另类分解 难题巧解

刘昌荣

(江苏省邗江中学,江苏扬州 225012)

运动的合成与分解是处理曲线运动的常用方法,如抛体的运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动;带电小球在水平匀强电场中抛出(速度方向与电场方向、重力方向在同一平面内),可分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动;还有如类抛体运动,都是将曲线运动分解为两个直线运动进行求解.

其实运动的合成与分解也可有其他方法.

1 直线运动分解为直线运动和圆周运动

例1.如图1所示,小船用轻绳通过定滑轮牵引,在小船以速度v匀速靠岸的过程中拉绳的速度v′如何变化?

图1

图2

解析:小船(B点)的实际运动是沿水平方向的匀速直线运动,可分解为以 A点为圆心、以AB为半径的顺时针转动和沿绳方向的直线运动,如图2所示,拉绳的速度等于船的径向速度,即 v′=v1=vcosθ.θ变大,v不变,v′变小.

拓展:如图3所示,跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A和B,A套在光滑水平杆上,细线与水平杆的夹角θ=53°.定滑轮离水平杆的高度 h=0.2 m.当由静止释放 A后,A能获得的最大速度是多少?

图3

图4

解析:此题初位置 A、B速度都为零,释放后,绳的拉力对A做正功,当 A到达定滑轮正下方时速度最大,B到达最低点.如图4,在此位置将A的实际速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向,发现沿绳方向的速度为零,故此时 B的速度也为零.再选取 A、B系统,利用机械能守恒定律即可求解.

2 螺旋运动分解为直线运动和匀速圆周运动

例2.如图 5所示,圆桶底面半径为 R,在顶部有一入口 A,在 A的正下方h处有一出口B,在 A处沿切线方向有一个光滑斜槽,一个小球恰能沿水平方向进入入口 A后,沿光滑桶壁运动,要使小球由出口B飞出桶外,则小球进入A时速度v必须满足什么条件?

图5

解析:小球在圆筒内做螺旋运动,由于桶内壁光滑,小球沿水平方向进入 A后,只受到重力和桶壁对它的弹力作用,于是小球的运动可分解为水平面内的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动.竖直方向从A运动到B的时间为t=;在水平面内设它从 A到B共运动了n圈,则vt=n◦2πR,(n=1,2,3…).两式联立可得 v=nπR(n=1,2,3…).此即为小球进入 A时速度v所必须满足的条件.

拓展:如图6所示,S为一离子源,它能机会均等地向 MN右方空间各方向持续地大量发射相同的正离子.离子质量为 m=1×10-15kg,电荷量为 q=2×10-8C,速度为v0=4×105m/s.在 S右侧有一半径为R=4×10-2m的圆屏,OO′是过其圆心且垂直圆面的中心轴线.如果 S与圆屏间有范围足够大的磁感强度为B=0.5 T的匀强磁场,方向垂直屏向右.S发射的离子中,有些不论S与屏距离如何,总能打到屏上.求这些离子的速度方向与 OO′夹角的取值范围.(不考虑离子的重力和离子之间的碰撞效应)

图6

解析:如图7所示,如果带电粒子进入匀强磁场 B时,其速度 v0与 B之间成θ角,将速度分解到垂直于B的方向和平行于B的方向,则粒子在垂直于B的平面内受洛伦兹力F=qv0Bsinθ,做匀速圆周运动,在沿B的方向上不受洛伦兹力做匀速直线运动,两个分运动合成,粒子的运动轨迹为一螺旋线.设 v0与OO′的最大夹角为θ时,粒子运动到离中心的最远距离为 R,r=其中 v2=v0sinθ,r=解得 θ=30°,所以 0≤θ≤30°.

图7

3 曲线运动分解为直线运动和匀速圆周运动

例3.空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图8所示,已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下,从静止开始自 A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零.C为运动的最低点.忽略重力,以下说法正确的是

图8

(A)这个离子必带正电荷.

(B)A点和B点位于同一高度.

(C)离子在C点时速度最大.

(D)离子到达B点后,将沿原曲线返回A点.

解析:该粒子在 A点速度为零,不受洛伦兹力,释放后向下运动,故电场力向下,所以带正电荷,选项(A)正确;B点速度为零,AB过程洛伦兹力不做功,由动能定理可得,电场力做功也为零,故 A、B等高,选项(B)正确;C点为最低点,A、C过程,由动能定理可得,电场力做功最大,C点速度最大,选项(C)正确;离子到达 B点后,应重复ACB间的运动形式向右运动,选项(D)错误.可见动能定理是解决带电粒子在复合场中一般曲线运动的一个有效的方法.

变式:若在此题的基础上,已知电场强度为E,磁感应强度为B,离子带电荷量为 q,质量为 m,试求:(1)C点的速度;(2)AB间距离.

解析:此时仅凭动能定理无法解决,进而想运用运动的合成与分解,依据常规思维,分解到水平和竖直方向,由受力情况可知并不能得到两个简单的直线运动,反而因为洛伦兹力的不断变化,使问题变得复杂.

此题采用以下方法可顺利求解.首先将A点的初速度零分解为水平向右的速度v1和水平向左的速度v2,v1=v2=v且满足 qv1B=qE,对离子受力分析,如图9所示,因为洛伦兹力 qv1B与电场力qE平衡,所以水平向右以 v1做匀速直线运动;同时在洛伦兹力qv2B的作用下,在竖直面内做匀速圆周运动.则离子的运动分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动,如图10所示,圆周运动的半径为r=周期为 T=

图9

图10

然后将两个分运动合成,不难得出:

(2)当完成圆周运动一周时,离子到达 B点,用时 T,B点速度为v1-v2=0(与动能定理求解吻合),合位移 x=x1+x2=vT+0=即 A、B间距离为至此,解答完毕.

拓展:(2008年江苏卷第14题)在场强为B的水平匀强磁场中,一质量为 m、带正电 q的小球在O静止释放,小球的运动曲线如图11所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x轴距离的2倍,重力加速度为 g.求:

图11

(1)小球运动到任意位置P(x,y)的速率;

(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym;

解析:参考答案的解法这里不再赘述,依据前述的分解方法,将O点初速度零分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v,且满足 qvB=mg.则小球的运动分解为水平向右的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动.所以第(2)问中,ym=2r=.第(3)问中,运用等效重力场的思想,等效重力为 qE-mg,方向竖直向上.如法炮制,将O点初速度零分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v,且满足qvB=qE-mg.则小球的运动分解为水平向左的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动.vm=2v=用此法解,发现题中“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x轴距离的2倍”为多余条件.