拟常曲率空间中具常平均曲率的闭超曲面

吴泽九

(华东交通大学基础科学学院，江西南昌330013)

设Nn+1是n+1维单连通完备黎曼流形，其黎曼曲率张量分量取如下形式

则称Nn+1为拟常曲率空间，其中a，b是Nn+1上的C∞-函数，g是Nn+1的黎曼度量，λ是Nn+1上的单位向量函数，称它为Nn+1的生成元。显然，当a为常数且b=0时，拟常曲率空间即为常曲率空间。对于拟常曲率空间中具常平均曲率的超曲面M，文[2，3]得到关于M第二基本形式模长平方S的积分不等式及S的值域估计等结果。本文讨论S满足一定条件下超曲面M的分类，推广文[4]中相应结论。

1 预备知识

文中各种指标范围规定如下:1≤A，B，C…≤n+1;1≤i，j，k…≤n;不特别说明时，∑表示对重复指标求和。设M是拟常曲率空间Nn+1的闭超曲面，在Nn+1

其中:Rijkl与Kijkl分别是M与Nn+1的曲率张量分量。M的第二基本形式模长的平方S与平均曲率H分别是

用hijk及hijkl分别表示hij的共变导数，则

所以

由于Nn+1的生成元λ切于M，则

由(1)(11)，对任意i，j，k有

从而(9)式变为

于是hij的Laplacian为

等式成立当且仅当a1，…，an中至少有n-1个彼此相等。

2 主要结果及证明

定理1 设M是拟常曲率空间Nn+1具常平均曲率的连通闭超曲面，Nn+1的生成元λ切于M，则

由(26)(27)为等式，有

由引理1及(22)为等式有，k1，k2，…，kn中至少有n-1个相等，下分情况讨论。

当k1，k2，…，kn全相等，即k1=k2=…=kn时，M是全脐超曲面。

当k1，k2，…，kn不全相等时，不妨假设

因为(21)式等号成立，即

成立。事实上，此时b≡0，这是因为

(i)若存在某点使得b＞0，由(11)(30)(31)式，在该点有所以k1=k2，这与条件k1≠k2=…=kn矛盾。

(ii)若存在某点使得b＜0，由(11)(30)(31)式，在该点有

所以有k1=k2，与条件k1≠k2=…=kn矛盾。

在Sn+1(a)上选取适当，使得hij=kiδij。(7)式中，令i=j，由(29)式有

所以ki为常数。再由(7)有

因此由(30)(32)有

由(4)(33)得

如果对某一m使得ω1m≠0和ωm2≠0，由(32)有k1=km=k2，这与k1≠k2矛盾，因此∑R12klωk∧ωl=0，故

由(35)(36)有

因此M是球面Sn+1(a)中具有二个不同主曲率的超曲面，其重数分别是1重和n-1重。由M的连通性与紧致性，类似文[7]讨论一样，M是球面Sn+1(a)中的H(r)-环面S1(r)×Sn-1(t)，其中:r2=

类似定理1的证明，Nn+1的生成元λ法于M时，可得

定理2 设M是拟常曲率空间Nn+1具常平均曲率的连通闭超曲面，Nn+1的生成元λ法于M，则

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