融数学史于高等数学教学中

蔡 瑾, 陈 琳, 董 艳

(1.中国人民公安大学,北京 100038;2.成都电子机械高等专科学校,四川成都 610031)

0 引言

法国伟大的数学家亨利◦庞加莱说：“若预见数学的未来,正确的方法就是研究它的历史和现状。”数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想起源与发展,及其与社会、经济和一般文化联系的一门学科。数学史反映了数学发展的脉络与本质,其价值表现为 3个方面：历史价值、数学价值、教育价值。今天数学史的教育价值越来越受到人们的关注。对于学生来讲,高等数学课程介绍的通常是一些似乎没有什么关系的数学片段,而历史可以提供整个课程的概貌,不仅使课程的内容互相联系,而且与其他学科有千丝万缕的关系,更进一步使它们跟数学思想的主干联系起来,这样学习数学就显得更加流畅、完整;因此,数学史在数学教学中的重要作用逐渐凸显出来。以下主要从 4个方面探讨数学史在高等数学教学中的作用。

1 帮助学生加深对数学概念、思想、方法的理解

高等数学教学的主要目的之一,是要让学生理解掌握教学中所要求的数学概念、数学思想和数学方法。在教学中,尽管我们反复强调其重要性,但是如果没有适当的历史叙述,那么这些抽象的数学概念、思想和方法的来龙去脉对于学生来说仍然是很费解的。我们有很多种途径可以帮助学生理解并掌握它们,这方面有很大的探索空间,而数学史在此可以发挥非常有效的作用。一些历史的例子可以古为今用,被开发出来作为阐释某些深奥数学概念和思想的教学载体。

例如,解析几何的创始人笛卡儿,在解决“帕波斯问题”等几何问题时,用具体思路与方法推而广之一般化后将数与形统一起来的新几何学取代了欧几里德几何,这就是我们现在的解析几何。后人给了笛卡儿很高的评价,称他是一位划时代的数学家,称解析几何是一门划时代的数学。

又如,在讲微积分时,很多学生对微积分的概念及数学思想方法不甚理解,这时可借助数学史讲述德国数学家莱布尼兹发现微积分的过程。约公元1672年,莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来,借助于笛卡儿的解析几何,把曲线的纵坐标用数值表示出来,并想象一个由无穷多个纵坐标 Y组成的序列,以及对应的X值的序列,X被看作是确定纵坐标序列的次序,同时考虑任意两相继的 Y值之差的序列。莱布尼兹后来在致洛必达的一封信中总结说：“求切线不过是求差,求积分不过是求和。”这一数学思想贯穿了《高等数学》概念的始终,如求曲边梯形的面积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长、二重积分、曲线积分与曲面积分等等,这一数学思想也可用于其他课程相关概念的学习上,真正做到举一反三。

2 帮助学生体会活的数学创造过程,培养学生的创造性思维能力

数学概念是从哪里来的?数学定理又是怎样被发现的?著名数学家冯◦诺依曼回答：“数学的概念来源于经验。”数学的历史证实冯◦诺依曼的回答是正确的。他对数学的本质做了深刻的剖析：数学是人类智能的中心领域,与自然科学和生活实际的特有联系,是数学的特点之一。

例如,微积分的起源显然是经验的。中国人说的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,是一种层次不低的经验,刘徽与祖暅“其幂既等,则其积不容异”的等幂等积定理源于经验;阿基米德对圆柱及其内切球以及一个高与底半径等于球直径的圆锥的联合体的“切片平衡法”求得球体积的高明的力学方法也是积分的经验之源。微积分和力学,由于两者密切结合而共同得到发展,初期的微积分的陈述是用半物理的方式给出的,一个明确无误的回答是牛顿的微积分起源于经验和自然科学。

