光学偶极阱中铷原子5S1/2及5P3/2态的AC Stark频移

成永杰，邱 英，何 军，张天才，王军民

（山西大学光电研究所，量子光学与光量子器件国家重点实验室，山西太原030006）

光学偶极阱中铷原子5S1/2及5P3/2态的AC Stark频移

成永杰，邱 英，何 军，张天才，王军民

（山西大学光电研究所，量子光学与光量子器件国家重点实验室，山西太原030006）

基于二能级模型和多能级模型，分析计算了由强聚焦高斯光束形成的光学偶极阱中87Rb原子5S1/2态和5P3/2态的AC Stark频移。基于多能级模型，针对在852 nm高斯激光束强聚焦所形成的87Rb原子远失谐光学偶极阱中进行偏振梯度冷却的情形，计算了冷却循环跃迁（5S1/2F=2-5P3/2F′=3）的频移量，结果显示频移对molasses冷却过程产生了重要的影响。同时，计算了5S1/2｜F=2，mF=±2〉态和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉态的AC Stark频移随光学偶极阱激光波长的变化情况，发现在红失谐情况下，对于87Rb原子5S1/2-5P3/2态跃迁不存在魔数波长。

87Rb；AC Stark频移；光学偶极阱；远失谐光学偶极阱；多能级模型

1 引 言

20世纪90年代以来，激光束调谐到低于原子共振跃迁线十几纳米到几十纳米甚至更远，可形成远失谐光学偶极阱（FORT）［1～3］，因其可以对激光预冷却的原子在实现俘获的同时仍保持极低的光学激发，原子的内态可以保持很长的时间，且可对不同自旋态的原子进行俘获，所以被广泛应用于冷原子物理实验中。光学偶极阱的本质是空间存在光强梯度的光场使中性原子产生感生电偶极矩，光场对原子感生电偶极矩的偶极作用导致原子能态的AC Stark频移，从而对原子产生吸引或者排斥作用，实现对原子的俘获。

AC Stark频移的大小由辐射场的强度以及辐射场与原子跃迁频率的失谐量决定。如果只是关心光学偶极阱深度，只需要计算基态的AC Stark频移，无需再关注激发态的AC Stark频移。然而在量子态工程和精密测量实验中［4～6］，往往要求将原子有效地俘获并准确地制备到一个内部和外部自由度都确定的量子态。无论是原子冷却、原子初态制备还是原子内态操控，都需要光与原子有确定的失谐量或者与原子共振，这就要求确切知道原子基态和激发态在FORT中的AC Stark频移。1999年Katori等人［5］利用锶原子的魔数波长（magic wavelength）实现了锶原子在光学偶极力阱中的有效装载。所谓魔数波长指的是如果某个波长的FORT光场作用在相应的原子跃迁线上时，使得对应的基态和激发态产生完全相同的频移，对应的跃迁频率与在零场时的情形相同，那么该波长就称为原子的魔数波长。McKeever等人［6］于2003年在光学腔中采用935 nm魔数波长驻波光学偶极阱实现了对单个铯原子长时间的俘获。2005年Darquie等人［7］在仔细计算了铷原子各能态的AC Stark频移后，在实验中实现了基于单原子远失谐光学偶极阱的触发式单光子源。由此可见，对原子基态和激发态AC Stark频移的准确计算是实现对原子的冷却以及原子初态制备和量子态相干操控的关键。

对AC Stark频移的计算，很多人都做了重要的工作。Zheng等人［8］于2006年计算了铯原子6S1/2态和6P3/2态的AC Stark频移，并分析了在不同偏振光场下铯原子的魔数波长。Bindiya Arora等人［9］于2007年全面地分析和计算了碱金属原子的魔数波长。

本文分析计算了在线偏振光作用下87Rb原子5S1/2态和5P3/2态的AC Stark频移，并用多能级模型和二能级模型做了计算。结果表明，基态5S1/2和激发态5P3/2的AC Stark频移在两种模型下有很大差异。通过对FORT中87Rb原子基态和激发态的AC Stark频移的准确计算，可为后续在FORT中对所俘获的87Rb原子进行molasses冷却提供参考，也可为下一步原子初态制备以及原子的内态相干操控，最终实现单光子源提供有益的参考。

2 理论模型

最简单的光学偶极阱可由一束相对于原子红失谐（负失谐）的高斯激光束经强聚焦而构成，可将已经过磁光阱预冷却的原子俘获在光强最强处，如图1（a）所示。在实验中采用一束直径为19 mm的852 nm高斯激光束通过特殊设计的大数值孔径的透镜组，最终将激光束聚焦到腰斑半径为2.1μm（如图1（b）所示），构建对于87Rb原子的光学偶极阱。对于经单原子磁光阱冷却并俘获的单原子［10］，可通过这个系统将其俘获在腰斑半径为2.1μm的光学偶极阱中，实现单原子的空间高度局域化，从而能够更好地控制单原子的外部和内部自由度；且因为俘获光的频率远失谐于原子的跃迁线，所以抑制了原子的自发辐射，能保持长的退相干时间［11］。

