论物动学中公理化的形数结合几何学方法（2）

2010-05-02曾炜锋

科学之友 2010年8期

关键词：作图老子庄子

曾炜锋

（桂林市崇善路湾塘二巷5号2－4－2，广西桂林 541002）

本文是文［1］的第一个续篇。

整个自然界是辩证地发生、发展和消亡而过程转化为再生的，这在至今仍然有效的而以文言秘语著之的中国古典科学中，是有文献供考而可重新发现的。如：

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为。无为而无不为。”《论衡·遣告》：“夫天道，自然也，无为；如遣告人，是有为，非自然也。”

分，几何分形——整个自然界的形数结合的几何学，是有其形式表现的。如：《庄子·天下》：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”又《天道》：“必分其能”，即必分整个现实宇宙的总能量，亦即设整个现实宇宙的总能量值为形上的常数一而分之。

关于形数结合的几何分形，《庄子·齐物论》：“有分，有辩。”《系辞传》（下）：“辩是与非。”《庄子·至乐》：“无为可以定是非。”又《天道》：“故古之人贵夫无为也。”

1 对称

在科学研究中，对称这个概念，最初源于日常生活。如人的面部器官（耳目鼻口）以鼻梁为中心左右两侧的正常分布基本相同，就说它是对称的。《庄子·天下》：“譬如耳目鼻口，皆有所明，不能相通，犹百家众技也，皆有所长，时有所用。”

关于对称，理论物理学家杨振宁（1922－）说：“物理学中对称的概念直接取自我们日常的见解。在动力学问题中，按照对称来考虑，可以得到重要的结论。”［2］理论物理学家李政道（1926－）表明的见解尤为重要，他说：“1974年5月30日清晨约6点钟，我住的北京饭店的房间里电话突然响了。我被告知，毛主席打算1 h后，在中南海住处见我。尤其使我感到惊讶的是，见面时他想了解的第一件事竟是物理学中的对称。”

“根据韦伯斯特词典，对称的意思是‘平衡的比例’或者‘产生于平衡的比例的形式美’。”在中文里，对称有几乎完全相同的含义。从本质上说，对称是个静止的概念。而根据毛泽东的观点，社会进化的基础在于变革。动态，而非静态，才是唯一重要的基本要素。他强烈地感觉到这种认识对于自然界肯定也是对的。所以才奇怪为什么对称会在物理学中占有那么崇高的地位。

“在我们的会见中，我是唯一的客人。我们的坐椅之间是一个小茶几。上面放着铅笔、笔记本和两杯绿茶。我把铅笔【笔者按：这铅笔的几何学抽象为图1-a1】放在笔记本上【即图1-a1是位于一个平面之上】，把笔尖【图1-a2的‘0’端】指向毛泽东，然后再把笔尖转向我【图 1-a3】。铅笔【图 1-a2】转过来【图1-a3】又转过去【图1-a2】。我指出，这运动没有一刻静止，但这整个过程却具有对称性。毛泽东很欣赏这样的演示，并且问到对称的更深含义，问到物理学家能否仅仅根据对称性原理真正描述出普遍规律”，［3］即真正描述出“质化为量过程转变为量化为质和质守恒的规律”，［1］亦即真正描述出——宇宙总能量之化为商过程转变为商化为能和宇宙总能量守恒定律。

但是，李政道教授上述演示唯一的缺失是，未声明其演示为就地取材——不可弯折的一支铅笔（图1-a1）。因为，木质的刚性铅笔是不能对它施以可塑性实践，以求得必须的某种经验知识的。换言之，人们现在已知文［1］中的图 3-a5或图 5-a6内的实者表整个现实宇宙，即本文中的图1′-a1表整个现实宇宙。对图 1′-a1施以一定形式实践的对折，则得整个现实宇宙内部的相对运动态（图 1′-a2）。经验地绳直图 1′-a2，则得标量态的图 1′-a3。将该标量态的图 1′-a3，变换成矢量态的图 1′-a4，是可能的。不可否认的事实是，只有在图 1′-a4这种情况下，李政道教授才有可能以其手执图1′-a4的中点，令其绕该中点转过来（图1′-a5）又转过去（图1′-a4）。李政道教授指出，这运动没有一刻静止，但这整个过程却具有对称性（图1′-a6）。

图1 一支铅笔及其动向

图1 ′现实宇宙及其对称

在此，我们用图1来对应恩格斯、列宁的经典唯物辩证法思想的见解，并非无益。

恩格斯说：“运动【图1′-a4】应当从它的反面【图1′-a5】即从静止【图1′-a6】找到它的【可求解得的数值无穷小量的】量度，这对于我们的形而上学者【康托尔及其鼓吹者希尔伯特】来说当然是一道【连续统假设（continuum hypothesis）】难题和一付苦药。”［4］

列宁说：“统一物【图1′-a1】之分为两部分【图1′-a3】以及对它矛盾着【图1′-a6】的部分【图1′-a6的右侧或左侧】的认识，是辩证法的（是辩证法的‘本质’之一，是它的主要特点或特征之一，甚至是它的最主要特点或特征）。”［5］