虽然没有数学家排斥牛顿和莱布尼兹的微积分,但它距数学意义下的抽象性和严格性还有一定的距离,只有到柯西、魏尔斯特拉斯等给出了“εδ”、“ε-N”等极限、连续、导数、微分、积分等严格定义后,才最终使得这一理论得以完善。即数学之源是经验与自然科学,但必须经过严格的精细加工,这种加工是高度抽象的思维加工,使之概念明确、推理严格,整体内容无矛盾才称得上是数学。

通过对这些知识产生背景的讲解,可以向学生展示知识形成过程,预示知识发展前景,让学生感觉到身边的数学无处不在,数学并不是抽象的、呆板的定义、定理和公式。学习数学史可以让我们借签数学家的创新过程和思维方式,间接培养学生的创造思维能力。

3 激发学生学习数学的兴趣

数学是公认难学难教的科目,之所以这样,很重要的原因是我们的教学不能引起学生的兴趣。数学给学生的印象是枯燥抽象,其实,数学本身是多姿多彩的。历史上数学与天文学、力学同根连枝,还与音乐、哲学等交织共生,现代学术界还常常争论数学是艺术还是科学?是比喻还是猜测?对此数学史可以给出“全息图景”,激发学生探索数学美妙的欲望。

在数学教学中,适时、恰当地引入与教学内容有关的引人入胜和富有启发意义的历史话题,可以使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科,而是一门不断发展的生动有趣的学科,从而可以大大激发学生学习数学的兴趣。

例如,在讲授牛顿 -莱布尼兹公式时,可以介绍其来历,并不是他们共同发现的,而是在不同国度几乎同时发现的。牛顿研究微积分的实际背景是力学,而莱布尼兹则是从几何背景(例如切线、面积)来研究微积分,两者几乎同时操作,独立完成,殊途而同归,对微积分的基本概念与方法,牛顿发现稍早,而莱布尼兹公开发表稍早,由此还引起了一场纷争。

又如,中国古代数学衰落的原因。中国古代数学长于计算,逻辑性差;中国古代数学重应用,轻理论;中国古代数学的书写方式落后;八股取士考试制度的错误导向,使很多人成了数学盲;盲目排外;等等。这些都可以极大地激发学生学习高等数学的使命感,进而产生学习动力,提高学习兴趣。

4 有利于帮助学生培养科学品质,增强自我探索精神

数学是人类文明的重要组成部分,是人类智慧的结晶,数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史,它时而波涛汹涌,时而风平浪静。数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数先驱前赴后继、辛勤耕耘的结果。数学先驱们的严谨态度值得我们学习,他们的献身精神值得我们景仰,他们的经验教训值得我们借鉴,他们孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们感动。

以继牛顿之后最伟大的科学家之一,18世纪数学界的灵魂人物欧拉为例,他在年近花甲时双目失明,除了其本人和一些手稿幸免于难外,他的住所和财产全部在一场大火后荡然无存。尽管遭受一系列的不幸和沉重打击,但欧拉的科学活动丝毫没有减少。欧拉的记忆力和心算能力是惊人的,心算不仅限于简单的运算,高等数学同样可以用心去算。欧拉在完全失明前,还能朦胧地看到一些东西,他抓紧这最后的时刻,在一块大黑板上写下他发现的公式,然后口述其内容,由他的学生笔录。在失明后的 17年里,欧拉还解决了许多数学问题,留下 400多篇论文。由于欧拉身残志坚、百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神,以及无与伦比的数学贡献,后人誉其为“数学英雄”。

在数学史上,这样的数学先贤不胜枚举,他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神和道德情操,是后人应该继承的宝贵遗产。

以上从 4个方面探讨了数学史在高等数学教学中的作用,但数学史在其中的作用远不止这些。数学史和高等数学教学息息相关,通过在数学教学中渗透数学史知识,可以帮助学生在学习、研究、应用数学的过程中逐步体会数学的文化价值,把学生对学习高等数学的“怕”转化成“爱”,从而全面提高数学乃至其他课程的教学质量。

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