通常计算AC Stark频移时，将原子简化成二能级模型［1］，用经典谐振子模型得到偶极势和散射率的表达式分别为：

事实上，用二能级模型对原子基态和激发态AC Stark频移的计算是不准确的，如实验中使用的87Rb原子（如图2所示），其｜1〉态（5S1/2态），｜2〉态（5P3/2态）和｜3〉态（7S1/2态）在对780 nm的｜1〉-｜2〉跃迁和741 nm的｜2〉-｜3〉跃迁均为负失谐的852 nm俘获光场作用下的AC Stark频移。用二能级模型，不考虑｜3〉态时，｜1〉态的AC Stark频移为负，｜2〉态的AC Stark频移为正；不考虑｜1〉态时，｜2〉态的AC Stark频移为负，｜3〉态的AC Stark频移为正。若综合考虑二者，｜2〉态的AC Stark频移可能为正、负甚至为零，具体的情况需要仔细进行分析计算。

对于碱金属原子基态，均存在D1线（n S1/2-n P1/2跃迁）和D2线（n S1/2-n P3/2跃迁），为更精确地计算基态的AC Stark频移，Grimm等人［1］提出了修正的二能级模型，考虑了D1线和D2线对俘获光场的响应，具体的表达式为：

其中p为俘获光的偏振参数（p=0表示线偏振，p =-1表示左旋圆偏振，p=＋1表示右旋圆偏振），Δ1，F和Δ2，F分别为俘获激光相对于D1线和D2线的失谐量，gF为Lande因子。

多能级模型是现在所有模型中最准确的。根据二阶微扰理论，与频率为ω/2π、偏振为p、光强为I（r）的扰动场作用的具有能量Ei和塞曼子能级mi的原子态｜i〉的能量改变为：

其中诱导极化率等于所有具有爱因斯坦系数Aki、塞曼能级m′和跃迁频率vik=ωik/2π的从态｜i〉到态｜k〉的偶极跃迁的和，对于87Rb原子，考虑到它的核自旋I=3/2，所以诱导极化率表示为［8］：

Aki系数和跃迁频率可以由原子数据库中获得［12］。

3 计算结果与分析

3.1 上能态对AC Stark频移的修正

在辐射场的作用下，原子的能级会产生AC Stark频移。首先，我们计算了铷原子5S1/2｜F= 2，mF=±2〉基态在腰斑半径为2.1μm的852 nm线偏振偶极俘获光作用下分别在二能级、修正二能级和多能级下AC Stark频移随俘获光功率的变化趋势。对于5S1/2｜F=2，mF=±2〉态，多能级模型计算中考虑的跃迁线如图3（a）所示。计算结果如图4（a）所示，曲线1）是二能级模型计算的结果，曲线2）是修正二能级模型计算的结果，曲线3）是多能级模型计算的结果。从图中可见，二能级模型与多能级存在较大的差别，修正二能级模型与多能级模型差别不大，它们之间的差别随着偶极俘获光强的增加而增大。

本文还计算了5P3/2F′=3态各个Zeeman子能级在腰斑半径为2.1μm的852 nm线偏振俘获光作用下分别在二能级和多能级下AC Stark频移随俘获光功率的变化趋势。对于5P3/2超精细态，多能级模型计算中考虑的跃迁线如图3（b）所示。计算结果如图4（b）所示，曲线1）是二能级模型计算的结果，曲线2）～5）分别对应5P3/2F′=3的各个Zeeman子能级采用多能级模型计算的结果。从图中可见，结果中5P3/2｜F′=3，mF=＋1〉和5P3/2｜F′=3，mF=-1〉是相同的，同样的对5P3/2｜F′=3，mF=±2〉、5P3/2｜F′=3，mF=±3〉也有相同的结论，对激发态利用二能级模型和多能级模型计算出的结果有很大的偏差，当偶极俘获光功率为15 mW时，二能级和多能级模型相差达到了20 MHz，它们之间的差别随着偶极俘获光强的增加而增大。对激发态5P3/2F′=3各个Zeeman子能级，彼此之间的差别很小。

综上所述，对光频移的计算有二能级、修正二能级和多能级3种模型，在修正二能级模型下对基态的计算与多能级模型差别不大，但二能级和多能级模型对激发态和激发态的计算结果则有较大的差别。

3.2 852 nm光学偶极阱中对87Rb原子进行molasses冷却时的失谐量被俘获在光学偶极阱中的原子，在近共振激光的作用下以及与背景气体碰撞时，原子必然会被加热，严重时可能逃脱光学偶极阱的束缚。这个问题的一个可能的解决方案就是对光学偶极阱中俘获的冷原子进行molasses冷却，以期降低光学偶极阱中俘获的冷原子的温度［7］。这种方法对在基于单原子光学操控的单光子源以及基于一维光学晶格中的原子链的量子寄存器等研究都有重要意义［13］。由于存在AC Stark频移，原子的共振频率发生变化。因此，本文计算了功率为15 mW的852 nm线偏振高斯光束聚焦到腰斑半径为2.1μm的偶极阱中，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉态的AC Stark频移。计算中考虑的跃迁线如图3所示，计算结果如图5所示。图中ωL为molasses冷却光的频率，负失谐于5S1/2｜F=2，mF=±2〉-5P3/2｜F′=3，mF=±3〉冷却循环跃迁；左边为零场时的情形，右边为存在光学偶极阱的情形；因为Udip=kBT= hν，所以图 5中基态的阱深用温度表示为1.0 mK，此时偶极力阱对应的径向的捕获频率为29.5 kHz，轴向的捕获频率为2.7 kHz。由于AC Stark频移的存在，导致molasses冷却光对于冷却循环跃迁的负失谐量明显发生变化。在优化molasses冷却过程时，需考虑AC Stark频移。