毛泽东《矛盾论》：“按照唯物辩证法的观点，自然界的变化，主要地是由于自然界内部矛盾的发展。……唯物辩证法是否排除外部的原因呢？并不排除。唯物辩证法认为外因是变化的条件，内因是变化的根据，外因通过内因而起作用。”

一言以蔽之，经典唯物辩证法的这些重要论述，必定会通过本文于后的形数结合的几何分形及其可持续发展，而将逐一定量地表现出来。

2 几何分形

在中国的数学科学史上，最早的几何分形之学，在老子（公元前571－公元前？）之著《老子》一书中，即《老子》（四十八章）：“为学日益【笔者按：①学，见《说文解字》：“学，篆文敩省。”《书·说命下》：“惟敩，学半。”《说文解字》：“半，物中分也。”②日，见《说文解字》：“日，实也”】，为道日损【①道，见《庄子·缮性》：“道，理也。”理，见《说文解字注·理》：“郑注乐记曰：理，分也。”②日，见《说文解字》：“日，实也。”③损，见《说文解字》：“损，减也”】，损之又损，以至于无为。无为而无不为。”但是，老子之著《老子》书中，这种以文言秘语而著之的几何分形之学，今已几乎无人能识。

《辞海》（1999年版）：“老庄学派以老子、庄子学说为主的道家学派。《史记》以老庄同传，称庄子‘其学无所不窥，然其要本归于老子之言’。”如：

《老子》（四十三章）：“不言‘之’教，无为‘之’益，天下希及‘之’。”《庄子·知北游》：“夫知者不言，言者不知，故圣人行不言‘之’教。”

庄子（公元前369－公元前286）学说，即庄子之著《庄子》。《辞海》（1999年版）：“《庄子》亦称《南华经》。道家经典之一。庄子及其后学著。《汉书·艺文志》著录《庄子》52篇，现仅存郭象注本保留下来的33篇。其中内篇七篇，一般认定为庄子著；外篇杂篇可能搀杂有他的门人和后来道家的作品。一说内、外、杂诸篇都反映了庄子的思想。其文章汪洋恣肆，并多采用寓言故事形式，想象丰富。……历来注解极多，于今通行本有郭象（？－312）注，王先谦（1842－1917）《庄子集解》、郭庆藩《庄子集解》等。”本文中的《庄子》，皆引自王先谦《庄子集解》。

《庄子·天下》：“一尺之捶【笔者按：一，其数；尺，其形。一尺，数与形结合的几何学的图形（图1′）】，日取其半【日、半，见《说文解字》：“日，实也。”又：“半，物中分也”】，万世不竭”而无为以终。

［定理 2］现实宇宙的总能量，日取其半，取之又取，以至于无为而终。

解：设现实宇宙的总能量值为尺（形）上的常数 1（文［1］中的图3-a5或图5-a6上的实者，即本文中的图1′，亦即图2-a1－6）。

求证：现实宇宙的总能量值1（图2-a6），日取其半，取之又取，以至于无为而终。

证：几何直观表明，图2-a6中唯实无虚，是不言而喻的。在中国的古汉语中，所谓日取其半，即实取其半或实取其物中分也。《说文解字》：“日，实也。”又：“半，物中分也。”

图2 几何分形及其张量态

图2 ′欧氏几何•平面直角坐标

图2 ″连续统的基数

对图2-a6实取其半，则得图2-a7。

对图2-a7实取其半，则得图2-a8。

遵《庄子·天运》：“不可多取”之训导，而对图2-a8中的分数通分，则得图2-a9。

将图2-a9一般化，则得图2-a10。

以张量描述宇宙膨胀着的整个自然界，即对图2-a10施以去分母的张量运算，则得图2-a11。又继续对图2-a11施以去分母的张量运算，则得图2-a12或图2-a13。

结论：现实宇宙的总能量值1（图2-a1－6），日取其半（图2-a7），取之又取（图2-a8），用至于无为（图2-a12或图2-a13）而终。

证毕。

3 几何微分

什么是科学？孙钺说：“科学是认识世界的过程。”［6］或者说，科学是定量地认识现实宇宙的过程，尤以几何微分为工具，而求解得我们人类的宇宙过程极为敏感的初始条件或边界条件。

哈利韦尔（Jonathan J. Halliwell）说：“量子宇宙学家不可推卸的任务是提出宇宙初始条件或边界条件的定律。”［7］不幸的是，西方学术界的这种努力，至今仍未见成效。

在中国本土的传统科学中，自然科学（又称“量子浑沌宇宙学”），其目的是要求解得量子浑沌宇宙态（图 2-a12或图2-a13）。而且，量子浑沌宇宙态是几何微分的直接基础，即是隐行别也的直接基础。《说文解字》：“微，隐行也。”又：“分，别也。”又：“别，分解也。”分解也，即别解也，亦即量子凝聚形式有序宇宙学的初始条件或边界条件之解也，不可不察。

