隐式曲面在三维植物建模中的应用研究综述

温维亮， 郭新宇， 陆声链， 赵春江

（国家农业信息化工程技术研究中心，北京 100097）

植物表面多具有复杂的结构和多变的形态，这给三维植物模型的真实感建模带来了极大的挑战。隐式曲面作为一种曲面造型工具，因其具有良好光滑性等特点，人们于20 世纪80 年代将其引入到三维植物建模中来。

参数曲面造型技术是曲面造型系统的基础，它具有易于精确控制，绘制方便等优点。但在用参数曲面构造光滑封闭的曲面时，很难做到光滑拼接，特别是在已经建立好的模型上再添加一个模型并保持拼接处的光滑性。与参数曲面相比，隐式曲面具有鲜明的优缺点，它不易控制，难以直观显示，但可以方便地判定空间点与曲面的相对位置，而且其光滑性非常高。因此，可以说参数曲面和隐式曲面的特点具有很好的互补性。

隐式曲面建模技术近几年发展迅速，尤其以加拿大的Wyvill[1-2]，我国的金小刚[3-5]和法国的Cani[6]等人为代表的研究者的研究异常活跃，他们对隐式曲面建模技术进行了深入的研究并取得了显著的成果。在基于隐式曲面的三维植物建模的综述性研究方面，Bloomenthal 等[7]概括了1997 年之前隐式曲面的一些研究情况，Galbraith 等[8]则概括了2004 年之前关于树木的建模方法，但其中隐式曲面技术仅用来构造树杈脊梁的真实感显示。本文以三维植物建模为背景，介绍和分析目前比较成熟的隐式曲面建模及其可视化方法在三维植物建模方面的应用，以期为相关领域的研究和开发人员提供有益的参考。

早期的隐式曲面建模技术主要包括元球[9]、距离曲面[10]、卷积曲面[11]、变分曲面[12]、BlobTree[13]等。隐式曲面建模技术以BlobTree 为主要结构，现在已经比较成熟应用在三维植物建模方面的技术主要有构造性几何实体方法（CSG）、融合（Blending）、精确接触建模（PCM），具有多项式密度分布的直线骨架卷积曲面以及纹理映射等，而近几年发展起来的隐式扫描曲面(Implicit sweep surfaces)、挤压场(Extrusion Field)、空间层次模型等技术还没有被应用到三维植物建模中来，本文也对这些隐式曲面最新的发展情况进行介绍，并探讨其在三维植物建模中应用的可能性和必要性。

1 三维植物形态建模的研究现状

三维植物的建模和可视化在最近的二三十年里获得了大量的研究，代表性的工作包括L-system[14]、分形方法[15]和自动机模型[16-18]，这些方法通常称为结构模型。结构模型主要应用几何方法或经验规律模拟植物三维结构的发展，从而获得植物整体的几何形态的描述，其重点在于描述树木的整体结构，而忽略器官间的细节和差异。某些研究者则试图将植物三维结构模型和植物生理过程的模拟结合起来，创建真正意义上的虚拟植物，这种方法通常称为功能-结构模型[19]。代表性工作包括开放 L-system[20]和GreenLab[21-22]。除此之外，还有大量描述植物与环境之间的交互的研究工作[23-25]，其中尤其以模拟光照对植物生长的影响的研究居多[26-27]。

在上述方法中，无论是结构模型还是功能-结构模型，其重点都不在于刻画植物表面的细节特征，因此所生成的三维植物模型在真实感方面往往较差。近年来，随着计算机硬件技术和图像处理技术的不断进步以及游戏、景观设计等领域对真实感自然景物的需求不断增强，生成逼真的三维植物器官和形态结构获得了大量的研究和应用。这部分研究主要是用纯粹的计算机图形学的方法创建真实感强的三维植物（器官），视觉上的真实性是其最终的目标。从植物造型的生成方法上，主要包括基于参数化器官造型的交互式设计方法[28-29]、基于三维数据点的重建方法[30]和基于图像的重建方法[31-34]；从植物模型的表示方法上，主要包括基于器官细节表示的植物造型和多尺度表示的植物模型[35]；在器官和植株级别的真实感植物模型研究方面，主要集中在器官的纹理生成和照片级效果绘制的研究[36-39]；大规模植物场景的快速绘制和真实感显示也是近年来计算机图形学领域的一个研究热点[40-43]。

