对流扩散方程的非标准无网格局部Petrov-Galerkin法

代 鸿,李茂军

(1.重庆大学城市科技学院基础部,重庆402167;2.重庆大学数学与统计学院,重庆400044)

对流扩散方程[1,2]在流体力学、气体动力学等领域有着广泛的应用.通常,当对流项占优时,用传统的Galerkin有限元法或有限体积法求解会出现数值伪震荡.近年来,许多研究工作者已经提出了多种方法来避免数值震荡现象,例如 Streamline Upwind Petrov-Galerkin Method(SUPG),Galerkin Least Squares Method(GL S),Streamline and approximate upwind/Petrov-Galerkin method,Constant gradient有限体积法等[3-7].

SU PG法和GLS法在Galerkin有限元变分公式中增加了稳定项,当问题的精确解光滑时,数值解精度高,稳定性好[3-5].然而当精确解具有边界层效应时,数值伪震荡仍然存在.因而构造一种既能消除数值伪震荡又能在问题的精确解光滑时保持 SU PG和 GLS的数值精度的方法具有很大的挑战性.E-.G.D.doCarmo等人在SU PG法的基础上,提出了SAU PG方法,解决了上面的困难,然而这种方法是一种非线性方法.孙小华等[8]应用无单元Gale rkin方法成功求解对流占优对流扩散问题,而且该方法是一种无需网格的线性方法.

无网格局部 Petrov-Galerkin方法 (ML PG)[9-11]采用基于点的近似,对未知函数采用移动最小二乘近似,积分时不需要背景网格,只须在规则的子区域上进行,因而处理方便,是一种真正的无网格法,且算法简单,易于程序实现.本文将SUPG法和GLS法的稳定化思想引入ML PG法,构造了非标准 ML PG法,并应用于定常对流扩散方程.数值算例表明该方法既保持了SU PG法和GLS法的数值精度,又消除了数值伪震荡,同时该方法也是一种线性方法.

1 基本公式

考虑如下的定常对流扩散问题:

其中a(x)为对流速度,k为扩散系数且k＞0,f为源项,Ω为Rd(d=1,2,3)中的有界区域,n为单位外法线向量,Γ=Γu+Γq为区域Ω的边界.

根据无网格局部 Petrov-Galerkin法[9],在任意的局部子域Ωs⊂Ω上建立积分弱形式,并采用罚因子法施加本质边界条件得:

其中s=1,2,…,N,N为局部子域个数,Γus=Γu∩∂Ωs,α是一个罚因子,以施加本质边界条件.v是具有局部紧支性的权函数,本文取三次样条函数:

联合 (3),(4)式得:

当对流项占优时,直接求解 (9)式会出现数值伪震荡,这一点可从后面的数值算例看出.为了获得稳定的数值解,本文基于 A.N.Brooks,T.J.R.Hughes等人提出的SU PG,GLS稳定化方法,分别在(9)式两端加入稳定项得:

本文将上述两种稳定化方法分别记为 MSU PG法和MGLS法,并统称为非标准无网格局部 Petrov-Galerkin法.

2 数值算例

为检验算法的有效性,我们考虑如下问题:

其中Ω=(0,1)×(0,1),a=(1,0),分别取 k=0.1,0.05,0.01,在上述假设下,问题有解析解:u(x1,x2)

该算例对 Peclet数 (Pe=|a|k)非常敏感,常用来检验各种算法的优劣.为求解 (9), (10),(11)式,我们在区域Ω上布置121(11×11)个规则节点,对未知函数 u采用移动最小二乘近似 [9,10].图1,图2,图3分别显示了三种方法 (ML PG法,MSU PG法,MGLS法)沿x2=0.5时的计算结果与精确解.从图中可以看出当 Peclet数较小时,三种方法都可以得到很好的结果,当 Peclet数较大时,ML PG法出现数值伪震荡,而MSU PG法与MGLS法仍然可以得到比较精确的结果,这说明了本文方法的有效性.

3 结 论

本文分别将SU PG法和GLS法的稳定化思想引入无网格局部Petrov-Galerkin法,构造了两种非标准无网格局部 Petrov-Galerkin法 (即MSU PG法,MGLS法),并应用于定常对流扩散方程.数值实验结果表明:MSU PG法与MGLS法采用基于点的近似,不需要背景网格,前后处理方便,且算法简单,易于程序实现;由于未知函数采用移动最小二乘近似,因而具有高阶连续函数性质,在计算时稳定项中的二阶导数不会消失,从而保证了数值稳定性和计算精度;当对流项不占优时,三种方法均可以得到很好的结果,当对流项占优时,由于ML PG法没有对二阶导数进行控制,因而出现了数值伪震荡,MSU PG法与MGLS法在ML PG法的基础上增加了不同的稳定项,均对二阶导数进行了控制,因而消除了数值伪震荡.

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