基于过零周期技术的混沌检测系统状态阈值判据研究

金涛，柏逢明

(长春理工大学 电子信息学院，长春 130022)

近年来由于微弱信号的混沌检测具有的高精度性，受到国内外学者的极大瞩目，但是通过混沌系统检测微弱信号的前提为该系统是混沌的，在此前提下，如何准确判别系统状态的变化是混沌检测的关键，因此混沌检测系统阈值的确定是建立混沌检测系统的核心问题。在利用混沌振子检测微弱信号中，必须要确定系统从混沌态跃变到周期态的阀值，一般都采用实验的方法确定，通过多次改变系统的参数，观察系统的相轨迹图，当系统从1.1跃变到1.2时便可确定此值即为系统阀值，但是这种判断方法一方面效率极低，另一方面由于仿真参数的设置和人的主观因素的影响会造成阀值存在较大的误差，例如，仿真时间如果过短的话，容易把仿真开始时出现的类似周期运动状态错判为周期状态。近几年有学者相继提出了数值判决法，这样对于混沌状态的阀值确定大体有两类：第一类是直观法，采用实验的方法对系统从时域和频域的特征曲线上进行判断，具有直观，简单的特点，时间历程法、相轨迹图法、频闪采样法、Poincare截面法以及功率谱法。第二类是定量方法[1]，通过计算混沌系统的某个特征量数值判别混沌是否存在，混沌的特征值判别法包括分维数(fractal)、Kolmogorov值熵(Kolmogorov entropy，简称K熵)、Lyapunov特性指数(Lyapunov characteristic exponents，LCE)、和Melnikov方法等定量判别混沌的方法。定量法相对于直观法具有精确度高的优点，但是计算量复杂，不利于工程实现。本文在吸取上述理论基础上，提出通过过零周期技术，对系统混沌周期态阈值的判据提出了一种新的研究方法，实现了弱信号检测中的一个核心问题。

1 传统的混沌态与大尺度周期态阈值判据

很多文献对于混沌状态的判据都进行了研究，这里简单介绍一下其中最为典型的通过Lyapunov特性指数对系统的混沌态与大尺度周期态进行判断[2]，混沌运动的一个重要特点是其运动对初始条件具有极端敏感性，两个极为靠近的初值所演化的轨道，随时间的推移会按指数形式分离，Lyapunov特性指数就是定量描述这一现象的量。设一维动力系统Xn+1=F(Xn)，初始的两点为x0，x0+，这 是一个极小的量。如果平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为，则经过一次迭代之后，两点相距为 *e，依此类推，在经过n次迭代之后，两点的距离为：

经过运算可得：

2 基于过零周期的duffing振子系统混沌周期状态阈值判据

在经典的用于谐波信号检测的Duffing方程构造的混沌检测系统中：

图1中，系统以包围(1，0)与(1，0)点作大尺度周期运动，因此明显确认系统相轨迹的过零状态。

图1 大尺度周期相图Fig.1 The phase diagram of large scale period

图2 过零次数与幅值的关系Fig.2 The relationship between times of zero passage and amplitude

在此基础上，通过大量试验仿真可以发现系统在周期策动力幅值逐渐增加的同时，一定时间的过零次数也是在大致增加的，当系统出于大尺度周期态时，过零次数保持恒定，那么这就为判断混沌检测系统的状态提供了一种非常简便的手段：在这里用定向过零的基本原理来分析系统整个时间段的运行状态，会发现其具有一定的规律性，这里还是使用经典Duffing方程加以仿真：

Duffing振子弱信号检测系统的周期策动力处于其他频率时同理，当增大到一定值时，N不再变化，而是保持恒定的一个值，这都说明此时系统已经进入大尺度周期状态，因此可以预测当N开始恒定时的值就处于系统阈值点附近，通过这种方法可以快速简便地估计出系统的阈值点。如表1是在不同策动力频率下计算的单位时间内系统相轨迹穿越零点次数随策动力不同而产生的变化。为在特定频率下的策动力幅值，每一个对应有一个单位时间过零点数N。

表1 不同频率下过零次数Tab.1 The number of zero-crossing in the different frequency

图3 过零次数与幅值关系( =1)Fig.3 The relationship between times of zero passage and amplitude(=1)

图4 系统相图( =1，=0.825)Fig.4 The phase diagram(=1，=0.825)

由图3可以看出系统混沌态与大尺度周期态阈值在0.83左右，因为当策动力幅值达到0.83时，单位时间内系统相轨迹过零点次数开始稳定在634，说明系统开始进入大尺度周期态，那么阈值肯定介于0.82与0.83之间，通过仿真可以看到duffing振子弱信号检测系统在策动力频率=1时，混沌态与大尺度周期态阈值为0.825，如图4所示。

通过观察系统相图可以证明混沌态与大尺度周期态阈值与通过过零法估计的数值相符。以上其他数据为系统策动力处于不同频率时系统一定时间过零周期数，通过这些数据很容易看出系统由混沌态向大尺度周期态转变得阀值区域，通过相图仿真可以证明系统阀值确实在这些区域。

3 结论

通过定时过零周期判定法可以准确确定Duffing振子弱信号检测系统的混沌态与大尺度周期态阈值，如果想要得到更精确的阀值，可以细化周期策动力取值步长，具体工程应用中可以根据需要确定步长的大小以得到不同精度的数值。通过对相图的观察，结果都是正确的，这就为混沌系统状态阈值的确定增加了一种新的高效算法，同时对于采用混沌构造的检测系统中的弱信号判别提供了一种简便的判决手段，具有直观图无法比拟的精确性，同时比现有的特征值算法简单高效得多，在工程应用中具有很大意义。此外这种方法具有普适性，对于其他混沌系统也具有通用性。

[1]李月，杨宝俊，李亚峻.微弱正弦信号检测模型混沌解的判定[J].地球物理学进展，2002，17(4)：133-136.

[2]陈士华，陆君安.混沌动力学初步[M].武汉:武汉水利电力大学出版社，1998.

[3]李月，杨宝俊，邓小英，等.谐波信号频率的混沌检测方法[J].电子与信息学报，2005，27(5)：120-122.