大跨斜拉桥在移动荷载作用下的振动控制

2010-01-25万信华

土木工程与管理学报 2010年1期

万信华

(中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北武汉 430063)

调质阻尼器(TMD)由于其结构紧凑、价格经济、使用方便，已开始用于桥梁工程的振动控制中。单调质阻尼器(STMD)对窄带的激励有较好的控制效果，而且其控制效率在阻尼器质量和阻尼一定的条件下，对阻尼器与受控系统之间的频率比非常敏感[1]。只有在最优频率比附近，控制效率才达到最优，一旦频率漂移，其控制效率将大大下降，甚至起到相反作用[2]。在桥梁工程中，由于结构、材料等因素的变异特征，其基本频率均会在一定程度上产生漂移，无论是在车辆荷载或是在风荷载作用下，用STMD控制结构的振动往往难以达到理想的效果。

多重调质阻尼器(MTMD)是由多个具有不同频率、不同质量或不同阻尼的调质阻尼器构成的动力吸振器群，被广泛应用于结构的被动控制中。本文以一座大跨斜拉桥为例，研究多重调质阻尼器(MTMD)对结构在汽车荷载作用下的振动控制。在结构动力模态分析的基础上，研究结构振动控制振型及其对应的固有振动频率，建立包含结构振动控制振型及MTMD系统的运动方程，以结构跨中位移动挠度为控制目标对MTMD参数进行分析和优化，然后按常规有限元方法对车-桥-MTMD系统进行动力时程分析，验证MTMD控制结构竖向振动的有效性。

1 振动控制振型幅频响应方程

假设在某斜拉桥结构跨中区域安装n个TMD(图1)，MTMD的频率以结构振动控制振型频率为中心按一定间隔等间距分布，n为奇数。第i(i=1，2，…,n)个TMD的质量为mi，刚度和阻尼常数分别为ki、ci，与主体结构的竖向相对位移为vi，绝对位移为zi。则第i个TMD的运动方程：

图1 具有MTMD的斜拉桥平面模型(标注单位：m)

(1)

斜拉桥结构运动方程：

(2)

式中，[MC]、[CC]、[KC]分别为主体结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{x}为主体结构的位移列向量；{F1(t)}为汽车荷载对主体结构的作用，由于汽车作用与随机的桥面不平顺有关，因此将{F1(t)}看成一个随机荷载；{F2(t)}为MTMD对主体结构的作用，只有在布置TMD的节点沿竖向自由度方向有非零值。

(3)

设斜拉桥结构振动控制振型列向量{Φ}={φ1φ2…φm}T，其中下标m为主体结构的总自由度数。另有振型子向量{φ}⊂{Φ}，{φ}={φj1φj2…φjn}T，它的每个元素表示n个TMD位置处的振型幅值。

由于控制振型的贡献相对占优，于是可近似认为

{x}={Φ}q

(4)

式中，q为结构振动控制振型坐标。设xji表示主体结构第i个TMD位置处的竖向位移，则有vi=zi-xji，xji=φjiq，得

vi=zi-φjiq

(5)

将式(4)代入式(2)，并等式两边左乘{Φ}T，有

(6)

式中，M、C、K分别为主体结构振动控制振型的广义质量、广义阻尼和广义刚度，且M={Φ}T[MC]{Φ}、C={Φ}T[CC]{Φ}、K={Φ}T[KC]{Φ}。

将式(5)代入式(3)，并将{F2(t)}表达式代入式(6)，得到

(7)

将式(5)代入式(1)，有

(8)

联立方程式(7)和式(8)，得到结构振动控制振型和n个TMD构成新系统的动力平衡方程为：

(9)

式中，

{Y(t)}={qz1z2…zn}T

(10)

{P(t)}={ΦTF1(t) 0 0 … 0}T

(11)

(12)

[CS]=

(13)

[KS]=

(14)

为了求得频率响应方程，令{F1(t)}={Fm}e-iωt，其中{Fm}为各点激励幅值组成的列向量，根据线性定常系统的保频性，有

{Y(t)}={y(ω)}e-iωt

(15)

{y(ω)}=([KS]-ω2[MS]-iω[CS])-1{ΦTFm0 … 0}T

(16)

由于[MS]、[CS]、[KS]仅在第一行、第一列和对角线上有非零元素，结构控制振型的广义坐标幅频响应q(ω)为{y(ω)}的第一元素。先对矩阵求逆，而后可得q(ω)

q(ω)=

(17)

不失一般性，假定在随机不平顺桥面条件下，汽车荷载对桥梁的激励为功率谱密度函数为S0的白噪声，根据方差的定义，结构振动控制振型主坐标q的方差[3]

(18)

显然，只有|q(ω)|小，σq才能取得小值，因此将|q(ω)|min作为MTMD参数优化的条件。

2 大桥动力模态分析

由前述论证可知，用MTMD控制结构的振动，必须针对结构振动的某一具体振型，对于结构跨中动挠度，该振型要在所有振型贡献中占优，为此，必须先对结构进行动力模态分析。下面以湖北省境内某大跨斜拉桥为例，以结构跨中动挠度为控制目标，阐述结构振动控制振型坐标幅值|q(g)|与各自变量的关系，主桥桥型布置如图2，有限元分析模型如图3。

