高斯脉冲调制Chirp信号分数阶Fourier变换的解析表示

范 瑜,陈 兰

摘 要:分数阶Fourier变换是Fourier变换的一种广义形式,揭示了信号从时域到频域变化过程中所呈现的特征,运用FrFT分析Chirp信号具有极佳的能量积聚效果。介绍分数阶Fourier变换的基本定义,给出高斯脉冲Chirp信号的FrFT以及最优化高斯脉冲Chirp信号分析角度,对于该类信号的低噪声检测与参数估计具有良好的应用前景。

关键词:Fourier变换;分数阶Fourier变换;Chirp信号;高斯脉冲调制Chirp信号

中图分类号:TN911文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)17-069-04

Fractional Fourier Transform of Gauss Pulse Modulated Chirp Signal and

Its Analytical Representation

FAN Yu1,CHEN Lan2

(1.Changshu Institute of Technology,Changshu,215500,China;2.Software Institute,Southeast University,Suzhou,215123,China)

Abstract:Fractional Fourier transform is a version of generalized Fourier transform,which reveals the features of signal from time and frequency simultaneously.The analysis of Chirp signal using FrFT can bring excellent energy accumulation effect.The definition of fractional Fourier transform is presented.Fractional Fourier transform of Gauss pulse Chirp signal is analyzed and the design of optimal angle is also studied in Gauss pulse modulated Chirp signal analysis,which have a good future in signal detection and parameter estimation when in low signal noise ratio situation.

Keywords:Fourier transform;fractional Fourier transform;Chirp signal;Gauss pulse modulated Chirp signal

0 引 言

Fourier变换(Fourier Transform,FT)作为最主要的信号分析工具主要用于处理频率不随时间变化的平稳信号,在时频平面时间轴与频率轴相互垂直,即Fourier变换是从时间域旋转π/2到频率域。但是Fourier变换通常无法表述信号的时频域性质,不能表示某种频率分量发生在哪个时间,而这种性质恰恰是非平稳信号最关键的性质,这对非平稳信号十分重要。分数阶Fourier变换(Fractional Fourier Transform,FrFT)是Fourier变换的一种推广形式,揭示了信号从时间域到频率域变化过程中所呈现的特征,即从时间域和频率域同时表示信号旋转π/2分数倍时的特征,从而克服了传统Fourier变换不能反映非平稳信号的统计量随时间变化的缺陷[1-4]。

分数阶Fourier变换是一种线性变换,与经典的Fourier变换有着天然的联系,又提供了Fourier变换所不具备的某些特点,而且它与小波变换、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的关系[3],因此近年来分数阶Fourier变换受到了研究者的广泛关注,相应的离散变换算法也相继提出[4]。此外,有关分数阶Fourier变换应用的研究也越来越多,如[5-10]等文献就介绍了分数阶Fourier变换在信号处理和通信系统方面的应用。

线性调频(Chirp)信号是一种典型的非平稳信号,它的瞬时频率随时间呈线性变化,常见于雷达、声纳和移动通信等系统中。对Chirp信号的研究,是非平稳随机信号处理理论及方法的基础。研究证明,分数阶Fourier变换就是一种很适合处理Chirp信号的变换。近年来,将分数阶Fourier变换用于线性调频信号(包括时不变、时变幅度线性调频信号)的检测和参数估计引起了越来越多的关注[11,12]。本文介绍了FrFT的定义、性质和简单应用,分析了高斯脉冲Chirp信号的FrFT以及最优化分析角度的选取问题。

1 分数阶Fourier变换的基础

分析和处理平稳信号最常用和最主要的方法是Fourier变换(FT)。Fourier变换建立了信号整个时域与整个频域的对应关系,其中:

X(ω)=1/2π∫∞-∞x(t)e-jωtdt(1)

x(t)=1/2π∫∞-∞X(ω)ejωtdt(2)

时域和频域构成了分析一个信号的两种表达方式,Fourier变换在整体时域上将信号分解为不同的频率分量,但它没有将时域和频域组合成一个域,不能提供时间和频率的联合信息。谱X(ω)只是显示任一频率ω包含在信号x(t)内的总强度,无法表述信号的时频域性质,不能表示某种频率分量发生在哪个时间,而这种性质恰恰是非平稳信号中的最根本和最关键的性质。如果x(t)是由几个非平稳分量组成的,那么时间上的任何变化都会改变X(ω)。此时,传统的Fourier变换就不能满足信号分析的要求了。

