基于灰色系统理论的经济建模方法

朱 强

（1.湖南农业大学，长沙 400128；2.湖南文理学院，湖南 常德 415000）

灰色系统理论是我国控制论专家邓聚龙教授1982年提出来的，经过20多年发展，基本形成了灰色关联分析、GM模型研究以及灰过程及其生成空间为基础的理论和方法论体系，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控[1]。这种理论对于研究相当一部分基于不完全信息、以经济行为自身特点以及经济规律基本要求为指导的经济行为的定量化研究具有指导意义。

1 灰色系统理论与经济研究

经济研究的基本方法是通过大量经济数据和经济现象综合分析，研究经济运行内在规律，指导经济决策，规范经济行为，强化经济调控，实现经济资源合理配置和经济体制良性运行。由于经济运行系统是一个信息不完全系统，在系统要素不完全明确、要素关系不完全明了、系统结构不完全稳定、系统作用不完全确定的条件下，需要我们综合可获取和已获取信息，以经济规律基本要求为指导、以经济要素关联分析为基础、以逻辑思维结构为手段，判断经济现象属性和经济行为价值，预测经济发展趋势，评价经济决策作用，修正经济要素配比，调控经济运行机制。显然，这一系列过程都是灰色理论在经济运行和管理中的实际运行。换言之，灰色系统理论对于经济研究的意义在于：

(1)从整体全局上认识和把握经济系统和系统要素，以总体目标、最终作用和均衡为基本准则和价值目标，通过要素和要素之间、部分与部分之间、系统内部与外部之间的联系把握，使经济研究具有全面系统性。

(2)通过经济系统内部结构特征研究，进而深化到经济系统要素的数量特征、关联程度、及其经济组织运行和作用结构研究，并通过经济系统和要素表象数据分析和特征挖掘，使经济研究由表及里、由浅入深、由定性到定量、由微观到宏观，呈现出层次递进性。

(3)视随机经济变量为灰色量、随机经济过程为灰色过程，借助灰元，以灰过程及其生成空间为基础，使经济随机认识和研究过程实现由灰到白的“白化”过程、由不确定到相对确定的过程。特别强调把经济过程细分为足够小的时间和空间单元，经过严格条件研究到放宽假设推演的逻辑转变，使细微经济时空间随机变化与长期经济周期变动结合起来，使宏观经济决策调控过程与微观主体生产消费行为过程统一起来，保证了经济研究的确定有效性。

(4)把经济系统看成是连续不断的动态流，定量研究经济系统和要素的动态品质、动态结构及其反馈过程，并把经济系统和经济概念特征对应到数量指标之中，把过于分散、稀疏、孤立的经济信息浓缩、密化、对应到集中的信息，把经济系统和要素的表征数量对应为系统内在规律反映和折射，建立一种客观对应关系，使经济研究具有动态对应性。

(5)注重经济系统和系统要素结构的定量分析及其结构变动方向和变动强度研究，通过证明光滑离散函数累加为灰指数律，建立灰色系统与经济学科系统之间的紧密联系，保障经济研究的结构定量性。

(6)根据经济研究实际确定经济信息数量的准确可信度、样本容量和分布规律，充分挖掘和开发现有数据和信息，提取有效信息，提供有效方法，在满足可行基础上，不断探求经济系统和系统要素的最佳配比和最优结构，并运用模型分析方法和建模技术，把经济预测、经济决策、经济运行、经济调控纳入到科学化轨道上来，保证经济研究的实践科学性。

2 灰色经济模型建构机理

灰色模型（简称GM模型）是以原始数据列作为生成后建立微分方程，区别于一般意义用数据列建立差分方程的建模方式。灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念，在先定义灰导数与灰微分方程基础上用离散数据列建立微分方程的动态模型，由于模型非唯一，是近似的，故称之为灰色模型。灰色理论之所以能建立近似微分方程，是基于下述概念、原理和方法[2]。

(1)灰色系统理论是将随机变量当作一定范围内的灰色量，而随机过程也只是一定时空范围内的灰色变化过程。

(2)灰色系统理论将没有规律或规律性不强的原始数据生成后，使其变为有规律或规律性较强的生成数据后再建立模型。GM模型实际上生成数据模型，而一般建模得到的是原始数据模型。

(3)通过GM模型得到的数据，需要经过逆生成作还原后才能使用，才有说服力，才有实际意义。

(4)灰色系统理论是针对符合光滑离散函数的一类数列建模。一般原始数据作累加生成后，都可以得出光滑离散函数。

(5)灰色系统理论是通过灰数不同生成方式和数据取舍以及不同级别残差GM模型补充、调整、修正后，提高模型精度的。换言之，GM模型是通过残差GM模型修正后才变成近似差分微分方程。残差就是模型计算值与实际值之差。

(6)灰色系统理论按开集拓扑定义了数列的时间测度，进而定义信息浓度；基于光滑离散函数的收敛性与灰关联空间的极限概念，定义了灰导数和灰微分方程。灰色系统理论认为，微分方程是背景值与各阶灰导数的某种组合。如果组合是线性的，系数是常数，则称线性常数微分方程；如果组合是非线性的，就叫非线性微分方程。

(7)灰色系统理论是基于关联度概念和关联度收敛原理选择和建立模型的。关联度收敛是一种一定时空范围的近似收敛，是离散函数收敛。

(8)GM模型主要通过残差大小(或平均值，或最近数据残差值)检验、关联度检验、后验差检验三种方法检验和判断模型的精度的。残差大小检验是按点检验，关联度检验是建立的模型和指定函数之间的近似性检验，后验差检验是残差分布统计特性检验。这三种检验虽然从不同角度验证了模型的科学性，特别是后验差检验既考虑了原始数据列的离散性，也考虑了数据拟合残差离散性，同时还考虑了小概率事件的拟合优度，但由于综合时空范围不确定和有限性，后验差检验也会出现与实际情况不吻合现象，灰色模型综合评价方法还有待进一步研究[3]。

