基于GFRF的弱非线性模拟电路特征提取

张 倩,刘光斌

摘 要:介绍一种基于GFRF分析的非线性模拟电路故障诊断方法,着重阐述这种故障诊断技术中电路特征的提取方案,重点解决了激励信号的设计,Volterra频域核测量等关键技术问题。利用Volterra频域核辨识非线性系统,确定电路的最高显著阶,设计合适的激励信号,用范德蒙特方法分离出电路的各阶响应,利用公式计算出Volterra频域核。

关键词:非线性模拟电路;Volterra级数;GFRF;Volterra频域核测量;激励信号设计

中图分类号:TP273文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)19-201-04

Feature Extraction for Nonlinear Analog Circuit Based on GFRF

ZHANG Qian,LIU Guangbin

(The Second Artillery Engineering College,Xi′an,710025,China)

Abstract:A fault diagnosis method for nonlinear analog circuit based on Generalized Frequency Response Function(GFRF) analysis is introduced.Especially,the project of feature extraction in circuit is expounded.The key technology such as designing the stimulus and Volterra frequency-domain kernels measurement are solved in this project.A nonlinear system is identified by applying Volterra frequency-domain kernel estimation.The highest significant order of nonlinear analog circuit is determined and the stimulus is designed.The response of each order is separated by the method of Vandermonele and the Volterra frequency-domain kernels is figured out by the formula.

Keywords:nonlinear analog circuit;Volterra series;GFRF;Volerra frequency-domain kernels measurement;design of stimulus

0 引 言

随着电子技术的飞速发展,非线性模拟电路在工程上广泛应用。但是,由于其自身的复杂性,使得电路的故障特征提取异常困难。选择恰当的电路模型并充分提取非线性电路特征是故障诊断的关键环节。由于非线性系统的Volterra1级数是系统的本质特征,Volterra核,特别是频域核具有鲜明的物理意义,且可进行工程上的频域分析,这对工程技术领域非常切合实际。它不仅提供了一种新的理论体系,而且为真正解决非线性实际问题提供了强有力的方法和工具[1]。在非线性电路故障诊断中,由于故障状态是系统传递特性出现非线性变化,故障的表现形式往往较复杂,从而限制了传统故障诊断方法的应用,然而基于频谱分析的故障诊断技术突破各种局限成为一种更有效的诊断方法。比较系统实际工作下的非线性频谱和处于正常状态及各种异常状态的标准频谱特征,根据误差大小判定非线性系统当前所处的状态。在非线性系统的频谱分析中,利用广义频率响应函数(Generalized Frequency Response Function,GFRF)可直观地研究非线性系统的次谐波振荡、增益压缩和扩张、频率调制等特性。Volterra级数的频域核对应系统的广义频率响应函数,因而将系统惟一的Volterra频域核作为系统特征进行故障诊断是一个合理的思路。基于非线性系统GFRF分析的故障诊断是Volterra级数模型在故障诊断领域中的具体应用[2]。

1 非线性系统的Volterra1级数模型

对任意连续的时不变非线性动态系统,若输入输出响应式解析函数,在零初始条件下,如果系统所采用的输入信号都满足下式:

∫∞-∞u(t)dt<∞

即:u(t)是能量有限的信号。

则该系统也可以用如下广义卷积积分或Volterra1级数完全描述:

y(t)=Nu(t)=∑∞n=0yn(t)

其中:

yn(t)=∫∞-∞∫∞-∞…∫∞-∞hn(τ1,τ2,…,τn)u(t-τ1)•

u(t-τ2)…u(t-τn)dτ1dτ2…dτn

(1)

yn(t)成为系统的n阶输出响应。hn(τ1,τ2,…,τn)称为非线性系统的n阶Volterra1时域核,或称广义脉冲响应函数。

hn(τ1,τ2,…,τn)的多维傅里叶变换为:

Hn(ω1,ω2,…,ωn)=∫∞-∞∫∞-∞…∫∞-∞hn(τ1,τ2,…,τn)•

e-(jω1τ1+jω2τ2+…+jωnτn)dτ1dτ2…dτn

称为非线性系统的n阶频域核,或称为n阶广义频率响应函数,也称n阶传递函数。

如果用Volterra1级数描述的系统满足下列条件:

(1)an=∫∞0∫∞0…∫∞0hn(τ1,τ2,…,τn)dτ1dτ2…dτn<∞;

(2) hn(τ1,τ2,…,τn)=0,(当笑觟<0时,i=1,2,…,n);

(3) limτ→∞hn(τ1,τ2,…,τn)=0,i=1,2,…,n。

则该系统是稳定的,且是物理可实现的。以上条件对于常见的连续非线性模拟电路是满足的,因此可以用Volterra1级数作为研究非线性模拟电路的一个理论工具。

2 Volterra级数的最高显著阶

在计算Volterra核之前,需要先确定Volterra级数的最高显著阶,即不能被忽略的阶。如果在计算的时候对阶数定的过高,会增大计算量;如果阶数定的过低,会增大计算的误差,使模拟出来的系统不能正确描述非线性模拟电路。因此,在计算各阶频域核之前,必须确定电路的Volterra级数的最高显著阶。