时频分析的基本思想就是设计时间和频率的联合函数,用它描述信号在不同时间和频率上的能量密度或强度,从而克服传统Fourier变换不能反映非平稳信号的统计量随时间变化的缺陷。分数阶Fourier变换(FrFT)是借用时频面的概念,以时间和频率分别为横轴和纵轴,旋转一定的角度进行的一种线性变换。

传统的Fourier变换X(ω)就是x(t)旋转π/2,即x(t)由时间轴t变到频率轴ω的表示形式。令:

α=pπ/2(3)

并且定义线性算子:

Rα=Rpπ/2(4)

记作Fp。F2相当于t轴连续两次逆时针旋转π/2,得到x(-t);F3相当于t轴连续三次逆时针旋转π/2,得到指向-ω轴的函数;F4表示t轴连续四次逆时针旋转π/2,得到原函数。因此线性算子Rα有以下数学性质:

(1) 零旋转:

R0=x(t)(5)

(2) 与Fourier变换等价:

Rπ/2=F[x(t)](6)

(3) 旋转相加性:

RαRβ=Rα+β(7)

(4) 2π旋转(恒等变换):

R2π=x(t)(8)

如果角度α以π/2的非整数倍进行旋转,则得到函数x(t)的广义Fourier变换,记作:

{Rαx}(u)={Fpx}(u)=Xp(u)(9)

这就是x(t)的分数阶Fourier变换:

Xp(u)={Fpx}(u)=∫∞-∞x(t)Kp(t,u)dt(10)

式中:变换核Kp(t,u)定义为:

Kp(t,u)=1-jcot α2πejt2+u22cot α-jutcsc α, α≠nπ

δ(t-u), α=2nπ

δ(t+u),α=(2n+1)π(11)

式中:n为整数。

从以上的定义可以看出,分数阶Fourier变换是经典Fourier变换的广义形式,它包含了信号的时间域和频率域表示。旋转角度为π/2时,即阶数为1的分数阶Fourier变换就是传统的Fourier变换;不旋转或旋转的角度为2π的整数倍则为信号本身;当旋转角度不在以上两个位置即p为分数时,它同时从时间域和频率域给出了信号的特征。在讨论分数阶Fourier变换时,由于角度以2π为模,所以只需要考虑0≤p≤2的旋转阶数。α角度的分数阶Fourier反变换对应着-α角度的分数阶Fourier变换,即:

x(t)=∫∞-∞Xp(u)K-p(t,u)du(12)

Fourier变换在线性系统分析、光学系统、信息处理系统等方面起着核心作用,并应用于众多的工程技术领域。作为广义Fourier变换,FrFT具有比Fourier变换更普遍的特性和更广的应用场合,尤其是普通Fourier变换技术不能解决问题的场合,FrFT更显其优越性。在FrFT研究的启示下,许多学者推广了分数阶的概念,得到分数阶卷积和分数阶相关,还把分数阶的概念应用到Hadamard变换、Hartley变换等,得到相应的分数阶变换。而且,分数阶Fourier变换已应用到图象处理的优化图象恢复方面。此外,将分数阶Fourier变换算子的分数幂推广至复数幂也成为目前研究的一个热点。

在20世纪90年代中期,分数阶Fourier变换被引入了信号处理领域。在信号处理中,FrFT有很多应用,其中两个典型的应用是信号滤波和信号分离[5]。实验已经证实分数阶Fourier变换滤波的效果明显优于Fourier变换;特别是对于线性调频Chirp信号,分数阶Fourier变换能够获得最佳的能量积聚效果,是分数阶Fourier变换最合适的应用领域之一。

2 高斯脉冲Chirp信号的分数阶Fourier变换

线性调频Chirp信号是一种特殊的非平稳信号,它的瞬时频率随时间呈线性变化,广泛地出现在通信、雷达、声纳和地震勘探等系统中。在工程实践中,高斯调制Chirp信号有着广泛的应用,而FrFT对于Chirp信号良好的检测和分析效果自然让我们想到能否将此分析用具引入到高斯调制的Chirp信号分析中。本文对此进行了深入研究,给出了相关解析结果。

高斯信号的标准形式为:

f(t)=12πδ2e-(t-t0)22δ2(13)

这是一个服从正态分布(t0,δ)的函数,它的Fourier变换和分数阶Fourier变换都具有高斯信号的形式[12]。利用已有的这些性质,可以研究高斯脉冲Chirp信号的分数阶Fourier变换。

令高斯脉冲Chirp信号为:

x(t)=e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)(14)