(9)对于高阶系统，灰色系统理论是通过GM(1,N)模型群解决的。也就是说，GM(1,N)模型群能充分满足普通微分方程要求的信息量无限大、背景值为灰、背景值与dx/dt满足平射关系三个要件。但对于数据列离散性，由于信息时空有可能出现空集，所以灰色理论只能按照近似微分方程的条件建立近似的不完全灰微分方程模型。

3 灰色经济模型建构基本方法

一般经济系统模型是经济系统内部结构属性与经济系统要素关系的集中反映，是经济系统各要素间整体性、关联性、协调性和因果性的具体化数量化[4]。而灰色经济系统模型除了是系统四种属性和数量关系反映外，特别注重经济要素之间的动态关系和过程研究。建立灰色经济系统模型必须以定性研究为基础、以定量研究为保障、强调定性定量结合，一般需要经过已知经济信息开发思路设计、相关经济要素关联分析、经济要素因果关系量化、经济要素关系动态检验以及经济系统模型整体优化五个步骤。五个步骤实质上包含了五个阶段不同性质模型，简称为五步建模。

第一步，建立语言经济模型。根据所研究的经济系统结构及要素关系作定性分析，以明确经济研究方向、目标、方法和途径，并用精炼的语言文字予以表达，建立语言经济模型。建构语言经济模型的基础是经济信息，是对经济信息收集、分析、处理以及经济信息在研究中的意义总和概括描述。经济信息既包括数据描述的完全确定部分经济信息，也包括用不确定性语言描述的不完全确定部分经济信息。换言之，经济信息具有部分确定和部分不确定的特征，呈灰性。语言经济模型通过经济信息分类处理过程实现预期经济建模目标，这个分类过程实际上就是灰色经济信息逐步白化、补充、修正和综合利用的渐进过程，是由表及里、由简到繁、定性与定量结合过程。这阶段语言经济模型还只是定性模型，灰色建模还处于经济信息开发思路设计阶段。

第二步，形成网络经济模型。在综合语言经济模型中所显现的和潜在经济要素特性，进行经济系统因素相关性和因果关系分析，揭示经济要素和变量相互作用方式和规律，明确哪些经济要素和环节是因、哪些经济要素和环节是果，或者明确哪些经济要素和环节是输入、哪些经济要素和环节是输出。然后根据经济要素对应关系用图表或框图表示这些经济关系。如画出经济系统及要素方框图、功能模块图、模糊影响树状模块图等，揭示经济系统及经济要素关系。这种从经济系统结构和经济系统环节分析各经济要素在经济系统中因果联系，并用图形表示出来，就是网络经济模型。

第三步，建立量化经济模型。在网络经济模型中，将各经济系统要素和环节的输入和输出关系以及作用方式填入经济网络图示中，即得到量化经济模型。

第四步，求出动态经济模型。动态经济模型也就是过程经济模型，即把每一经济环节和要素输入和输出的时空范围数量关系找出来，按照GM（1，N）要求建模，进而得出经济要素和环节输入和输出的动态经济关系和规律，即求得动态经济模型。

第五步，创建优化经济模型。对动态经济模型及相关结论进行分析，提出积极发展改进措施，改善经济系统运行品质，满足经济模型设计要求和目标，都是经济模型优化的内容和范畴。并以此对动态经济模型作调整、补充、修正得到的模型就是优化经济模型。优化经济模型包括经济参数优化、经济结构优化、经济要素作用点优化等形式和内容。

按照五步建模思路设计和建构的灰色经济模型具有以下特点：

（1）以经济定性分析为基础，通过经济变量具体化、规格化、关系化和数量化的定量分析，能保障经济系统定性分析与定量分析的紧密结合。

（2）以经济系统显性和潜在信息为立足点，通过已知经济信息揭示潜在关联经济信息，明确经济信息之间的因果或输入输出关系，能增强经济建模目标的针对性以及分析结论的可靠性。

（3）以经济系统因素相关分析、经济系统行为研究为主要特征，注重经济系统因素间关系相对性和多重性研究，充分考虑了经济因素时空随机特性和连续运动变化特点，强化了经济系统和经济行为的动态研究。

（4）以控制论基本方法运用于经济系统和经济行为研究，能增强系统的控制功能。如通过系统信息获取特别是发展变化信息获取，可加强系统可控性和变化过程可测性研究，能更有效明确系统是发展的还是有限的。如果是发展的，其发展方向是什么，发展速度如何；如果是有限度的，那么它是单调趋近极限、还是摆动趋近极限，是平稳的，还是剧烈变动的等等。

（5）五步建模所建的模型是基于多因素、关联性、整体化的多维多向分析模型，是强调以综合分析相关联因素综合作用决定系统发展运动变化的模型，能更贴近经济生活的实际情况。

[1]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉：华中理工大学出版社，2002.

[2]罗佑新，张龙庭，李敏.灰色系统理论及其在机械工程中的应用[M].长沙：国防科技大学出版社，2001.

[3]刘思峰.灰色系统理论产生与发展[J].南京航天航空大学学报，2004，（4）.

[4]李少鹏，吴嘉晟.灰色系统模型及其经济问题应用[J].数学的实践与认识，2008，（1）.