简化曲面积分的若干种方法

周 彬，吴军优

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

众所周知，积分的运算并不似微分具有构造性，而曲面积分的计算更是繁琐。

在进行曲面积分的计算时，利用积分的性质和被积函数的特征，可以使问题快速得到解决。

1 曲面积分的奇偶对称性和若干结论

定理1：设分段光滑的空间曲面∑关于xoy面对称，∑1为曲面在xoy面的上半部分，∑1：z=z（x，y）≧0，那么：

证明：设∑=∑1+∑2，其中∑2为与∑1关于xoy面对称的曲面，∑1：z=-z（x，y）。

定理2：设分段光滑的空间曲面∑关于yoz面对称，∑1为曲面在yoz面的前半部分，∑1：x=x（y，z）≥0，那么：

2 利用向量计算形式简化第二型曲面积分

3 结语

第二型曲面的计算，首先观察其积分区域是否对称和被积函数的特征，如果具备上述条件，就可以利用结论大大的简化了计算。当然也可以考虑向量计算形式，向量的计算公式在高斯公式失效的情况（P，Q，R不具有连续的一阶偏导数）下，作用更大。

［1］华东师范大学数学系.数学分析第三版（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.