3.3 光学偶极阱的激光波长变化时87Rb原子5S1/2态和5P3/2态的AC Stark频移

图6（a）表示的是当功率为15 mW的线偏振高斯光束强聚焦到腰斑半径为2.1μm，激光波长在500～1 000 nm变化时，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉态的AC Stark频移的计算结果。图6（b）表示的是在相同条件下87Rb原子5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉态的AC Stark频移的计算结果。计算中考虑的跃迁线如图3所示。图中每一个跃迁线处都是一个奇点，对应的频移量是发散的。因为计算时选取波长为500～1 000 nm，所以图6（a）中只对应5S1/2｜F=2，mF=±2〉态的两个发散点，780.24 nm对应5S1/2-5P3/2跃迁，794.98 nm对应5S1/2-5P1/2跃迁。因为计算时波长取为500～1 000 nm，且6S1/2、7S1/2、8S1/2、9S1/2与5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉态之间的跃迁为禁戒跃迁，所以图6（b）中只对应5P3/2｜F′=3，mF=±3〉态的6个发散点，572.57和572.62 nm分别对应5P3/2-7D5/2和5P3/2-7D3/2跃迁（图中二者靠得很近，几乎不可分辨），630.01和630.10 nm分别对应5P3/2-6D5/2和5P3/2-6D3/2跃迁（图中二者靠得很近，几乎不可分辨），775.98和776.16 nm分别对应5P3/2-5D5/2和5P3/2-5D3/2跃迁（图中二者靠得很近，几乎不可分辨）。图6中的圆点对应852 nm光学偶极的情况，对基态和激发态，其结果与图5中的结果是相符合的。

4 结 论

本文中介绍了采用多能级模型计算87Rb原子5S1/2和5P3/2态的AC Stark频移的方法和计算结果，计算结果表明，多个上能态的存在对频移量的影响不可忽略。此外，还计算了在光学偶极阱中对所俘获的87Rb原子进行molasses冷却时，由于5S1/2和5P3/2态的AC Stark频移所导致的冷却光失谐的变化量。同时发现，在红失谐情况下，对于87Rb原子5S1/2-5P3/2态跃迁不存在魔数波长。

对于单光子源、光与原子强相互作用、量子态工程和精密测量等方面的研究工作，都需要对原子在光学偶极阱中的AC Stark频移进行精确计算。因此，本文对于深入理解AC Stark频移和指导下一步基于单原子操控的单光子源的实验研究工作是很有意义的。

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Calculation of AC Stark shift of 5S1/2and 5P3/2states of Rb atom s in optical dipole trap

CHENG Yong-jie，QIU Ying，HE Jun，ZHANG Tian-cai，WANG Jun-min
（State Key Laboratory of Quantum Optics and Quantum Optics Devices，Institute of Opto-electronics，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

Based on the two-level and multi-levelmodels，the AC Stark shift of the 5S1/2and 5P3/2states of87Rb atoms in an Optical Dipole Trap（ODT）formed by a strongly-focused single Gaussian laser beam is analyzed and calculated.For performance ofmolasses cooling of87Rb atoms in the Far-off-resonance Trap（FORT）by 852 nm Gaussian laser beam，the AC Stark shift of 5S1/2F=2-5P3/2F′=3 cycling transition for cooling is also calculated，results show that the frequency shift has an important impact on themolasses cooling process.Furthermore，the AC Stark shift of87Rb 5S1/2｜F=2，mF=±2〉and 5P3/2｜F′=3，mF=±3〉states versus the wavelength of the ODT laser is analyzed，which shows that there is no magic wavelength for 5S1/2-5P3/2transition of87Rb atoms in the red-off-resonance condition.

87Rb；AC Stark shift；Optical Dipole Trap（ODT）；Far-Off-Resonance Trap（FORT）；multi-level model

O431.2；O562.1

：A

1674-2915（2010）02-0119-07

成永杰（1985—），男，山西高平人，硕士研究生，主要从事冷原子与光场相互作用方面的研究。

E-mail：cyj229＠163.com

2010-01-11；

2010-03-13

国家重大研究计划资助项目（2006CB921102）；教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目（NCET-07-0524）；国家自然科学基金资助项目（60978017，10974125，60821004）；高等学校博士点专项科研经费资助项目（20070108003）

王军民（1967—），男，山西河曲人，博士生导师，主要从事量子光学、冷原子物理、激光技术、光物理等方面的研

究和教学工作。E-mail：wwjjmm＠sxu.edu.cn