条件期望在最优预测中的应用

魏艳华，徐长伟，王丙参

(1.天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001;2.中原工学院 理学院,河南 郑州450007)

近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件数学期望已经被广泛的利用到日常生活中.随着研究的深入，条件数学期望在计算科学、生物、统计、物理、工程、运筹、经济管理和金融领域中得到广泛应用，并取得了很好的效果，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用[1-3].现代概率论总是从讲述条件期望开始，这是因为以测度论为基础的条件期望是鞅论的基础，也是严格陈述现代概率论必不可少的基本概念[4].鉴于此，本文研究了条件期望性质及与Radon-Nikodym定理的关系，举例分析了它在预测实际问题中的应用.

1 条件期望

设(Ω,F,P)为完备的概率空间，A,B∈F称为事件，如果P(B)>0，则称P(A|B)=P(AB)P(B)为在事件B发生条件下的条件概率，条件概率P(·|B)也是可测空间(Ω,F)上的概率测度[5].我们称E(ξ|B)=∫ΩξdP(ω|B)为ξ关于条件概率P(·|B)的条件期望，易证:E(ξ|B)=1P(B)∫BξdP.

当σ代数G=σ(Bn,n≥1)其中{Bn∶n≥}是Ω的一个可测分割，则

E(ξ|G)=∑∞n=11P(Bn)∫BnξdP·IBn(ω).

进一步推广就是下面条件期望的定义.

定义1[1]设(Ω,F,P)为概率空间，G是F的子σ代数，ξ为数学期望存在的随机变量，一个G可测随机变量η如果满足∶∀A∈G，∫AηdP∫AξdP，则称η为ξ关于G的数学期望，当ξ=IA(ω)，A∈F则称E(ξ|G)为A关于G的条件概率，记为P(A|G).

Radon-Nikodym定理保证了上述条件期望的存在.事实上:∀A∈G，v(A)≜∫AξdP是G上的符号测度，且关于P绝对连续.由Radon-Nikodym定理可知存在Radon-Nikodym导数η=dvdP，于是，

∀A∈G,∫AηdP=v(A)=∫AξdP.

条件期望E(ξ|G)实际上是随机变量ξ在G的每个可测子集上按概率测度的平均，特别当G=σ(η)，η为随机变量，记E(ξ|G)=E(ξ|η).若取G=σ({A})，A∈F则E(ξ|G)=aIA+bIAc，其中a,b分别为ξ在A和Ac上的均值，这表明E(ξ|G)是对ξ的某种局部修平，修平的效果随G的增大而减弱.若G={Ω,Ø}，则E(ξ|G)=Eξ，ξ被彻底修平；若增大G⊃σ(ξ)，则E(ξ|G)=ξ，此时修平作用消失.显然易见，条件期望是几乎处处确定的，因此有关条件期望的性质也是a.s成立的.注意在概率空间情形，a.s收敛总蕴含依概率收敛.当P[E(ξ+|G)]=∞,E[(ξ-|G)=∞]=0时，称E[ξ|G]=E[ξ+|G]-E[ξ-|G]为ξ关于G的广义条件期望，约定∞-∞=0.显然当Eξ存在时，广义条件期望就是条件期望.

定理1[4]条件期望具有下面的性质:

(1)E(aξ+bη|G)=aE(ξ|G)+bE(η|G)，其中a,b∈R，且假定E(aξ+bη|G)存在；

(2)E[E(ξ|G)]=E(ξ)；

(3)如果ξ为G可测，则E(ξ|G)=ξ；

(4)如果ξ与σ代数G独立，则E(ξ|G)=E(ξ)；

(5)如果G1是σ代数G的子σ代数，则E[(E(ξ|G))|G1]=E(ξ|G1)；

(6)(Jensen不等式)如果f是R上的下凸函数，则f(E(ξ|G))=E(f(ξ)|G)；

2 条件期望在预测中的应用

定理2 设Y是(Ω,F,P)上的任一r.v，EY2<∞，D是F的一个子σ代数，则对每个D上可测函数Z(EZ2)<∞有

E[(Y-Z)2]≥E[(Y-E(Y|D))2]

(1)

式中等号当且仅当Z=E(Y|D),a.s时成立.

证明 因为E|(Z-E(Y|D)|<∞，是D可测的，故有

E[(Z-E(Y|D))(Y-E(Y|D))|D]=
(Z-E(Y|D))E[Y-E(Y|D)|D]=0,a.s
E(Y-Z)2=E[(Y-E(Y|D))2]+
E[(Z-E(Y|D))2]-
2E[(Z-E(Y|D))(Y-E(Y|D))]=
E[(Y-E(Y|D))2]+E[(Z-E(Y|D))2].

