一类非线性非最小相位系统的指数镇定

张绍杰 胡寿松

(南京航空航天大学自动化学院，南京 210016)

非线性非最小相位系统因其零动态不稳定，成为控制理论和应用研究领域中具有挑战性的问题.反馈线性化是研究非线性控制系统最常用和最有效的方法之一，在非最小相位系统的研究中得到了广泛的应用［1-2］.一般的反馈线性化方法是通过对输出求导直到导数中含有输入项，得到系统的相对阶，在此基础上通过微分同胚变换，设计控制律使系统稳定.Soroush等在文献［3-5］中通过对输出求与状态维数相同阶导数，然后在利用小增益理论设计控制律时令输入的导数为零，实现了非最小相位系统的渐近镇定，但由于小增益理论的限制，该方法要求开环系统稳定.在文献［6］中，作者将该方法扩展到了开环不稳定的系统，实现了系统的渐近镇定.在文献［3］的基础上，文献［7］针对单输入单输出(SISO)非最小相位系统，通过近似反馈线性化实现了系统的指数镇定，但由于非线性系统的输入输出耦合，其结论只适用于SISO系统.

本文考虑针对一类多输入单输出(MISO)非最小相位系统，利用近似反馈线性化和零扰动理论，设计系统的指数镇定控制律，仿真算例表明了本文方法的有效性.

1 一类MISO非最小相位系统的指数镇定

1.1 零扰动

考虑系统

式中，φ(x)为标称系统动态，Δ(x)为系统扰动，φ(x)，Δ(x)对系统状态x均为Lipschitz的，并记Δ(x)的Lipschitz常数为δ，即‖Δ(x)‖≤δ‖x‖.若Δ(0)=0，即扰动在零时刻的值为零，称为零扰动.对于零扰动系统(1)有如下引理:

引理1［8］若x=0为系统x˙=φ(x)的指数稳定平衡点，系统的Lyapunov函数V(x)满足，，其中c1，c2为正实数.若 Δ(x)的Lipschitz常数 δ满足，则扰动系统(1)的原点指数稳定.

引理1说明原点的指数稳定性对于一定范围内、具有Lipschitz性的零扰动具有鲁棒性.

1.2 一类MISO非最小相位系统的镇定

考虑一类如下描述的MISO仿射非线性系统

式中，x∈Rn为系统状态向量，u=［u1，…，um］T为系统输入，且 m≥2，y∈R 为系统输出;f(x)∈Rn，h(x)∈R，gi(x)∈Rn，i=1，2，…，m 为关于系统状态 x的充分光滑的非线性函数，并记 g=［g1，…，gm］.设 x=0，u=0是系统(2)的平衡点，且 h(0)=0.

假设1 系统(2)满足

假设1表明对于i=1，2，…，m，˙x=f(x)+gi(x)ui，y=h(x)具有相同的相对阶ρ.对于MISO系统，多个输入一般用来保证控制系统具有一定的余度，以确保系统的安全运行.如飞机上的液压系统，采用3余度设计，多余度采用类似的控制结构.故一般来说MISO系统是满足该假设条件的.

式中，bi(x)为系统状态x的非线性函数，表示第i个执行器对系统控制输入的影响，v0为待设计的控制信号.对系统(2)选取变换

并将式(4)带入系统，则系统(2)可表示为

设计控制律

本文采用的变换(5)与常规的将仿射非线性系统变为标准形的变换不一样，在对输出逐次求导过程中，即使出现了输入信号，我们仍继续求导，以实现系统的近似输入输出线性化，对于忽略的部分，我们采用零扰动理论进行处理.于是，对由变换(5)，控制律(4)和(7)确定的闭环系统(8)有如下定理:

将式(10)代入式(9)得

定理1说明对于系统(2)，不管其零动态是否稳定，即系统(2)是否为最小相位系统，只要满足定理的条件，则闭环系统(8)指数稳定.

定理1的证明过程表明，对于给定的δ1，δ2和设计的反馈阵K，存在扰动的一个范围使系统(8)指数稳定，但相反地，给定一个扰动，不一定存在相应的反馈阵K能指数镇定该系统.推论1给出了能够使系统指数稳定的扰动范围:

推论1 对于给定的δ1，δ2，在A为Hurwitz矩阵的前提下，记，则当‖Δ1(z)‖＜δ*时，存在反馈阵K能够指数镇定系统(8).

证明 略.

2 仿真算例

为验证上文理论的正确性，考虑如下非线性系统

式中，α1，α2＞0.系统相对阶为2，采用常规的反馈线性化方法，取

并设计反馈矩阵 K=［32，8］，则

系统零动态为˙x3=x3/α1，不稳定，系统为非最小相位系统.设系统初始状态为x(0)=［1，1.5，1.2］T，α1=0.2，α2=0.3，则在控制律(13)和(14)作用下，系统内部状态x3响应曲线如图1所示.

根据式(4)和(7)重新设计控制律，设计反馈矩阵 K=［256，96，16］，取

在式(15)和(16)作用下，系统状态响应如图2和图3所示.图2表明采用本文方法设计的控制律可以使系统内部动态稳定，图3表明了外部系统的指数稳定性.改变K，则可以求出系统稳定的初始值范围，从而给出系统的吸引区.

图1 输出反馈线性化x3的响应曲线

图2 近似反馈线性化x3的响应曲线

图3 近似反馈线性化状态x1和x2的响应曲线

3 结语

本文针对一类MISO仿射非线性系统，利用近似反馈线性化结合零扰动理论讨论了系统的指数镇定条件，最后结合数学实例进行仿真，说明了控制器的设计过程，进一步证明了本文方法的正确性和有效性.

References)

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