所谓浑沌，是以其量子——能量子（实）与虚量子（不实）同向相连或未别来表征的。（图2-a12）《辞海》（1999年版）：“浑沌①同“混沌”。——曹植（192－232）《七启》：“夫太极之初【笔者按：①夫，见《说文解字》：“夫，——周制以八寸为尺”，即密制以八寸（图 2″-a12，即图 2-a12）为尺（图 1，即图 2-a1－6）。②之，见《庄子·田子方》：“凡之亡也”】，浑沌未分【即能量子（实）与虚量子（不实）同向相连而未别（图2-a12）。《说文解字》：“分，别也”】。”又：“混沌①古……天地相连的状态。《白虎通·天地》：‘混沌相连【笔者按：连（图2-a12），见《庄子·大宗师》：“连乎其似好闭也。”《易·坤·文言》：“天地闭。”《礼记·月令》：“天地不通闭塞而成冬。”《说文解字注·冬》：“冬之为言终也。”《庄子·田子方》：“凡之亡也”】，视之不见，听之不闻。’”《中华大辞典》（1915年编）：“混沌，阴阳未分也【笔者按：引伸为虚、实同向相连而未别也】。见《字汇》。”故曰：量子浑沌的数学科学形式表现，即图2-a12，不误。

图3 从浑沌到可迭代有序

图3 ′连续统的基数·序数及N1

所谓几何微分，即《老子》书中至今仍然有效的“无为而无不为”之说，亦即《庄子》书中的“有为”之说。

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为【图2-a12或图2-a13，即图3-a1或图3-a′1】。无为而无不为【图3-a2或图3-a′2】。”《庄子·天道》：“无为也，则用天下而有馀；有为也，则为天下用而不足。故古之人贵夫无为也。”因为，《老子》书中的“无为”，即是几何分形之终（图2-a12或图2-a13）。《庄子·秋水》：“消息盈虚，终【图2-a12或图2-a13，即图 3-a1或图 3-a′1】则有始【图 3-a2或图 3-a′2】。”又《知北游》：“死【图 2-a12或图 2-a13，即图 3-a1或图 3-a′1】也生之【之，见《庄子·人间世》：“而知‘之’所为‘出’乎哉。”《说文解字》：“之，出也”】始【图3-a2或图3-a′2】。”故曰：始【图3-a2或图 3-a′2】，即量子凝聚形式有序宇宙阶段［1］极为敏感的初始条件或边界条件，亦即我们人类的宇宙过程极为敏感的初始条件或边界条件。但是，敏感其何？这个问题于中国古代流传至今以文言秘语而为之的文献中，是有记载的。如，

《老子》（四十八章）：“取天下【图2-a12，即图3-a1，亦即图 5-a1。《史记五帝本纪》：“天下谓之浑沌”】常以无事。”《庄子·大宗师》：“无事而生定。”又《逍遥游》：“定乎内、外【图5-a1，即图 3-a1，亦即图 2-a12】之分【图 5-a2（《说文解字》：“之，出也。”又：“分，别也”），即图3-a2】。”《礼记·大学》：“外本内末。”又如，

图4 无穷积分或无穷集合

图4 ′连续统假设

《老子》（四十八章）：“取天下常以无事【1．以，见《说文解字》：“以，用也。”2．无事，见图 6-a1，即图 3-a1，亦即图2-a12】。及其有事【有事，即事至。《庄子·田子方》：“事至而断”（图 6-a2，即图 3-a2）】，不足【图 6-a2，即图 3-a2】以取天下【用取图 6-a1，即图3-a1，即图 2-a12】。”《礼记·乐记》：“宫为君，商为臣，角为民，徴为事，羽为物。【笔者按：即图6-a1为图 6-a2】”《论语·学而》：“敏于事【图 6-a2】。”

商（图6-a1，即图3-a1，亦即图2-a12），见《中华大辞典》（1915年编）：“商，张也，阴气开张。”又：“商，漏刻也。《仪礼士昏礼注》日入三商为昏。《通雅》三商，三刻也”。再见《辞海》（1999年版）：“商④漏刻。古代漏壶中箭上所刻的度数。《仪礼·士昏礼》贾公彦疏：‘郑目录云：‘日入三商为昏。’……商，谓商量【曾炜锋按：商量，读作Shānɡ liànɡ。［辨误］在这里，商量——不能读作 Shānɡ liánɡ】，是漏刻之名。’”再者，《庄子·天下》：“譬如耳目鼻口【笔者按：见图 7-a1，即图 3-a1，亦即图2-a12】，皆有所明，不能相通，犹百家众技也，皆有所长，时有所用。”又《知北游》：“耳目聪明【笔者按：见图7-a1，即图3-a1，亦即图2-a12】。”又《天地》：“聪明睿知，给数以敏。”《论语·学而》：“敏于事【图 6-a2，即敏于数 0（图 7-a2）】。”《系辞传》（上）：“易，无思也【笔者按：无，见《说文解字》：“无，亡也”】，无为也【无为（图2-a12，即图3-a1，亦即图7-a1），见《庄子·田子方》：“无为而才自然矣。”《论衡·遣告》：“自然也，无为”】，寂然不动【中国的寂然不动说与西方的热寂说于宇宙过程互相对立。见文［1］的图7】，感而遂通天下之故。”《礼记·乐记》：“感于物【笔者按：物，见图 6-a2，即图 7-a2】而后动【动，见图7-a3或图6-a3，即图4-a1】。”《庄子·刻意》与《庄子·天道》皆曰：“动而与阳同波【图7-a3，即图6-a3，亦即图4-a1或图4-a′1】”，此即中国古代科学中至今仍有效的量子宇宙波动说。