这就证明了(1)式成立的充分必要条件是E[(Z-E(Y|D))2]=0即Z=E(Y|D),a.s

推论1 若EY2<∞，则VarY≥Var[E(Y|D)]，等号当且仅当Y=E(Y|D),a.s时成立.

如果Z=g(X)，D=σ(X),则(1)式变为E[(Y-g(X))2]≥E[(Y-E(Y|X))2]，等号成立的充分必要条件为Y=E(Y|X),a.s.

条件均值E[Y|X]的危险性小于Y，这一结论是Rao-Blackwell定理的理论基础，意思是如果Y是某个参数的无偏估计，则E[Y|X]是一个更好的无偏估计，这里假定E[Y|X]是一个统计量，即不含未知参数[4].在事件X=x上的，Y的条件分布的概率质量堆积于条件均值E[Y|X=x]附近，使得发散程度变低，因而是一个更好的估计量.

在最小二乘(均方)意义下，已知D的条件下,E(Y|D),a.s是Y的最佳预测.通常当观察到D={X=x}时，E(Y|x)是一切对Y的估计值中均方误差最小的一个，则称之为Y关于X的回归.特别当X=(X1,…,Xn)，D=σ(X)则在Rn→R的一切可测函数g中，在最小二乘意义下，E(Y|X1,…,Xn)是Y的最佳预测[6].

例1 设X=(X1,X2)服从n元正态分布N(a,B)，这里X1,X2是一个子向量，EX1=a1，EX2=a2，B=(B11B12

B21B22)，B11,B22分别是X1,X2的协方差矩阵，B12则是X1与X2的相应分量构成的协方差矩阵.我们做线性变化

(Y1,Y2)=(X1,X2)(I-B-111B12
0I)
EY1=EX1=a,VarY1=VarX1=B11
EY2=a2-a1B-111B12VarY2=
E(Y2-EY2)′(Y2-EY2)=B22-B21B-111B12

又因为E(Y1-EY1)′(Y2-EY2)=0，即Y1,Y2相互独立，变换的Jacobi行列式为1，所以fX(x1,x2)=fY(Y1,Y2)=fY1(y1)fY2(y2)，这里，y1=x1,y2=-x1B-111B12+x2，显然fX1(x1)=fY1(y1)，因此在X1=x1条件下，X2的条件密度

f(x2|x1)=fX(x1,x2)fX1(x1)=fY1(y1)fY2(y2)fY1(y1)=
fY2(y2)=fY2(-x1B-111B12+x2).

因为Y2～N(a2-a1B-111B12,B22-B21B-111B12)，所以在X1=x1条件下，X2的条件分布是N(a2+(x1-a1)B-111B12,B22-B21B-111B12)，E(X2|X1=x1)=a2+(x1-a1)B-111B12称为X2关于X1的回归.显然它是x1的线性函数，所以在正态分布场合最佳预测是线性预测.

例2 设到达某车站的顾客数为参数是λ的泊松流,求在时间间隔(0,t]中，所有到达顾客等待的时间和的平均值.如果每分钟有5个顾客到达该车站,每10分钟有一列车通过该车站，求一天(24小时)在该车站由于等待乘车而浪费的平均时间和.设X(t)表示在(0,t]内到达车站的顾客数，则{X(t),t≥0}为参数为λ的泊松过程.Wj是第j个顾客到达的时刻，ηj是第j个顾客的等待时间，则

ηj=t-Wj.

E[∑X(t)j=1(t-Wj)]=
∑∞n=1E[∑X(t)j=1(t-Wj)|X(t)=n]P(X(t)=n)=
∑∞n=1[nt-E(∑X(t)j=1Wj)]P(X(t)=n)=
[t-t2]E[X(t)]=λt22

因为λ=5人/分钟，所以一天(24小时)顾客由于等车而浪费的平均时间和为:5×1022×6010×24=36000(分钟).由上可知，如果增加车次，顾客浪费的时间少，但是车次增加，费用必然增加,满载率将减少，也会造成浪费.而如何确定车次，使时间、金钱的浪费最小，这是运筹学所要研究的优化问题.通过“均方误差最小”可以解决一系列的预测问题，在当前的社会，经济发展是重要问题.通过条件期望可以预测小至一个公司的日常运作，大至世界经济的发展方向，并且可以根据它所做出的预测做出相应的决策.所以，条件数学期望的经济应用将会越来越为人们所关注.

参考文献：

[1]金治明.数学金融学基础[M].北京:,2006.

[2]张梅.利用条件期望解决最优预测问题举例[J].陕西教育学院学报,2006,22(2):83-84.

[3]张慧.条件g期望与相关风险测度[J].山东大学学报:理学版,2005,40(3):34-40.

[4]严加安.测度论讲义[M].北京:科学出版社,2004.

[5]刘嘉锟,王公恕,等.应用随机过程[M].北京:科学出版社,2004.

[6]史及民.离散鞅及其应用[M].北京:科学出版社,1999.