关于Lp-矩体的Jensen型不等式

李 妮，朱保成

(重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆 400047)

1 基本定义

h(K,x)=max{x·y∶y∈K},x∈Rn,

其中x·y是Rn中通常的内积.

在Rn中，一个紧的星形(包含原点)的径向函数，ρκ=ρ(K，·):定义为:

ρ(K,x)=max{λ≥0∶λx∈K},x∈Rn(〗0}

在Rn中，凸体K的极体[1～3]，定义为K*={x∶x·y≤1,y∈K}对于凸体K的极体有如下的性质，

(1)

假设p≠0,μ是一个集合X上的有限Borel测度，f是集x上的非负片μ-可积函数，则f的p次平均Mpf定义为:

和

关于f的p次平均Mpf，有如下著名的Jensen不等式[9]:如果p≤q且Mpf存在，则:

Mpf≤Mqf,

(2)

等号成立当且仅当f是一个常数或p=q.

2 主要结果

Haberl和Schuster在文献[8]中定义了非对称情形的Lp-矩ΨpL如下:如果L为Rn中关于原点的星体，将非对称情形的Lp-矩体ΨpL的支撑函数定义为∀u∈Sn-1,

(3)

其中u·x是Rn中标准的内积,cn,p为：

(4)

这里的cn,p的选取，是为了将ΨpL标准化，即对Rn中的标准单位球B，有ΨpB=B.因为在文献[6,8]中的不等式对于p=1时仍然进行了标准化讨论，并且Lp-矩体与Lp-质心体一致的可标准化，所以将讨论对于p≥1时的Lp-矩体.根据非对称情形Lp-矩体ΨpL的定义，很容易验证式(3)有边的表达式是一个连续的次线性函数，因此它可以作为一个凸体的支撑函数，所以非对称情形的Lp-矩体ΨpL是凸体.

根据非对称情形的Lp-矩体ΨpL获得了关于ΨpL的Jensen不等式.

(5)

等号成立当且仅当p=q.

证明当1≤p≤q<∞时，利用式(3)和Jensen不等式(1.2)，知道:∀u∈Sn-1，有：

等号成立当且仅当p=q.证毕.

同时，Haberl和Schuster在文献[8]中还定义了对称的Lp-矩体MpL如下，如果L为Rn申关于原点的星体，将Lp-矩体屿L定义为:

(6)

其中u·x是Rn中标准的内积，这里cn,p的选取同式(4)，是为了将MpL标准化，即对Rn申的标准单位球B,有MpB=B.根据定义，很容易知道Lp-矩体MpL是凸体.

本文根据对称的Lp-矩体MpL的极体还获得了关于它的Jensen不等式.

(7)

等号成立当且仅当p=q.

证明当1≤p≤q>∞时，利用式(6)和Jensen不等式(1.2)，知道:∀u∈Sn-1,有：

在上述不等式中，由于|u·x|(u∈Sn-1,x∈K)不可能为常数，于是根据Jensen不等式(1.2)取等号成立的条件知，上述不等式取等号当且仅当p=q.由此得：

等号成立当且仅当p=q.证毕.

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