霍金（Stephen Hawking）在就任［英］剑桥大学卢卡西恩讲座教授的就职讲演中说：“我认为【我们人类的】宇宙【过程】的初始条件，是和局部的物理定律一样，都是同样适合作为科学研究及理论的课题来探讨的。”［8］不幸的是，霍金教授及他的西方同行们，事实上至今仍未能“对宇宙的初始条件及局部的物理定律做出解释。”［8］

其实，量子浑沌宇宙态【图2-a12，即图3-a1】的局域等值变换【图3-a2】，则得我们人类的宇宙过程的极为敏感的初始条件或边界条件。

图5 内、外出别

图6 无事·有事

图7 七窍·敏感·动

4 无穷积分或无穷集合

在中国古代的数学科学中，以道家学派为代表创建的无穷积分或无穷集合，仍是以文言秘语来表述的。所以，道艺复兴，是重振中国科学的前提条件。（见表1）

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为【图2-a12或图2-a13，即图3-a1或图3-a′1】。无为而无不为【图3-a2或图3-a′2】。”《庄子·天道》：“无为也，则用天下而有馀；有为也，则为天下用而不足。故古之人贵夫无为也。”《老子》（七十七章）：“有馀者【图2-a12或图2-a13，即图3-a1或图 3-a′1】，损之【图 3-a2或图 3-a′2】；不足者【图 3-a2或图3-a′2】，补之【图 4-a1或图 4-a′1及图 4-a2或图 4-a′2】。”《庄子·天下》：“以有积为不足【图3-a2或图3-a′2】”，即以有无穷积分为图3-a2或图3-a′2，亦即有无穷积分极为敏感的初始条件或边界条件为图3-a2或图3-a′2。因为，图3-a2即图7-a2是不言而喻的。

再者，《庄子·大宗师》：“阴阳于人【笔者按：人，见《说文解字》：“人，天地之性最贵者也”】。”又《知北游》：“人之【笔者按：之，见《庄子人间世》：“而知‘之’所为‘出’乎哉。”《说文解字》：“之，出也”】生，气之聚也，聚则为生，散则为死。”又：“死【图 2-a12或图 2-a13，即图 3-a1或图 3-a′1】也生之始【图3-a2或图3-a′2】。”又《人间世》：“气也者，虚而待物【图6-a2，即图3-a2中以同步迭代】者也【图6-a3，即图4-a1】。唯道集虚【笔者按：1．唯，见《辞海》（1999年版）：“唯④语助词，无义。《论语·述而》：‘与其进也，不与其退也，唯何甚。’”2．道，何谓道？《系辞传（上）》：“一阴一阳之谓道”，其形数结合的几何学语言即：一阴一阳出谓道（图6-a2，即图3-a2），《说文解字》：“之，出也。”3．集，见《左传·襄公二十六年》：“今日之事，幸而集。”（1）事，见《庄子·田子方》：“事至而断”（图6-a2）。（2）幸，见《庄子·德充符》：“幸能正生”，即幸能是生（图3-a2）。《说文解字》：“正，是也。”再见《中华大字典》（1915年编）：“幸本作。《说文夭部》：“吉而免凶也。从，从夭。夭，死之事，死谓不。《段注》死为不幸，则免死为幸。”笔者：死（图2-a12，即图3-a1）为不幸，则免死（图3-a2，即图6-a2）为幸。故曰：所谓幸而集，即图3-a2而集。《辞海》（1999年版）：“集⑥通‘辑’。辑睦；……”辑睦，见《左传·成公十六年》：“辑睦以事君”，即辑睦用事君（图6-a2，即图 3-a2）。《说文解字》：“以，用也。”4．集虚，即无穷集合和无限程序的有限多个同步迭代步骤有其完整解，因为图6-a2即图3-a2中存在着的迭代者与被迭代者之间的可整除关系是其根据。”】。”这就是我们重新发现《庄子》书中以文言秘语而为之且至今仍有效的，无穷集合之说及其解。

表1 中国古代的数学科学

5 西方的数学

什么是西方的数学的全貌？

数学家张恭庆教授说：“由于数学的壮大和发展，20世纪以来，已经没有一个人能够像庞加莱（Henri Poincaré，1854－1912）和希尔伯特（David Hilbert，1862－1943）当年那样通晓数学的全貌了。”［9］

式(24)虽然消除了辅助参数但θ2中却同时引入了另外的辅助参数ρ.显然，θ2中ρ和x,y是相关的，因此式(24)的结果同样并非最优.为此，在第3步中，利用θ2中辅助参数ρ与目标位置x,y的约束关系来构建方程，从而进一步提高目标位置的估计精度.考虑的估计误差，则由ρ=x2+y2可得：

所以，我们仅限于简要地逐一讨论与本文相关的、西方的历史的数学中的一些问题。

5.1 欧几里得《几何原本》

爱因斯坦（Albert Einstein，1879－1955）说道：“西方的科学发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里的几何学中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统的实验可能找出因果关系。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。要是这些发现果然都作出了，那倒是令人惊奇的事。”［10］

关于欧几里的几何学，西方的数学史权威莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908－1992）说：“Euclid的直线是我们所说的线段。”［11］