文献[3]中证明了如下定理:

定理 有n个时间信号u1(t),u2(t),…,un(t),则系统对ui(t)(i∈{1,2,…,n})的所有可能组合的m阶响应ym(t),有如下性质:

∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]=

0,0

(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un), m=n

如果令:

εn(t)=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]

=∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δi{∑∞m=0ym[∑ni=1δiui(t)]}

(2)

则由定理可知:

εn(t)=(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un)+

∑∞m=n+1∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]

因此可以得到如下结论:

对于n个时间信号u1(t),u2(t),…,un(t),可以得到如下表达式:

εn(t)=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]=

(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un)+HOT

式中:HOT=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]。

HOT表示更高阶核的贡献,εn(t)只与n阶和更高阶的系统Volterra核有关。

如果一个系统只有(n-1)阶或低于(n-1)阶Volterra级数,则εn(t)就会小于允许的系统模型截尾误差。

用n个时域信号u1(t),u2(t),…,un(t)的所有可能组合作为探测信号探测系统的阶数。根据式(2)计算εn(t),如果εn(t)的值使系统逼近误差在允许范围之内,则系统的最高显著阶为(n-1);如果εn(t)值较大,则添加一个时间信号un+1(t),继续探索,直到εn(t)的值小到允许的范围之内,所得到的时间信号个数为系统的显著阶加1。

在使用这种方法时,如果n很大,那么计算量也会很大。这时如果选择的时间信号满足如下条件:

ui(t)=-ui-1(t),i=2,4,6,…

则因为有输入信号对的相互抵消,ui的某些组合将产生相同的信号,这样便可以减少计算量。

3 Volterra频域核的测量

如果已知非线性系统的非线性微分方程描述形式,可以通过谐波分析法等方法求解GFRF。但是,非线性模拟电路很难用数学模型描述。文献[4,5]在时域利用最小二乘法求Volterra时域核。但是,Volterra级数长度随模型的记忆长度和阶数的增长呈指数增加,导致了维灾难。而且,时域响应是一种暂态过程,不容易准确地进行测量。文献[6]在一些合理的假设条件下,提出一种计算前三阶GFRF简化模型辨识算法。但是,这种算法具体应用工程实践中时,也存在不足,如:多音正弦组合激励信号的选取是通过试探的方法来确定的,一般不是最优激励信号,不能完全激励起系统的所有模态;直接方程组得到的辨识结果精度不够高,对输入输出数据有较高的依赖性等。

文献[7]给出了当非线性系统的输入激励信号为K音信号u(t)=∑kk=12a(k)cos[ωkt+θ(k)]=∑Kk=-K k≠0Akejωkt,且ωM=∑Kk=-K k≠0mkωk只对应一种从(ω-K,…,ω-2,ω-1,ω1,ω2,…,ωK)一次取n个(允许一个频率反复出现)的可能组合时的n阶Volterra频域核公式:

Hn(ωk1,ωk2,…,ωkn)=(2π)n-1Yn(∑ni=1ωki)U(ωk1)U(ωk2)…U(ωkn)

=Yn(∑ni=1ωki)2πAk1Ak2…Akn

对于输出信号进行频谱分析只能知道响应中的某个频率的振幅和相位,并不知道其中属于各阶的分量为多少,这样就无法确定各阶频域核的值,因此要测量计算非线性系统的高阶频域核,首先需要解决的问题是必须把系统响应中各阶Volterra核的贡献分开。

利用Volterra响应的齐次性可以达到分离各阶核的目的[8],通常使用范德蒙特方法进行求解[9]。

文献[10]以三阶响应为例介绍多音信号的频率设计方法:

假设输入系统的激励信号形式为:

u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)

此处的u1(t),u2(t)和u3(t)为多音信号,其频率分别为{Pω0,2Pω0,…,mPω0},{Qω0,2Qω0,…,mQω0}和{Rω0,2Rω0,…,mRω0},P

由式(1)可知,系统的三阶响应为:

y3(t)=韍3(τ1,τ2,τ3)u(t1-τ1)u(t2-τ2)•

u(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3

=∑3i=1韍3(τ1,τ2,τ3)ui(t1-τ1)•

ui(t2-τ2)ui(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3+

∑1≤i,j≤3i≠j韍3(τ1,τ2,τ3)ui(t1-τ1)ui(t2-τ2)•

ui(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3+6韍3(τ1,τ2,τ3)•

u1(t1-τ1)u2(t2-τ2)u3(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3

式中第二个等号右边第一项所含频率为±P,±2P,…,±3mP,±Q,±2Q,…,±3mQ,±R,±2R,…,±3mR。第二项所含频率为±m1K±m2L,其中m1=±1,±2,…,±m;m2=0,±1,±2,…,±2m;K,L=P,Q或R,但是K≠L。第三项所含频率为n1P+n2Q+n3R,其中n1=±1,±2,…,±m;n2=±1,±2,…,±m;n3=±1,±2,…,±m。如果上述三项的输出频率没有相同成分,可以用公式直接计算Volterra频域核,这里的目标是寻找一种P,Q和R的值,使上述三项输出频率互不相同,即要求P,Q和R满足如下条件:

