双材料界面 I型裂纹尖端的弹粘塑性场

陈树华,梁文彦,王振清,韩玉来

(哈尔滨工程大学 智能结构与先进复合材料实验室,黑龙江 哈尔滨 150001)

随着各类功能材料、复合材料等先进材料的应用范围的不断扩大,对由不同材料组成的界面力学性能的研究,越来越受到科研和工程技术人员的重视.

1959年,Williams[1]采用渐近级数展开的方法研究了各向同性双材料界面裂纹问题,发现在裂纹尖端附近应力场和位移场存在着振荡奇异性.高宇立等[2]研究了两项幂硬化材料平面应变复合型界面裂纹问题,给出了复合型界面裂纹的裂纹尖端应力场和应变场.Wang,B人等[3]研究了反平面点冲击荷载下各向异性体间界面裂纹,进而研究了动态载荷下非均匀复合材料断裂问题.许金泉等[4]利用弹塑性边界元分析方法考察了硬化系数对于界面端弹塑性奇异应力场的影响.夏霖等[5]对于遵循塑性变形理论的幂硬化材料界面裂纹,求得了分离变量形式的全连续HHR型奇性渐近解.Chen等[6]采用位错理论,用连续分布位错来模拟裂纹,并通过求解奇异积分方程得到了界面附近的裂纹的应力强度因子.朱艳,杨延清等[7]通过建立热力学可能反应模型,分别计算了长纤维增强TiAl金属间化合物基复合材料界面反应的Gibbs函数变值ΔG.Ricci等[8]对应变场进行实验方法的研究,实验测定了亚音速裂纹沿两种正交同性 -异性材料界面处的裂纹扩展的行为.尚福林等[9]运用分子动力学模拟方法研究了双相材料体中裂纹自界面端萌生与沿界面扩展的断裂条件之间的内在联系.本文考虑材料的粘性效应,建立了双材料界面准静态扩展裂纹尖端的控制方程,在数值分析的基础上,讨论了界面裂纹尖端场随各影响参数的变化规律.

1 双材料界面 I型裂纹尖端场的渐近方程

图1给出了双材料界面 I型准静态扩展裂纹的力学模型,令 Xα(α=1,2)表示平面上的固定坐标系.假定材料Ⅰ和材料Ⅱ之间一条半无限大的界面裂纹以恒定速度 V沿 X1方向扩展,X2与裂纹面垂直,材料Ⅰ为弹粘塑性材料,占据区域Ⅰ,材料Ⅱ为刚性材料,占据区域Ⅱ.以裂纹尖端为原点建立与裂纹尖端一起移动的随动坐标系O-xy和O-rθ.对于定常扩展,裂纹尖端场中任何物理量 Ω的物质导数为

图1 双材料界面I型裂纹力学模型Fig.1 Mechanicalmodel of interfacemode I in double dissimilarmaterials

图2 粘弹性本构模型Fig.2 Elastic-viscop lastic constitutivemodel

假定裂纹尖端场的粘性效应与等效塑性应变率有关,设粘性系数 η的形式如下:

式中:C为非负常数,图2给出了弹粘塑性的力学本构模型,经过整理后三维情况下理想塑性材料本构方程表示为[10]

其中Heaviside阶跃函数为

假设应力具有如下形式的幂奇异性

并进一步假定在裂纹尖端,粘性应力和塑性应力同量级,且弹性应变和塑性应变同量级,则量级协调可得

由 0＜δ＜1/2,可知仅考虑 2/3＜β＜1的情况即可.

在不可压缩条件下,引入位移势函数U,根据量级匹配的原则,设位移势函数U为如下形式:

则位移分量可以表示为

式中:U为位移势函数,“′”代表对坐标θ的导数.

裂纹尖端场应力张量 σij具有 r-δ的奇异性,则应力分量可以表示为

式中:F(θ)、Z(θ)和L(θ)为尖端场的角分布函数.

引入下列无量纲量:

把各相关量代入运动方程和本构方程,经无量纲化并整理得到双材料界面Ⅰ型准静态扩展裂纹尖端场的控制方程:

式中:ξ(θ)=sinθφ′(θ)-(2-δ)cosθφ(θ).

2 边界条件

2.1 裂纹表面边界条件

因裂纹表面自由,则

即:

2.2 界面粘结处的应力连接条件.