将高斯脉冲Chirp信号写成幅度和相位的函数,得到:

x(t)=x(t)ejθ(ω)(15)

其中:

x(t)=abs(e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c))=e-(t-t0)22δ2

θ(ω)=at2+bt+c(16)

式(14)所表示的高斯脉冲Chirp信号的分数阶Fourier变换为:

Xp(u)=1-jcot α2πeju22cot α∫e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)ejt22cot αe-jutcsc αdt

=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2∫e-[(12δ2-ja-jcot α2)t2-(t0δ2+jb-jucsc α)t]dt

=P∫e-(M2t2-2MNt)dt(17)

其中:

P=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2

M=12δ2-ja-jcot α2

N=t0δ2+jb-jucsc α12δ2-ja-jcot α2(18)

所以式(17)化为:

Xp(u)=P∫e-(M2t2-2MNt+N2-N2)dt

=PeN2∫e-(Mt-N)2dt(19)

令Mt-N=Q,则t=Q+NM,dt=dQM,因此得到:

Xp(u)=PeN2M∫e-Q2dQ(20)

然后取积分限为(-∞,∞),由于∫∞-∞e-Q2dQ =π,所以可得:

Xp(u)=πPeN2M(21)

再将P,M,N的值代入式(21)得:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t202δ2•

112δ2-ja-jcot α2et0δ2+jb-jucsc α22δ2-j4a-j2cot α(22)

将(t0/δ2+jb-jucsc α)22/δ2-j4a-j2cot α的分子分母同时乘以2/δ2+j4a+j2cot α,则式(22)化为:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t20 2δ2112δ2-ja-jcot α2•

et0δ2+jb-jucsc α22δ2+j4a+j2cot α4δ4+(4a + 2cot α)2(23)

若t0=0,可以得到:

Xp(u)=1-jcot α2112δ2-ja-jcot α2•

ejceju22cot αe-j(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2e-2δ2(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(24)

将Chirp信号的分数阶Fourier变换写成幅度和相位的函数,得到:

Xp(u)=Xp(u)ejρ(ω)(25)

因为ejA=1,在计算Xp(u)的幅值时可以忽略所有模为1的部分,这样就能得到:

Xp(u)=

abs1-jcotα2112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](26)

令: σ2=sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](27)

得:

Xp(u)=abs1-jcot α2

112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22σ2(28)

由式(24)和式(25)得:

ejρ(ω)=ejc+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(29)

因此Xp(u)的相位:

ρ(ω)=c+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(30)

由式(28)可得Xp(u)具有高斯函数的形式,服从正态分布(bsin α,σ2)。当方差σ2最小时,高斯脉冲Chirp信号的分数阶Fourier变换Xp(u)的能量最大,因此这时的α就是最优化角度αopt。从式(27)可知,σ2最小时,有2a+cot αopt=0,即:

αopt=-arctan12a(31)

同样,由式(3)可知,此时Xp(u)的最优化阶数popt为:

popt=-2πarctan12a(32)

由式(31)和式(32)对比文献[12]可得,Chirp信号和高斯脉冲调制Chirp信号的αopt,popt是一样的,这说明加上高斯窗的Chirp信号(即高斯脉冲Chirp信号)的最优化参数并没有改变。这就为高斯Chirp信号的FrFT最优化分析奠定了坚实的理论基础,可以充分利用FrFT对于LFM信号最优的能量积聚性质,将其应用于高斯Chirp信号的分析中,在低信噪比的环境中这一点更具有实际意义。

3 结 语

分数阶Fourier变换是Fourier变换的广义形式。作为一种新的时频分析工具,分数阶Fourier变换既与经典的Fourier变换有着天然的联系,又提供了Fourier变换所不具备的某些特点,而且它与小波变换、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的关系[12,13],是一种很适合处理线性调频Chirp信号等非平稳信号的变换。

在Chirp信号的检测和参数估计方面,分数阶Fourier变换具有重要的应用价值。尤其是它所具有的线性特性,可以方便地用于多分量线性调频信号的检测和参数估计而不受交叉项的干扰,大量被用于恒定幅度的线性调频信号,并取得了良好的效果。事实上,时变幅度线性调频信号在工程实际中有着更为广泛的应用背景,在工程实践中,会遇到很多经过幅度调制的线性调频信号,其中的高斯窗调制就是典型的一种。

从分析结果看,经过高斯窗调制的Chirp信号保持了原本的特性,在FrFT这个分析工具下能够获得优异的性能。

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