孤立子及其应用

韩瑞功

(潍坊科技学院,山东 寿光 262700)

在非线性动力学系统中除存在混沌现象外,还可能存在定域行波解,它们在物理上可初见为非线性激发的、能量不弥散的稳定的准粒子或孤立子.孤立子具有波粒二象性,但遵循经典运动规律.这种孤立子已经在宇观、宏观和微观领域内的许多方面得到了应用.特别是近代,随着计算机媒体、网络和科学技术的发展,其内在的应用意义凸现出来,成为物理学以及生命科学研究的课题之一.

1 孤立波的发现

孤立波是在100多年前由英国科学家拉塞尔最早提出的.关于他观察到的奇妙现象有这样一段生动记载:“我正在观察一条船的运动,这条船被两匹马拉着,沿着狭窄的河道迅速前进,船忽然停下了,而被水所带动的水团却没有停下来,它们积聚在船头周围激烈地扰动着,然后突然形成一个巨大、平滑且轮廓分明的孤立波峰,急速地离开船头滚滚向前.这水峰约有30英尺长,1～1.5英尺高,在河道中行进并一直保持着原来的形状,速度未见减慢.我骑着马紧紧追随,发觉大约以8～9英里/小时的速度前进,后来的波高度渐渐减小,在跟踪了1～2英里后它们终于消失在蜿蜒的河道中.”拉塞尔曾将观察到的这一现象在英国第14次科学促进会的会议上作了生动的报告.但由于当时科学技术的限制,没有人再对这一问题作出进一步的理论或实验研究.过了60年以后,在1895年,科特维格和德弗里斯提出了一个狭窄水波的运动方程,现通常简称为KDV方程,从而为孤立波的研究提供了理论基础.特别是该方程的一个特解可用来表示拉塞尔所描述的水团的形状和传播情况,此解可表示为

这里c是水团的行进速度,A为幅值,水域的宽度为b,浓度为h.这个解就是一个典型的孤波.但当时由于人们怀疑这个方程的解是否稳定而把它搁在一边,孤立波又一次被“孤立”了.

救活这一工作的是20世纪50年代费米等人研究的所谓FPU问题.他们设想了一个由64个质点用非线性弹簧相连的一条非线性振动弦系统,并计算该系统中各质点的能量分布.他们的这个工作开创了利用计算机对复杂物理问题进行数值计算研究的先例.他们发现,所得结果与线性系统中能量均分定理的结果明显不同,系统存在孤波解.由此他们受到启示:除了流体以外,在其他系统中也可能观察到非线性的孤立波.其后人们又考察了等离子体的非线性的孤立波.在这些研究中人们还发现,两个孤立波可以发生碰撞,但碰撞后他们的形状不会改变.这个结果为孤立波的研究进一步打开了大门.1973年,人们又在实验室的水箱中再现了拉塞尔所观察到的KDV孤立波,从而一度在世界范围内掀起了“孤波热”.

2 孤立波的物理特征

由于两列孤立波碰撞后保持各自原来的形状,不改变波形也不改变传播速度,因此现在又称它们为“孤立子”,简称“孤子”.自20世纪 70年代以后,人们在大到宇宙、小到微观基本粒子、复杂到生物体等许多物理系统上发现了孤立子的存在.

孤立子具有波动性,它是一种行波,可以在时空中传播,也可以在空间中处于静止状态,后者称为非传播孤立子.孤立子还具有粒子性,它具有一切粒子的基本特性,如能量、动量、电荷、自旋等.同时,它们在相互作用过程中遵循自然界的各种守恒定律,如能量、动量、质量守恒定律等.因此从上述意义上说,与量子力学的情况类似,孤立子也具有波粒二象性.但是应当指出,这里所说的孤立子完全属于经典物理范畴,它们遵循经典运动规律.

3 孤立子的数学基础

孤立子在数学上是某些非线性偏微分方程的局域行波解,这类非线性方程中包含有色散项.因此,稳定的孤立子解是在非线性力和色散力同时作用和相互竞争中所形成的一种稳态解.