我们的初级中学课本《几何》中说道：“线段用表示它的两个端点的两个大写字母来表示【笔者按：即本文中的图2′-a′1】，也可以用一个小写字母来表示【即本文中的图2′-a1】。”［12］

张英伯教授说：“欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何、代数、三角、立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，……。《几何原本》的开头列出的5个公理和五个公设……公理适用于数学的各个领域……公设适用于几何部分。”［13］

M·克莱因说：希腊“古典时期【初等】数学成就的精华是 Euclid的《原本》。”［11］“作图题在希腊几何中起重要作用，而Euclid公设确实限制只许用尺规作图。【张理京、张锦炎译注：“‘尺规’两字是按习惯说法译的，这里的‘尺’实际应是‘直边’，理应理解为没有刻度的尺。”】”［11］他还指出：“Euclid举出如下的公设：

（1）从任一点到任一点作直线［是可能的］。

（2）把有限直线不断循直线延长［是可能的］。

（3）以任一点为中心和任意距离［为半径］作一圆［是可能的］。

（4）所有直角彼此相等。

（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”稍后，M·克莱因说：“头3个公理说的是可以构作线和圆。所以它们是对两件东西存在性的声明，在第一篇里的讲述过程中，Euclid通过构作证明了其他一些东西的存在，但平面是例外。”［11］

笔者警觉到，M·克莱因教授的上述说教，对人们具有极大的欺骗作用。

首先，欧几里得《几何原本》的公设1，从任一点到（另）任一点作直线。

众所周知，欧几里得几何作图，必须有其作图用的工具和给定的已知的作图条件，这样就会出现如下两种可能的情况：

一种可能是，若事先给定作图的工具——一把没有刻度的直尺和一个圆规（《辞海》（1999年版）：“圆规作图用的作图工具。有两股，上端铰接，下端可随意分开或合拢，以调整所作圆或圆弧半径的大小”），则欧几里得《几何原本》的公设1是作不成图的。因为，作图用的作图工具——尺长已定，若给出的任意两点间的距离大于作图工具——尺长，则作不成图。若给出的任意两点间的距离小于作图工具——尺长，而作出的直线（线段）其对应于作图工具——直尺上至少有一刻度，而与欧几里得《几何原本》的作图工具——无刻度的直尺之规定相悖。

另一方面，若先给定任意的两点，并以此两点间的距离为准，去制造一把长度相对应而无刻度的直尺，然后以该直尺为作图的一定工具，对上述给定的任意两点间作直线（线段）虽为可能，但是这种作图是没有普适性的。

所以，欧几里得《几何原本》的公设 1，是其尺规作图规定作不成图的一个所谓假设。

再者，欧几里得《几何原本》公设 2，即把有限直线不断循直线延长；公设5，即平行公设或平行公理。

关于欧几里得《几何原本》的这两条公设或公理，甚至西方的数学史权威M·克莱因也指出道：“关于在物质空间里是否可假定存在无限直线这个与此【平行公理】有关的问题，起初没有那么多人关心，但终于突出成为【与平行公理】同样重要的问题。Euclid只是小心地假设，可以按需要延长一条（有限）直线，因而甚至那延长后的直线也还是有限的。还有Euclid叙述平行公理的特别措辞，说两条直线将在截线的同旁内角之和小于两直角的一侧相交，这是为了避免直接说出两条直线无论怎样延长都不相交的一种方式。然而，Euclid确实含有无限直线存在的思想，因为假若直线都是有限的，则在任何情况下它们也不能按需要任意延长，而且它证明了平行线的存在性。”［14］

其三，欧几里得《几何原本》的公设 3，以任意一点为圆心和任一距离（为半径）可作一圆。

笔者断言，所谓“以任意一点为圆心和任一距离（为半径）作一圆”，是不可能的。因为，欧几里得《几何原本》的作图工具之一为无刻度的直尺，其尺长已经给定，则其另一作图工具——圆规，其规距能够也只能够作以该直尺的尺长为半径的圆。换言之，欧氏《几何原本》作图工具之一——无刻度的直尺的尺长一定，则其另一作图工具——圆规是而且只能够是一个死规或锈规，即规距既不能够大于也不能够小于直尺的尺长，亦即规距是也只能够是恒为尺长的圆规。

结论：综上所述，欧几里得《几何原本》的所谓出发点——公理体系，不真。

5.2 坐标几何或解析几何

关于坐标几何，M·克莱因说：“Fermat和Descartes是数学中【继 Euclid《几何原本》之后】下一个巨大创造的主要负责人，……他们所创立的科目叫坐标几何或解析几何，其中心思想是把代数方程和曲线曲面等联系起来。这个创造是数学中最丰富最有效的设想之一。”［15］

虽然，M·克莱因吹捧了坐标几何，他还是不得不指出道：“别的数学家用比较粗鲁的语言攻击分析方法。Carnot希望‘把几何学从分析学的画符样难懂的文字中解放出来。’这个世纪后期，Eduard Study（1862－1922）称坐标几何的机器似的过程为‘坐标磨坊的嘎嘎声。’”他还接着说：“对几何学解析方法的反对不只是出于个人的偏好或口味。首先，一个真正的问题是，到底解析几何学是不是几何学？因为方法和结果的实质都是代数，它们的几何意义都是隐蔽的。”［14］

