一种基于Eno-Haar模型新的图像修复算法

赵晨萍,王应军,李登峰

摘 要:为消除图像消噪中出现的Gibbs现象,基于Eno-Haar模型,提出一种新的图像修复算法。利用小波分解的遗传特征,将间断信息遗传到各分解层中;对带有间断信息的小波系数,设计多层多方向插值算法进行插值,即在各个分解层上分别插值,并考虑多个方向进行加权平均,得到最优的小波系数,重构得到最优的修复图像。最后对算法进行仿真实验,实验表明此算法具有很高的可行性和应用推广价值。

关键词:Eno-Haar模型;Gibbs现象;Kirsch算子;多层多方向插值

中图分类号:TP271文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)20-045-03

New Image Recovery Algorithm Based on Eno-Haar Wavelet Model

ZHAO Chenping1,WANG Yingjun1,LI Dengfeng2,3

(1.Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang,453003,China;

2.Institute of Applied Mathematics,Henan University,Kaifeng,475001,China;

3.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng,475001,China)

Abstract:A new image recovery algorithm based the Eno-Haar model is devised in order to eliminate the Gibbs phenomena generated in image denoising.Transfering the discontinuous information to the wavelet coefficients by making use of the genetic between the wavelet coefficients.Afterward,modifying the coefficients by multi-level and multi-orientation interpolation algorithm,and optimizing the interpolation results by weighted average method to obtain the optimum coefficients,the recovery images are acquired through the wavelet reconstruction.Finally,the algorithm is verified to be feasible and efficient by simulation experiments.

Keywords:Eno-Haar model;Gibbs phenomena;Kirsch operators;multi-level and multi-orientation interpolation algorithm

0 引 言

图像消噪是图像预处理的主要任务之一,它的目的是提高消噪后图像的质量,突出图像特征。近年来,小波分析技术得到了快速发展,并广泛应用于信号处理、图像处理、量子场论、不论是小波变换本身,还是与其他算法结合,其在图像消噪处理中都取得了很好的效果。但是各种消噪方法在处理中都会丢失图像的细节及边缘信息,出现常见的Gibbs现象,即奇异点附近会出现振荡现象。

在文献[1-3]的工作基础上,提出一种新的二维Eno-Haar小波变换,在插值延拓过程中进行多层多方向多项式插值,其特点主要体现在保留了原一维Eno的算法思想,而在检测间断点时,对其间断方向精确定位;并且在插值之后通过加权平均的方法得到最优的修正值;最后结合仿真实验说明了该算法的有效性和可行性。

1 Gibbs现象

由于在各种消噪方法中会丢失图像的细节及边缘再现常见的Gibbs现象,即奇异点的附近会出现振荡。如公式(1)所示的一维信号f(x),其图示及小波线性逼近如图1所示。从图1上可清晰看出,原函数经小波线性逼近后在间断点处出现了明显的振荡。

f(x)=0,0≤x<0.2-50x-5,0.2≤x<0.4

10sin(4πx+0.8π)-1,0.4≤x<1.1

5e2x-100,1.1≤x<1.6

0,1.6≤x<2(1)

针对上述问题,文献[1]中提出的Eno小波变换方法对消除Gibbs现象具有很好的效果。

图1 分段函数及其小波线性逼近图像

2 二维小波变换

对图像进行二维Haar小波变换[4]可解释为:利用局部平滑滤波器hLL=121111,水平边界探测器gLH=11-1-1,垂直边界探测器gHL=121-11-1和对角边界探测器gHH=121-1-11进行滤波。为计算一个2J×2J像素的图像X的小波变换,首先令平滑图像为uJ(k,l):=X(k,l),0≤k,l≤2J-1,使uJ(k,l)分别与hLL,gLH,gHL,gHH做卷积, 得到大小为2J-1×2J-1的四个子带图像uJ-1,然后对平滑图像uJ-1重复以上过程J-1次,最终得到u0,wLH0,wHL0,wHH0,其中的尺度系数矩阵uj是由原始图像逐步平滑得到的。小波系数矩阵wLHj,wHLj,wHHj分别对应图像在水平、垂直、对角三个方向的小波系数。

3 Eno-Haar模型

Eno算法是通过修改跳跃处经小波变换后产生的小波系数来达到的,所以可以把信号在跳跃处截为两段,分别利用这两段信息各自从间断处向外进行插值延拓。 这样,在间断处就有两组相对比较平稳的信号,使滤波器系数在处理这两组信号时相当于处理平稳信号,即避免跨过跳跃点,同时记录必要的定位信息。这样,可以不用修改小波变换和滤波器系数,仅用粗尺度空间的小波系数进行重构。事实上,利用Eno思想,直接从跳跃处的两边各自向外插值延拓,则这些延拓后的值通过小波变换将不会在高频空间产生较大的小波系数,同时又较好地保留了原图像地边缘信息。因此,Gibbs现象能从本质上被消除。 具体讲,经典的Eno小波插值算法可以概括为三个步骤:

