机床导轨直线度计算公式的理论推导

孟庆云

（大连职业技术学院，辽宁 大连 116037）

在机床的安装和维修过程中，经常要遇到机床导轨的找正问题。尤其是大型龙门刨床，由于导轨的长度比较长，且其技术要求比较高，因此需要测量的点就比较多，需要处理的数据也就相应增加，按机修手册《机床修理精度检查方法及检查工具》一书介绍，通常可用水平仪来测量。将测得的数据在笛卡尔直角坐标系里，做出相应的曲线。然后用平行线法，用各组平行线包络导轨形状曲线法，来求得导轨最大直线度。用这种作图法来求导轨最大直线度，显然既费事，又不易掌握，而且作图过程易产生误差。如果有一个简便、精确的导轨直线度计算公式来取代作图法，那对提高生产效率和设备安装、维修精度是大为有益的。下面就用坐标变换及分析推导来导出这个公式。

1 常规作图法求取机床导轨直线度

为了便于理解与推导，在这里首先介绍一下常规机床导轨直线度曲线的坐标作图法。例如：在测量某一导轨直线度时，所采用水平仪的读数精度为0.02/1000，采用长度为500 mm水平仪垫铁，把导轨分成n段（这里假设为5段）。水平仪在第一段中，水准器中气泡向前移动一格，则为正值，即第一段导轨向上0.010mm，当水平仪移到第二段是，气泡向前移动半格，则仍为正值，即第二段向上0.005mm。依次移到第三段时，如气泡向前一格半。则此时仍为正值，即第三段导轨向上0.015mm。如果当水平仪移到第四段时，水准器中气泡向后移动二格，则此时为负值，即第四段向下0.020mm。当水平仪移到第五段时，气泡向后移动半格，则此时仍为负值，即第五段导轨向下0.005mm。

按作图法求导轨直线度，首先做一个直角坐标（如图1）。

图1 作图法求解导轨直线度

以原点0为始点，以OX轴代表导轨长度。OY轴代表导轨直线度。原点以上为正值，原点以下为负值。将测得的各段的直线度数值，在坐标系上找出对应的位置，即对应点，顺次连接各点可得一条曲线。该曲线即为被测导轨的直线度曲线。连接首尾二点，可得一直线00'，过曲线顶点（如果曲线为凹形，则为曲线凹点）作一条平行于首尾连线00'的直线，交OY轴上一点，从原点到此交点的距离（0.027mm）即为导轨的最大直线度，位置在1500mm处。

这个例子中的曲线，是最简单的形式，即只有一个波峰或波谷。当点较多时，测得的曲线，经常是数个波峰、波谷同时出现。这时导轨的直线度，要取各组平行线包络导轨形状曲线中的最小值。这里不再赘述。我们之所以要举此例，目的是为下面推导计算公式服务。

2 求取机床导轨直线度的公式推导

从图1可看出，如果曲线末点也落在OX轴上，则过顶点作平行首尾连线的线也就平行OX轴，这时导轨最大直线度就是曲线顶点的Y值。不过这种图像，在直线度作图过程中是个特例。这种偶然现象，恰是我们公式推导的出发点。

为了推导方便，我们假定：导轨直线度曲线的图像，落在其首尾连线之上侧时称凸形曲线，反之称凹形曲线。如果导轨直线度曲线的图像，落在其首尾连线上下两侧时则成凹凸形曲线。

现仍以上面测得的数据（凸形曲线）为例，作图2：

图2 坐标变换法求解导轨直线度公式

以原点0为起始点，以ox轴代表导轨分段，以oy轴代表导轨的直线度，原点以上为正值，以下为负值。作出导轨直线度曲线0，a1，a2，a3，a4，a5，分别以b1，b2，…，bn（b5）代表水平仪原测值，且规定水平仪的水准器内气泡移动方向与水平仪移动方向一致时，定为正值；反之，则定为负值。以y1，y2，…，yn（y5）代表a1，a2，a3，a4，an（a5）在坐标系内的y值，以x1，x2，…，xn（x5）代表点a1，a2，…，an（a5）在坐标系内的x值，则

这时过原点及an（a5）点作一条直线，且定为ox′轴，过原点作ox'轴的垂直线，定为oy'轴。则曲线在x'oy'坐标系内其首尾点均落在ox'轴上，显然曲线0，a1，a2，a3，a4，an（a5）上各点的y'最大值，即为导轨最大直线度。

图3 坐标变换后的辅助线图形

根据图3所示的几何坐标变换后的辅助线图形和三角函数计算公式，可得

将水平仪读数精度同水平仪垫铁长度乘积，用常数A来表示。在这个例子中则

A=0.02×500/1000=0.01

所以导轨的最大直线度，可利用坐标转换后的曲线各点yn'值与常数A的乘积来求解得到。

3 验证求取机床导轨直线度的推导公式

现在就以图例数据用公式及列表，求解导轨最大直线度。

表1 参数计算表

从表1可知，我们将用水平仪测得的各点x值和原测值bn分别列入表格第一行和第二行。再利用每一个前点原测值加后点原测值便得各点的y值，列入表格第三行。再用公式计算出各点xntgа值，列入表格第四行。利用第三行减去第四行的值，可得各点的yn'值。列入表格第五行。即导轨曲线各点直线度的坐标值。最后用yn'值乘上常数A，便得导轨曲线各点直线度的实际数值（表格中第六行）。

从上表可得知，本实例中导轨曲线最大直线度为0.027 mm，位置在500×3=1500mm处。

当导轨曲线呈凹形时，同样可用该公式来求导。不过这时得到的是负值，绝对值最大的负数，就是其导轨最大直线度，负号表示凹形曲线。

当利用公式列表计算出现正负值时，说明导轨曲线呈凹凸形，其最大直线度数值为最大正值与最小负值之差。不过在实际应用中，因为我们要求导轨曲线形状一般总是成凸形，所以最终一般均为正值。因此导轨曲线呈凹形，凹凸形的实例在这里就不再重复论证。

4 结束语

显然，利用图像转换及数理分析，还可推出其他公式，列表来求解导轨最大直线度。例如：在原则上首先消除坐标系角位差，来求导轨最大直线度。这里不再加以推导与论证。如果感兴趣，则可再作推导与论证。

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