在θ=0处界面上有应力连接条件:

对于Ⅰ型裂纹,则

则

2.3 位移连接条件

在θ=0处界面上有位移连接条件

因材料为刚性,由式(8)可得

因此可得

3 数值计算与结果分析

在本问题中共有 2个参数需要选择:反映材料粘性的系数D＊I及指数 β.数值计算的精度控制在3×10-7以内.另外,由于在 θ=0和 θ=π处方程将产生奇异,因此将数值计算的起点和终点分别取为θ=10-4和 θ=π-10-4,图 3和图 4为解随各参数的变化规律曲线图,图中的各量均已无量纲化.

图 3 应力分量 σr、σθ及 σrθ、粘性系数 η及静水压力随D＊I的变化曲线(β=0.8)Fig.3 Angular variations of stress components,viscosity coefficient and hydro-static stesses according to different D＊I(β=0.8)

以上分析可以看出:

1)随着 D＊I单调递增,此时材料的粘性增加,应力幅值单调递增,解的变化比较显著,裂纹尖端场粘性效应随着D＊I单调递增而减小.

2)随着β单调递增(相当于δ递减),此时材料的粘性减小,应力幅值单调递减,解的变化比较显著,裂纹尖端场的粘性效应随着 D＊I单调递增而减小.

图 4 应力分量 σr、σθ及 σrθ、粘性系数 η及静水压力随β的变化曲线(D＊I=10.0)Fig.4 Angular variations of stress components,viscosity coefficient and hydro-static stesses according to differentβ(D＊I=10.0)

4 结 论

1)由于考虑裂纹尖端场粘性效应的存在,裂纹尖端场数值解是完全连续的,不含有一些无粘性模型中存在的塑性激波,这表明粘性效应是研究扩展裂纹尖端场时的一个重要因素.

2)粘性系数与塑性等效应变率的幂次成反比,为角度函数,没有失去材料的均匀性,更符合材料本身的性质.

3)对I型裂纹问题,裂纹尖端场塑性流动因子为零,裂纹尖端场由弹粘性场构成.

[1]W ILLIAMSM L.The stresses around a fault or crack in dissimilarmedia[J].Bu lletin of the Seismological Society of America,1959,49(2):199-204.

[2]高宇立,楼志文,杜庆华.幂硬化材料复合型界面裂纹问题[J].力学学报,1988,20(4):375-380.

GAO Yuli,LOU Zhiwen,DU Qinghua.The problem on the m ixedmode interface crack ofmaterials with different hardening indices[J].Acta Mechanica Sinica,1988,20(4): 375-380.

[3]WANGB L,HAN JC,DUS Y.Cracks problem fornon-homogeneous compositematerial subjected to dynamic loading[J]. International Journal of Solids and Structures,2000,37(9): 1251-1274.

[4]许金泉,傅列东.硬化系数对界面端弹塑性奇异应力场的影响[J].计算力学学报,2001,18(2):156-161.

XU Jinquan,FU Liedong.Effectof linear hardening coefficient on the elasto-plastic singular stress field near an interface edge[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2001,18(2):156-161.

[5]夏霖,王自强.弹塑性双材料界面裂纹的渐近分析[J].固体力学学报,1992,13(3):191-200

XIA Lin,WANG Ziqiang.Asymptotic fields for interface crack in elastic-p lastic materials[J].Acta Mechanica Solida Sinica,1992,13(3):191-200.

[6]CHEN B,LARDNER T J.Two-dimensional cracks atan angle an interface[J].Int J Solids Struct,1993,30:1725-1735.

[7]朱艳,杨延清,马志军,等.SiC/Ti基复合材料界面反应的热力学研究[J].稀有金属材料与工程,2002,31(4): 279-282.

ZHU Yan,YANG Yanqing,MA Zhijun,et al.Thermodynamic studies on interfacial reactions in Sic-fibre reinforced Ti-matrix com posites[J].Rare Metal Materials and Engineering,2002,31(4):279-282.

[8]RICCIV,SHUKLA A,CHALIVENDRA V B.Subsonic interfacial fracture using strain gages in isotropic-orthotropic biomaterial[J].Theoretical and App lied Fracture Mechanics,2003,39(3):143-161.

[9]尚福林,北村隆行.界面裂纹萌生与扩展的分子动力学模拟[J].力学学报,2007,39(4):571-576.

SHANG Fulin,KITAMURA Takayuki.Molecular dynamics simulations of interfacial crack nucleation and propagation [J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2007,39(4):571-576.

[10]梁文彦,王振清,周博.压-剪混合型定常扩展裂纹尖端的弹粘塑性场[J].力学学报,2006;38(5):618-625.

LIANGWenyan,WANG Zhenqing,ZHOU Bo.The elastic-viscop lastic field at themixed-mode steadily propagating crack-tip under compression and shear[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2006,38(5): 618-625.