）=0，对任意n＜0｝，

则（D≤0，D≥0）是一个t-结构，称为导出范畴Db（A）的标准t-结构，其心是Abel范畴A.

t-结构有如下常用的基本性质.

引理1［2］设A是三角范畴D的t-结构（D≤0，D≥0）的心，则对任意的n∈Z，有

（1）（D≤0）⊥=D≥1，⊥（D≥1）=D≤0；

［2］BEILINSON A A，BERNSTEIN J，DELIGNE P.Faisceaux pervers［J］.Analyse Et Topologie Sur Les Espaces Singuliers，1982，100：1-172.

［3］KASHIWARA M，SHAPIRA P.Sheaves on manifolds［M］.Berlin：Springer-Verlag，1990.

［4］KELLER B，VOSSIECK D.Aisles in derived categories［J］.Bull Soc Math Belg，1988，40（2）：239-253.

［5］HAPPEL D，REITEN I，SMALO O.Tilting in abelian categories and quasitilted algebras［M］.Providence：Amer Math Soc，1996.

［6］DICKSON S E.A torsion theory for abelian categories［J］.Trans Amer Math Soc，1966，121（1）：223-235.

［7］BELIGIANNIS A，REITEN I.Homological and homotopical aspects of torsion theories［M］.Providence：Amer Math Soc，2007.

［8］MIYACHI J.Localization of triangulated categories and derived categories［J］.J Algebra，1991，141：463-483.

t-Structure and Recollement of Hearts

LIN Zeng-qiang
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Let D，D′and D″be triangulated categories.Suppose D admits a Recollement relative to D′and D″.We give some necessary and sufficient criterions for at-structrue on D inducingt-structures on D′and D″.Moreover，we take the advantage of the relationship between a t-structure on D andt-structures on D′and D″to show that the heart of the t-structure on D admits a Recollement relative to the other two hearts.Thus，we get a few Recollements of abelian categories according to a Recollement of triangulated categories.

triangulated category；t-structure；heart；Recollement

O 154.1

A

1000-5013（2010）03-0356-05

（责任编辑：陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

2008-12-20

林增强（1980-），男，讲师，主要从事代数表示论的研究.E-mail：lzq134@163.com.

华侨大学高层次人才科研启动项目（08BS506）