对解析几何的见解，数学家张恭庆教授的见解尤为离谱，他说：“数学一开始就是研究‘数’和‘形’的。从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来。目的虽未能完全达到，但却找到了两者之间的种种联系，推动了数学的发展。17世纪笛卡尔的解析几何可谓是这两者结合的典范，用‘数’研究‘形’，引进了坐标，也引进了变量数学。”［9］

《辞海》（1999年版）：“坐标，确定平面上或空间中一点位置的一组有序数。例如，在平面上，取点O为原点，过点O引互相垂直的两条直线 X′OX、Y′OY，称为坐标轴，从一点P作它们的垂线 PM、PN。设从点 O到垂足M和N的距离是|X|和|Y|，视垂足M在点O的右或左，N在点O的上或下，而规定X和Y的正和负。称（X，Y）为点P在笛卡儿坐标系XOY下的坐标，简称‘直角坐标’。”

事实上，人们历来不知“平面直角坐标”的真正来历唯本文中的图2′，即反科学或背离科学的图2′。

图8 平面直角坐标

5.3 集论——无穷集合和无限程序

关于西方的数学，M·克莱因说：“二十世纪数学中最为深入的活动，是关于基础的探讨。强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本性，也牵涉到【西方的】演绎数学的正确性。”［16］

论及西方的数学基础，M·克莱因指出：“1930年以后的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格【几何】直观的基础上去【重新】建立【西方的】数学，或者去确定这种途径的限度。在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷（infinity）。”［16］

关于集合论，M·克莱因说：“西方的集合论的创建者是Georg Cantor（1845－1918）。”［16］他又说：“Contor指出，他的关于无穷数或超限数的理论，不同于普通所说的一个变量变得无穷小或无穷大的那个无穷的概念。两个一一对应的集合具有相同的势或基数。对于有限集合来说，基数就是这集合中的元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用N0表示。”［16］他还说：“Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是N0，则其全部子集构成的集合具有基数2No。Cantor已经证明2No＝C，这个C就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了N1，并证明N1是N0的后继者，于是N1≤C。

至于N1＝C是否成立，即连续统假设（continuum hypothesis）是否成立，Contor不管怎样刻苦努力，也不能回答。在1900年的国际数学会议上，Hilbert把这个问题列入了著名问题的名单中。”［16］

但是，西方的数学中的康托尔连续统假设欲获证明，其于中国的传统数学科学中不过是顺手牵羊的小事一桩。如，

5.4 从混沌到有序

在中国的古典数学科学中，从浑沌到有序的最简要的文言秘语表述是，《庄子·在宥》：“浑浑沌沌，终身不离【笔者按：所谓终身不离，即死亦相连——连续统（图2-a12或图2-a13，即图3-a1或图3-a′1）或大一统。《公羊传·隐公元年》：“何言乎王正月？大一统也。”《庄子·天下》：“历物之意，曰：至大‘无’外，谓之大一；至小‘无’内，谓之小一。”1．无，见《说文解字》：“无，亡也。”2．内、外，见《礼记·大学》：“外本内末”（图5-a1，即图2-a12）】；若彼知‘之’【之，见《庄子·田子方》：“凡之亡也”（图2-a12，即图3-a1）】，乃是离‘之’【之，见《庄子·人间世》：“而知‘之’所为‘出’乎哉。”《说文解字》：“之，出也”（图 3-a2，即图 5-a2）】。”

本文于前已引《辞海》（1999年版）：“老庄学派以老子、庄子学说为主的道家学派。《史记》以老庄同传，称庄子‘其学无所不窥，然其要本归于老子之言’。”如：

《庄子·在宥》：“浑浑沌沌，终身不离；若彼知之，乃是离之”一说，然其要本归于老子之言——《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为【图2-a12，即图3-a1】。无为而无不为【图3-a2，即图5-a2】。”

但是，西方的理论物理学家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901－1976）问道：“二千五百年以来，哲学家和自然科学家一直在讨论这个问题：如果人们试图把物质一次又一次地不断分割下去，将出现什么情况？什么是物质的最小成分？”［17］另一方面，西方的数学家哈尔莫斯（P. R. Halmos）说：“浑沌（chaos）概念与动力系统概念有关，粗略地讲，混沌理论研究动力系统的无穷过程的行为。……浑沌通常与分形（fractal）有关。”［18］

一言以蔽之，西方的物理学家和数学家，至今仍无人能知从浑沌到有序的定量之解，即使是伊里亚·普里戈金（Ilya Prigogine，1917－2003）亦不例外。曾庆宏（1941－）和沈小峰（1934－）说：“《从混沌到有序》（Order out of chaos）是比利时著名科学家、诺贝尔奖金获得者伊·普里戈金教授和他的学生、同事伊·斯唐热（Isabelle Stengers）博士合写的一本关于自然科学哲学问题的著作。”［19］

5.5 三体问题

在人类的科学史上，所谓三体问题，是可积系统的形式表现问题，即《老子》（七十七）章：“不足者（图3-a2或图3-a′2）”的形式表现问题，亦即《庄子·天下》：“以有积为不足（图3-a2或图 3-a′2）”之说。

