带利率与红利边界的风险模型的破产概率的上界

杨文权

(江汉大学 数学与计算机科学学院,湖北 武汉 430056)

1 引言及引理

Sparre Andersen风险模型：

(1)

到目前为止已经有许多作者讨论了带红利边界的风险模型,例如,Gerber(1973,1979,1981),Paulsen和Gjessing(1997),Gerber和Shiu(1998,2004),Irbäck(2000),Albrecher和Kainhofer(2002),Lin et al(2003),Dickson和Waters(2004)[4～10]等等.特别是Lin et al(2003),Gerber和Shiu(1998,2004),以及Dickson和Waters(2004)[11，12]的研究.Gerber(1973,也可以看1979)在1973年研究带线性红利边界的经典风险模型中，获得了最终破产概率的Lundberg上界.其结果是,在风险模型(1) 中，设bt=b+qt(00|R0=u,b0=b).Gerber(1973,1979)得到最终破产概率的Lundberg上界,

(2)

其中R>0是Lundberg指数,即R>0是下面方程的唯一正解:

而S>0是下面方程的唯一正解:

另一方面,对Sparre Andersenan经典风险模型另一个合理改进则是在此模型中引入利息，例如Sundt 和Tuegels(1995,1997).到目前为止已经有大量作者研究了带利息的风险模型.

因此,一个自然的问题是：在经典风险模型(1)中，既考虑利息又考虑红利边界，破产概率的Lundberg上界成立吗？据我们所知，在所能查到的文献中，还没有发现有人将利息和红利边界同时引入经典风险模型(1).在本文中，将常数利息力度和线性红利边界引入风险模型(1). 研究表明形如(2)的Lundberg上界能够推广到带有利息的情形(参看下面的定理1和注.因此,本文将讨论下面的带有常数利息力和线性红利边界风险模型.假设保险公司以利息力δ>0获得盈余的利息.考虑的红利边界是:

bt=b+qt,

(3)

其中0

(4)

初始盈余R0=u,0≤u≤b0=b.

定义T∶=inf{t≥0∶Rt<0}(∞,otherwise)为盈余过程{Rt;t≥0}的破产时刻.而ψδ(u,b)∶=p(T<∞|R0=u,b0=b)为盈余过程{Rt;t≤0}的最终破产概率.

2 结论及证明

下面是本文的主要结果.

定理1 如果存在v(y,t)≥0,t≥0是下面方程的解:

如果y

(5)

(6)

则：

(7)

注一方面，让δ趋近零,则由式(4)定义的盈余过程{Rt;t≥0}就是Gerber (1973,或1979)讨论的盈余过程；另一方面,记m(t)为X1的矩母函数,即m(t)=E(etX1),t∈R，则:

是式(6)、(7)的解，其中r为调节系数R,即r=R是Lundberg基本方程:

的唯一正解，S为:

λm(-S)=λ+qR-(c-q)S,

的唯一正解，则式(7)变成：

这正是Gerber (1979,Chapter IX)中的经典结果式(2).

在证明定理1之前，先给出几个引理.记:

Ht∶=σ(Rs,s≤t),t≥0,

和

首先给出Gerber (1979)的一个结论如下.

引理1 若(MR)t=0,t≥0,则{Rt;t≥0}是鞅和条件(5).若(MR)t≤0,t≥0,则{Rt;t≥0}上鞅.

引理2 如果函数v(y,t)≥0,t≥0满足条件(5)和条件(6)，则{v(Rt,t);t≥0}是上鞅.

证明由于{(Rt;t);t≥0}是Markov过程,

当Ut=y

E[v(Rt+ch+δRth-X1+o(h),t+h)-v(Rt,t)|Rt=y]P(N(t+h)-N(t)=1)+

E[v(Rt+h,t+h)-v(Rt,t)|Rt=y]P(N(t+h)-N(t)≥2}=

E[v(y+ch+δyh-X1+o(h),t+h)-v(y,t)]λhe-λh+

E[v(Rt+h,t+h)-v(y,t)|Rt=y]o(h)}=

同样地, 当Ut=y=b+qt时,

由引理1推出由引理2，从而引理2得证.

定理1的证明由引理2知{v(Rt,t),t≥0}是上鞅, 记:

(8)

另一方面,当t≥0,

E(v(RT,T)|T≤t)P(T≤t).

(9)

定理1得证.

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