图2 桥型布置

图3 主桥有限元动力分析模型

主要材料和力学性能如表1，有限元模型没有考虑桥梁纵坡的影响，主梁、主塔采用6自由度梁单元，斜拉索采用2自由度杆元，使用公式修正弹性模量考虑拉索垂度的非线性效应。全桥共有217个节点，116个杆元，214个梁元。对主桥结构进行动力特性分析，得到各阶频率和相应振型，部分低阶频率和振型描述如表2。

表1 结构材料和力学性能 MPa

表2 成桥状态主桥结构振动模态

由振型分析可知，斜拉桥跨中竖向振动主要是一阶对称弯曲振型的贡献(图4)。

图4 主桥一阶对称弯曲振型，频率0.093

3 MTMD参数分析与设计

MTMD的频率以结构振动控制振型的频率为中心等间距分布，为了便于加工和制作，每个TMD采用相同的质量和阻尼比，刚度和阻尼常数随频率发生变化。第i个TMD的参数可表示为

ci=2miωiξi(i=1,2,…,n)

(19)

设有变量g定义为无量纲的频率比，g=ω/ωc，其力学意义是汽车激励频率与结构振动控制振型频率之比。

将上述各参数代入式(17)，并经整理得

(20)

其中

Z(g)=

(21)

由式(20)和式(21)可知，结构振动控制振型坐标幅值|q(g)|是一个多自变量的函数，它与外荷载的激励频率与结构振动受控振型的频率比g、MTMD的个数n、阻尼比ξi、质量比ui以及反映MTMD频率间隔的量β等参数有关。

下面针对主桥结构对称弯曲振型，研究MTMD各参数对振型坐标幅值的影响。

3.1 平均阻尼比ξT的影响

平均阻尼比ξT定义为MTMD的中心频率对应的阻尼比，在本题目中，实际上为各TMD的阻尼比ξi，因为假设各TMD的阻尼比相同。

图5中各条曲线无一例外反映了幅值响应随MTMD阻尼比增大而增大的趋势，先是呈直线上升，而后过度进入平缓上升阶段。这说明MTMD阻尼的存在，抑制了MTMD自身的振动，从而削弱了对主体结构的控制作用，所以各TMD阻尼愈小控制作用愈明显。设计和制作TMD时，由于对空间和作动位移的限制，TMD要有一定的阻尼，但阻尼比应在5%以内。图5同时反应了幅值响应随TMD数量增多而减小的趋势，但趋势是减弱的。

图5 ξT与q幅值关系曲线

图6 频率间距与q幅值关系曲线

3.2 MTMD频率间距的影响

从图6可以看出，优化频率间距在0.055～0.065附近，超出此范围幅值响应均会增大，同时还反映了幅值响应随阻尼比减小而减小的趋势。

3.3 MTMD广义质量比ui的影响

图7表明，当各TMD质量比在1%以内变化时，幅值响应急剧减小，超出此范围仍有减小的趋势，但十分平缓。从理论上说，控制结构的动力响应，TMD的质量做得愈大愈好，但同时增加了主体结构的静力负荷，因此理想的TMD广义质量比应在1%～2%之间。

图7 ui与q幅值关系曲线

3.4 MTMD数量n的影响

图8反映的是当TMD广义质量比ui=0.015时，各种数量的MTMD以及无TMD情况下结构振动控制振型坐标q的幅频响应。研究表明，振型坐标峰值随TMD数量增多而减小，增多到一定程度后，这种减小的趋势已经变得很弱，但波峰之间的频率差变得更大，这就意味着MTMD控制结构的频带变得更宽，表明了MTMD对各种激励频率较强的适应能力。

图8 MTMD数量n对q幅频响应的影响

3.5 MTMD布置间距的影响

图9是5个TMD当以不同间距布置在结构跨中区域时，结构振动控制振型坐标q的幅频响应。结果表明，MTMD布置得越紧凑，MTMD控制结构的能力越强。

图9 MTMD布置间距对q幅频响应的影响

通过对主桥结构振动控制振型坐标的频域分析，不难确定MTMD控制系统的参数，经综合考虑：选定TMD的数量为13，集中对称布置在结构跨中的一个区域(图1)，MTMD中心频率为0.584 rad/s，频率间距为0.065 rad/s，每个TMD广义质量比为1%，阻尼比0.03，每侧布置间距8 m，由此可得各TMD阻尼常数和刚度常数。

4 车-桥-MTMD系统动力时程分析

为了验证MTMD的制振效果，再用常规有限元方法对MTMD控制下的车桥耦合系统进行动力时程分析(关于车桥耦合系统动力分析的理论与方法，作者已另文讨论)。考虑桥面的随机不平顺，计算了6辆汽车分别以80 km/h和100 km/h并排过桥时，主桥跨中位置的动挠度时程曲线，并和无MTMD时的同样情形相比较。从图10中可以清晰看出，MTMD明显地改变了结构的时程响应，使动力峰值反应分别减小约29%和25%，但在最初的一段时间内，MTMD对时程响应改变很小，分析其原因，是因为MTMD从0初始速度到充分振动需要一个时间过程。