另一方面，M·克莱因说：“三体运动问题成为New ton以来的【西方的】一个主要问题，至今还未解决。”［15］又：“在三体问题中得到一些特殊精确解，是拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736－1831）在1772年一篇得奖论文《论三体问题》中给出的。这些解中，有一个是说，这些物体能够作这样的运动，使得它们的轨道是同时描出的3个相似椭圆，而且以三物体的质量中心为其共同的焦点。另一个是，假定3个物体从一个等边三角形的3个顶点开始运动，那么它们就好象粘住在这个三角形上运动着，而这个三角形本身围绕着三物体的质量中心转动。第三个是，假定三物体是从一直线上的初始位置投入运动的，那么在适当的初始条件下，它们将继续固定在这一直线上，而这条直线在一平面上围绕物体的质量中心转动。对于Lagrange来说，这3种情况是没有物理实在性的，然而那个等边三角形的情况在1906年被发现适用于太阳、木星和一个名叫Achilles的小游星。”［15］普里戈金说：“一个受到非常广泛研究的例子就是三体问题，这或许是动力学史上最重要的问题。既受地球又受太阳影响的月球的运动，就是这个问题的一例。人们作了无数次尝试去把它表述成一个可积系统的形式，直到十九世纪末，布伦斯（Bruns）和彭加勒证明了这是不可能的。”［19］

显然，既受地球又受太阳影响的月球的运动，是天体物理中的问题。林家翘教授指出：“宇宙论和天体物理是不同的两种学科。”［20］其实，可积的三体问题的对象，是也只是整个宇宙——我们人类的宇宙过程的初始条件或边界条件，即中国古代的“以有积为不足【图3-a2】”（《庄子·天下》）。

5.6 地图四色问题

西方的法朗西斯·古特里（Francis Guthric）于1852年提出了一道数学难题——地图的四色问题（亦称“四色猜想”）。所谓地图的四色问题，是指能否只用四种颜色在地图上把所有的地区涂色，使相邻的两个地区的颜色不同。

欧阳光中指出道：“1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿佩尔（K. I. Appel）和哈肯（W. Haken）……利用电子计算机证明了地图的四色猜测是正确的。”［21］数学家哈尔莫斯（P. R.Halmos）认为阿佩尔和哈肯声称利用电子计算机证明了地图的四色猜想，是数学进展中的一个突破（explosion），他说：“突破意味着一种大的响声，一则出乎意料的通告，但不一定是件好事情。”［22］

欧阳光中说：“1977年12月9日我国著名科学家钱学森教授在《人民日报》上发表了一篇题为《现代科学技术》的文章，其中有这样一段话：‘去年数学界轰动一时的一件事，是用电子计算机证明了数学上的四色定理。画地图最多只需要四种颜色。要证明这个定理很难，数学家经过上百年的努力，证明不了。去年美国数学家用电子计算机证明了。他们看到这个问题要证明并不是不可能，而是证明的步骤、程序很复杂，人一辈子的时间也证不完。他们就把程序编好，交给高速的电子计算机去干。高速电子计算机也用了一千多个小时才证出来。美国数学家认为，他们的主要贡献不在证明了四色定理，而在运用电子计算机完成了这件人没有能够完成的事。’”他还接着说：“利用高速电子计算机终于解决了数学中的这一大难题。然而数学家们仍旧在问：证明能否简化？是否不用计算机也能证明？这些正等待有志者去攻关。”［21］

在笔者看来，意欲证明地图的四色问题，首先必须画出地图，然后方能为其着色。

地图，见《管子·七法》：“兵也者【笔者按：兵，见《庄子·列御寇》：“兵为外”（图 5-a1，即图 2-a12）】，善于地图【1．地，见《白虎通·爵》：“父天母地，故称天地。”《庄子·达生》：“天地者，万物之父母也，合则成体，散则成始。”《礼记·乐记》：“天高地下，万物散殊。”《庄子·秋水》：“天在内”（图5-a1，即图8-a1，亦即图2-a12）。2．图，见《老子》（六十三章）：“图难于其易。”《系辞传（上）》：“易，无思也［笔者：无，见《说文解字》：“无，亡也”］，无为也。感而遂通天下之故。”《庄子·列御寇》：“知道易，勿言难。知而不言，所以之天也。”又《秋水》：“天在内”（图5-a1，即图8-a1，亦即图2-a12）。《礼记·乐记》：“天高地下”（图8-a1，即图2-a12）。《史记·五帝本纪》：“天下谓之浑沌”（图2-a12）。《周礼·夏官·职方氏》：“掌天下之图，以掌天下之地（图 8-a1，即图 2-a12，亦即图 3-a1）。”《说文解字》：“图，画、计难也”（图 2-a12，即图 3-a1）】，谋十官【1．谋，见《庄子·应帝王》：“无为谋府。”又《德充符》：“府万物。”2．十，见《说文解字》：“十，数之具也。—为东、西，|为南、北，则四方中央备矣”（图 2-a13，即图 3-a′1）。3．官，见《中华大字典》（1915年编）：“官，管也。”《礼记王制疏》：“其诸侯以下及三公至士，总而言之，皆谓之官。官者管也”】。”

