2009年高考理综全国卷Ⅱ压轴题的一种简捷解法

黄 瑜 李 力

(重庆清华中学,重庆 400054)

“从生活到物理,从物理到社会”是新课改的基本理念,而“以知识为载体、从能力立意”则是高考命题一贯的原则.作为2009年高考理综全国卷Ⅱ压轴题的第26题,充分地体现了“能力立意”和“注重STS联系”的高考命题特点.在当今全球能源危机的背景下,此题以“石油勘探”为素材,通过石油存在时产生的重力加速度反常现象的研究,勘探测定石油的位置与储量.此题对学生的能力要求较高,考查的能力也比较全面,阅读理解能力、建模能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力都囊括其中.据某省的抽样统计,学生的得分率不到1分(满分21分),且学生反映不容易读懂高考评分答案的解法.鉴于此,本文给出一种非常直观清晰、简捷易懂的解法.由于此题的困难在于第(1)小题,第(2)小题是第(1)小题的自然延伸,在第(1)小题得到的答案基础上可以轻易解决,故以下我们只研究它的第(1)小题.

图1

题目:如图1,P、Q为某地区水平地面上的两点,在 P点正下方一球形区域内储藏有石油,假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于岩石密度,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常量为G.

(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为d(远小于地球半径),求空腔所引起的 Q点处的重力加速度反常.

解析:如图2所示,在 Q点处放一单位质量的质点.假如球形空腔填满密度为ρ的岩石,它对 Q处质点的引力为F1,球形空腔外的其余部分对质点的引力为F2,F1与F2的合力即为正常情况下的重力加速度g(单位质量的物体所受的重力即为重力加速度).

假如球形区域内填满石油,则它对质点的引力减小为F1′,而球形空腔外其余部分对质点的引力仍旧为F2.这样一来 F1′与F2的合力变为 F′,此即现在的重力加速度 g′,它偏离竖直方向的夹角为α.

图2

由上述可得

根据题意和图2中几何关系可知“重力加速度反常”为

联立以上各式解得

又因为 ρ≫ρ油,所以得

此解法的特点是:第一,比较直观简捷,符合学生的理解水平与接受能力.第二,(4)式是没有忽略石油密度时重力加速度反常的通解式,而高考评分答案直接研究忽略石油密度的情况,从而仅得到了特解(5)式.第三,从我们的解法可以看出,题目并不要求g′偏离竖直方向的夹角α必须非常小,换句话说该地区重力加速度的大小和方向可以和正常情况有较大的偏离,这种解法和得到的答案都同样正确.