n1P+n2Q+n3R=n1′P+

n2′Q+

n3′R,当且仅当n1=

n1′,

n2=n2′,

n3=n3′。

n1P+n2Q+n3R≠m1K+m2L

n1P+n2Q+n3R≠m3K

式中:K,L=P,Q或R,但是K≠L,n1,n2,n3,m1∈{±1,±2,…,±m},m2∈{0,±1,±2,…,±2m},m3∈{0,±1,±2,…,±3m},则系统的三阶输出的每个频率成分只对应一种输入激励的频率组合。

对于任意的P≥1,如果Q和R满足Q=(3m+1)P,R=(3m+1)Q,则P,Q和R满足上述要求。

对于其他阶输入激励谐波频率的确定,也可以照此法进行。

由对非线性模拟电路频率响应的性质分析可知,电路的n阶输出Yn(ω)中一切频率都可以在(n+2)阶输出Yn+2(ω)中找到,而由1阶至n阶核的全部输出频率都可以在(n-1)阶和n阶核的输出中找到。因此测量n阶核的激励信号也可以用于测量(n-2)阶核。在设计各阶激励信号的时候,只需要设计系统的最高阶和次高阶激励信号频率即可。

因为Volterra频域核Hn(ω1,ω2,…,ωn)有对称性和共轭对称性。由对称核Hn(ωi1,ωi2,…,ωin)引起的系统输出频域都是相等的,因此实际测量的时候,只需测量对称化核即可。由共轭核引起的系统输出频域为相等的正负频域对,因此实际测量的时候,只需测量系统频率响应正频率成分对应的Volterra频域核。

4 仿真实验

下面通过一个简单的电路(见图1)来验证该电路特征提取方法的正确性。

用PSpice仿真电路,电容两端电压作为电路输出。其中R2:i=0.001(u+5u2+5u3)。

图1 仿真电路图

根据本文的方法可确定该电路用一个三阶Volterra级数逼近,确定的激励信号形式为u1(t)=A[cos(6 000πt+0.1)+cos(14 000πt+0.2)+cos(30 000πt+0.3)],当A分别等于1,-1,0618,0382,05时,激励电路、测量电路响应,然后按照公式计算Volterra频域核。

根据计算出的频域核,利用公式计算u(t)分别为ua=1.2[cos(6 000πt)+cos(14 000πt)];

ub=0618[cos(6 000πt)+cos(14 000πt)+cos(30 000πt)]时的系统频域响应。

将仿真和用上述方法计算所得的系统频率响应曲线做比较,如图2,图3所示。

通过图示可以看出,本文所述方法的建模精度较高。

图2 ua产生的系统频率响应

图3 ub产生的系统频率响应

5 结 语

非线性系统的多样性、复杂性无疑为故障诊断增加了难度,但是随着控制理论、信号处理、计算机技术和人工智能等学科的发展,为非线性系统故障诊断技术提供了丰富的理论基础和先进手段。基于Volterra级数和GFRF在非线性领域内的应用研究就是控制理论内较为前沿的内容。严格地说,绝大部分系统都是非线性的,而对于非线性的、系统的近似线性化处理都不是从本征上对系统进行研究的。因此,研究基于GFRF分析在故障诊断技术中的应用在工程实践中具有十分重要的意义。

参考文献

[1]焦李成.非线性传递函数理论与应用[M].西安:西安电子科技大学出版社,1992.

[2]袁海英.基于时频分析和神经网络的模拟电路故障诊断及可测性研究[D].成都:电子科技大学,2006.

[3]Leon O Chan,Liao Youlin.Measuring Volterra Kernels Ⅲ:How to Estimate the Highest Significant Order[J].International Journal of Circuit Theory and Applications,1991,19:189-209.

[4]欧文,韩崇昭,王文正.Volterra泛函级数在非线性系统辨识中的应用[J].控制与决策,2002,17(2):239-242.

[5]孔祥玉,韩崇昭,魏瑞轩,等.一种全解耦的RLS自适应Volterra滤波器[J].电子学报,2004,32(4):687-689.

[6]Han C Z,Wang L Q,Tang X Q,et al.Identification of Nonparametric GFRF Model for a Class of Nonlinear Dynamic Systems[J].Control Theory and Applications,1999,16(6):816-825.

[7]殷时蓉,陈光礻禹,谢永乐.Volterra核的测量及在非线性模拟电路测试中的应用[J].控制与决策,2006,21(10):1 134-1 137.

[8]Leon O Chan,Liao Youlin.Measuring Volterra Kernels Ⅱ[J].International Journal of Circuit Theory and Applications,1988,17:151-190.

[9]林圭年.非线性网络与系统[M].北京:中国铁道出版社,1987.

[10]殷时蓉.基于Volterra级数和神经网络的非线性电路故障诊断研究[D].成都:电子科技大学,2007.