为地图（图 8-a1，即图 2-a12，亦即图 3-a1）着色见《庄子·齐物论》：“四者熟知天下之正色哉【笔者按：1．四，见《中华大字典》（1915年编）：“四，阴数也。象四分之形。见《说文四部》。《段注》口像四方，八像分也。”2．天下，见《史记·五帝本纪》：“天下谓之浑沌”（图2-a12，即图3-a1）。3．正，见《说文解字》：“正，是也”】。”又《盗跖》：“则变容易色称不足【笔者按：不足，见《老子》（七十七章）：“有馀者（图2-a12，即图3-a1），损之（图 3-a2）；不足者（图 3-a2），补之（图 4-a1及图 4-a2）。”】”。

所以，在中国的传统数学科学中，所谓的地图四色问题，即为图8-a1涂色问题，亦即为图2-a12涂色的问题。而另一方面，在西方的传统数学中，所谓的地图四色问题，即为康托尔的2No（由图2-a12牵出的图2″-a12）涂色的问题。但是，美国的阿佩尔教授和哈肯教授为康托尔的2No配图了吗？或者说，他俩怎么会证明了四色猜想呢？

图8 天高地下

5.7 第一推动

关于“第一推动”之说的由来，方励之说：“——‘第一推动’是个很老的问题，在亚里士多德的《物理学》中就已提到了。中世纪的托马斯·阿奎那，则把‘第一推动’作为证明上帝存在的第一种方法。他在《神学大全》中曾如下写道：

‘在世界上，有些事物是在运动着，这在我们的感觉上是明白的，也是确实的，凡事物运动，总是受其他事物推动。……’

‘如果一件事物本身在动，而又必受其他事物推动，那么其他事物又必定受另一其他事物推动。但我们在此决不能一个一个地推到无限。……所以，最后追到有一个不受其他事物推动的第一推动者，这是必然的。每个人都知道，这第一推动者就是上帝。’

现代科学兴起后，许多神学论断都被科学直接证明是不对的。可是‘第一推动’一直是个难点。牛顿曾表述过大体与阿奎那相同的论断，也承认存在‘第一推动者’。后来的物理学虽然不再提‘第一推动者’，但也并未回答‘第一推动’是由何推动的。”［23］

宇宙自所谓不动到始动，西方的物理学不解地谓之第一推动。那么，宇宙是怎样自所谓不动到始动的呢？为了科学定量定态地解答这个问题，不妨重复本文于前已述。即

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为【图2-a12，即图3-a1，亦即图7-a1】。”《论衡·遣告》：“自然也，无为。”《系辞传》（上）：“无为也，寂然不动。”

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为。无为而无不为【图3-a2，即图7-a2】。”《庄子·天道》：“无为也，则用天下而有馀；有为也，则为天下用而不足。故古之人贵夫无为也。”《老子》（七十七章）：“有馀者【图2-a12，即图3-a1或亦即图7-a1】，损之【图3-a2，即图7-a2】。”

《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为。无为而无不为。”《庄子·天道》：“无为也，则用天下而有馀；有为也，则为天下用而不足。故古之人贵夫无为也。”《老子》（七十七章）：“有馀者，损之；不足者【图3-a2，即图7-a2】，补之【图4-a1及图4-a2。其图4-a1，即图7-a3】。”

文［1］已证，宇宙三过程循环无限有其向下和向上的分枝，而且是宇宙三过程循环无限及其任一过程皆三阶段发展的。我们人类的宇宙过程的前身，即非我们人类的宇宙过程的第三阶段（向下的分枝过程的第三阶段），被《老子》（四十八章）：“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为”（图2）求解得，且求解得其终——“无为”为图2-a12，即图3-a1，亦即图7-a1的所谓不动态（《系辞传》（上）：“无为也，寂然不动”）。

所以，宇宙自所谓不动（图2-a12，即图3-a1，亦即图7-a1），而到始（图3-a2，即图7-a2）动（图4-a1，即图7-a3），根本不存在西方的物理学中的所为“第一推动者”。

1 曾炜锋.论物动学中公理化的形数结合几何学方法（1）［J］.科学之友，2009.11（33）：1～6

2 杨振宁.基本粒子发现史（杨振玉、范世藩译）［M］.上海：上海科学技术出版社，1963.9：52

3 毛泽东同李政道讨论“对称”［N］.人民日报，1988.09.11：第8版

4 恩格斯.反杜林论（中译本）［M］.北京：人民出版社，1970：59

5 列宁.谈谈辩证法问题（中译本）［M］.北京：人民出版社，1973：1

6 孙钺.科学的意义［N］.科学时报，2008.09.18：B3版

7 Jonathan J. Halliwell.量子宇宙和宇宙创生（龚静、韩王荣译）［J］.世界科学，1992.10：4

8 Stephen Hawking.理论物理的尽头是否已经在望？（林华清译）［J］.世界科学，1991.7：1、6

9 张恭庆.国际数学家大会和我们［J］.数学通报，2000.7：2、1

10 许良英等编译.爱因斯坦文集（第一卷）［M］.北京：商务印书馆，1976：574

11 M·克莱因.古今数学思想（第一册）（张理京、张锦炎译）［M］.上海：上海科学技术出版社，1979：68、31、44、69