(1) 进行间断点的判断;

(2) 对间断点的对应分解系数进行插值延拓,得到新的小波系数与尺度系数;

(3) 利用得到的新小波系数与尺度系数重构。

4 本文算法

4.1 间断点判断

图像的灰度边缘是灰度值不连续(或突变、奇异)的结果,这种不连续常可利用求导方便地检测到,而微分算子具有边缘检测的功能,这里采用微分算子中的Kirsch方向算子判断奇异点的位置。Kirsch方向算子[5]是利用一组模板分别计算在不同方向上的差分值,取其中的最大值作为边缘强度,而将与之对应的方向作为边缘方向。常用的八方向Kirsch(3×3)模板如图2所示,各方向的夹角为45°。

图2 Kirsch算子模板

记模板为Wk(k=1,2,…,8),则(x,y)处的边缘强度为:

E(x,y)=maxk{Wk•X}(2)

式中:•表示点乘运算,计算方法为:首先让模板在图像中移动,将模板中心与图中某个象素位置重合,模板上系数与模板下对应像素相乘,然后将所有乘积相加,记录这些边缘强度,并把每点的最大强度用E={E(x,y)|E(x,y)=maxk{Wk•X}}来表示,这里称E为原始图像的边缘强度图像,对边缘强度图像E,利用迭代得到的阈值T,可以确定图像中间断点的位置。

4.2 间断点遗传

定义1 对图像及其分解层上的系数位置A,A1,A2等,定义如下几个函数:

discon(A)=1,A点带有间断信息

0,A点不带间断信息

G(A1,A2)=1,A1,A2点有间断

0,A1,A2点无间断

inter(A)=1,A点位置的系数需要插值

0,A点位置的系数不需插值

定义2 对分解层上系数带有的间断方向信息,定义如下两个向量:

direct1(A)={A点带有的间断方向}

direct2(A)={A点需要插值的方向}

假设对图像进行n+1层小波分解,在判断出原始图像上的间断点后,对每一个间断点,保留所有大于已知阈值的边缘强度和间断方向。将这些间断信息在分解层上进行传递,如图3所示为二维Haar小波一个子带的四叉树结构[4]。每分解一层,下一层系数的间断由与它相关的上一层系数来决定,即若上一层的四个系数中有一个是间断的,则下一层的相应位置的系数一定是间断的,并且记录上一层四个系数中所有的间断强度及间断方向。具体流程图如图4所示。

图3 二维Haar小波变换一个子带的四叉树结构

图4 遗传算法流程图

4.3 多层多方向插值延拓

对图像进行n+1层小波分解,在判断出原始图像上的间断点后,对每一个间断点,保留所有大于已知阈值的边缘强度和间断方向。将这些间断信息在分解层上进行传递,插值过程如下。

(1) 从第1层到第n层,对待插值系数及插值方向进行搜索。 若第n层系数需要插值,则置inter[Vn+1(i,j)]=1,并由direct2[Vn+1(i,j)]的值来判断需要插值的方向。

(2) 对inter[Vn+1(i,j)]=1的那些Vn+1(i,j),假设待插值的两个点为Vn(2i+k1,2i+l1)和Vn(2i+k2,2i+l2),其中的k1,k2∈{-1,0};l1,l2∈{-1,0},其不同取值代表不同方向。

(3) 对每一个Vn+1(i,j),如果inter(Vn+1(i,j))=1,设direct2(Vn+1(i,j))中有m个方向需要插值,则第(4)步中对Vn+1(i,j)会判断出m个方向插值,也就是说对(i,j)位置会有m组新系数,现在要做的是对m组新系数进行加权平均,其思想源于对m个方向能量的平均,其中的权数由原始图像中此位置的各个方向的边缘强度的比值来决定。不妨记原始图像中对应Vn+1(i,j)的位置是(x,y),则上面m个方向中第j个方向的权重系数可由式(3)计算:

λj=Ekj/∑mi=1Eki(3)

(4) 用步骤(3)中加权平均得到的系数重构,分别用来替换间断左侧和右侧的系数,重构得到修复图像。

5 仿真实验及分析

用上面的算法,分别对二值图像和灰度图像仅最大边缘强度和次最大边缘强度进行处理,实验结果如图5所示。

图5 仿真实验图例

仿真实验中用两个方向的插值,让间断点的最大边缘强度和次最大边缘强度分别与阈值T进行比较;对大于T的方向才进行插值,否则不进行插值。由仿真实验实例可以看到,两个方向的插值在高分解层时也能很好的消除振荡现象,很好的改善重构图像的质量。 可以应用此算法对八个方向进行判断插值,然后进行加权平均。

参考文献

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