(1)KDV方程.KDV方程是最早建立的描述在狭窄通道水面上产生孤立波的方程,KDV方程的形式是

在上式左边第2项是非线性项,第3项是色散项.

(2)非线性薛定谔方程.1958年人们发现在强磁场中的等离子体内也可产生孤立波,并由此建立了一类非线性偏微方程,称为非线性薛定谔方程,它的一维形式是

与通常的(线性)薛定谔方程相比,上式中多了一项非线性项,其中 G是参数.这个方程常常被应用于非线性光学中的自聚焦现象和等离子体中的单色波自调制问题.

(3)正弦-戈尔登(SG)方程.在超导材料和铁磁体理论的某些问题中会出现又一类非线性方程,称为正弦-戈尔登方程,其一维形式是

上式等号左边的形式与(线性)波动方程类似.

需要说明的是,除了上述介绍的3类孤波解的非线性方程外,还有许多其他类型的存在孤波解的非线性方程.目前,能找到非线性方程的孤波形式解析解还仅仅限于一维情况,是否存在二维,甚至三维的情况,还有待于物理学家和众多研究孤立波的人们的努力.

4 孤立子的应用

经过科学家的研究,特别是对于非线性方程的孤波解或孤子解已经有大量成果,其中不少成果已应用于几个科学领域,如固体和凝聚态物理、导电塑料、激光和光导纤维、电磁导弹等.

(1)光纤孤子通信.1968年孤子理论就被应用于光纤通信问题中.光纤通信系统中光脉冲的传输面临两个问题,一是脉冲的能量损失,二是脉冲的展宽.发送脉冲过密或传输距离过长都会在接收端造成脉冲重叠而使信号无法识别,因此脉冲展宽已是限制已有的线性光纤通信系统扩大传输容量的主要因素.于是在光纤中利用振幅、脉宽和形状都保持不变的非线性光孤子来传输信号,当然会引起人们极大的兴趣.这样,不仅解决了一技术性的难题,重要的是拓宽了孤立子特性的应用,具有重要的科技含量和发展前景.

为实现光孤子的传输,首要的问题是研制出精确可控的孤子激光器,目前已经制成的孤子激光器有拉曼孤子激光器、掺铒光纤孤子激光器和锁模半导体激光器等.实用化的光纤通信系统的研究也正在形成中.有人预言,在未来的信息社会中光孤子通信可能会发挥“神经枢”的作用.

(2)生命过程中的孤立子.生物体是一个开放系统,它在不断地与外界环境交换能量和物质的过程中可能出现自组织耗散结构,以维持生命活动.因此,生物能量和信息的传输是生命活动的最基本也是最主要的过程.乌克兰科学家达维多夫于1979年最早将一维孤立子理论应用到α—螺旋蛋白质分子中结合能的传输问题.他指出,α-螺旋蛋白质分子中由于集体激发而产生的激子和分子链位移变化的运动方程在连续性近似下可化为典型的非线性薛定谔方程,它的解就称为达维多夫孤立子.以后,其他科学家进—步研究了这个问题,并将它应用于解释肌肉收缩等生理现象,获得了一定的成功.这就是传递生物能量和信息的达维多夫孤立子机制.

生命过程中的另一个重要问题是,DNA(脱氧核糖核酸)分子作为生物遗传物质基础和生物遗传信息负载者是怎样完成复制功能的问题,研究这个问题对于人们认识生物遗传与变异,以及诸如癌症等疾病的致病原因都是有重大意义的.20世纪80年代以来的一些研究表明,DNA分子可以出现包括混沌状态在内的各种空间构象和局域性涨落,在一定条件下也存在各种各样的孤子激发.利用这些孤立子的不同性质和变化特点,借助于各种酶的参与,研究人员解释了DNA的解链和复制过程.此外人们还进一步发现,DNA复制现象是一种分形,其分形维数为0.63.可以预言,深入研究孤立子和生命过程的关系将对于进一步揭示生命的奥秘有着重要的意义.

1 教育部师范教育司组织编写.20世纪物理学概观.上海:上海科技出版社,1999.