但是，由于植物形态结构的复杂性和植物器官表面特征的多样性，利用目前的建模技术在计算机上精确地重建和显示植物模型仍然存在诸多的困难，如树枝交叉处的自然过渡效果的生成、由于枝条自然脱离、修剪、或因其他原因导致树木表皮形成的突起或疤痕等特征的描述等。另一方面，植物表面形态的特征还可能会随着植物的生长发生较大的变化，这无疑给三维植物模型的真实感建模带来了极大的困难。因此，这方面的研究吸引了诸多研究者的注意，正是利用参数曲面的互补性，隐式曲面在此领域被逐渐应用。

2 隐式曲面在三维植物建模中的关键技术

隐式曲面建模技术在三维植物建模中主要应用在树木建模上。隐式曲面因为其光滑性以及可以基于任意骨架建模的特性，在树木的局部真实感显示建模上优势尤为明显。

虽然近几年隐式曲面建模技术发展迅速，但真正将这类技术应用在三维植物建模上的工作并不多，主要研究成果包括：Hart 于1996 年利用隐式曲面建模技术和过程树皮纹理进行三维树木建模[44]，金小刚等人于2001 年利用具有多项式分布的直线骨架卷积曲面对树木分枝结构进行三维建模[45]，Maritaud 于2003 年利用枝条融合和过程树木纹理进行三维树木建模[46]，Galbraith 等于2004 年基于BlobTree 结构对树木进行三维建模[47]，实现了一些树木细节的真实感显示。下面将分别对已经成熟应用在树木建模上的隐式曲面关键技术进行介绍。

2.1 BlobTree 结构

BlobTree 结构是现代隐式曲面造型技术的核心，它不仅是一种复杂隐式曲面数据结构，还是隐式曲面可视化的一种工具，它突破了传统的构造性几何实体方法（CSG），将各种操作以函数形式引入到实体建模中来，使隐式曲面成为复杂实体建模的有效工具。

在介绍BlobTree 结构前，先简单介绍一下构造性几何实体方法, 这种方法是从简单实体的逻辑组合来构建复杂实体的过程，基本的逻辑操作（如合并、相交和补集）用来作为三维实体之间的关系操作。它是构造复杂隐式曲面最简单的方法之一。

BlobTree[13]结构是隐式曲面造型技术中一种经典的技术，它是把隐式曲面的原型，通过布尔操作、融合操作、变形操作等，拼接成一个复杂树状结构的隐式曲面。图1 给出了一个利用BlobTree 构造复杂模型的流程图[39]。

图1 利用BlobTree 结构构造复杂模型的示意图

BlobTree 结构的节点，也就是隐式曲面原型，是各种简单的隐式曲面的个体，它们是BlobTree 树状结构中的叶子节点，下面的3 种基本变换都是作用在这些节点以及这些节点的组合后的内部节点上的。在树木建模中，经常采用的节点为圆柱体或圆锥体来模拟树枝。

布尔操作包括交、并、差操作，是建立在两个BlobTree 节点上的一种操作，但简单的布尔操作会导致生成曲面的不连续性，Pasko 等[48]给出了几种Cn连续的交、并、差操作函数。

融合操作是BlobTree 结构中的一种建立在两个或两个以上节点上的操作，同时也是隐式曲面建模技术中一种重要的技术，将在下面单独介绍它。

变形操作是将变形函数作用在一个BlobTree节点上，常用的变形算子包括Barr 算子[49]和FFD[50]。图2 为利用变形算子对树枝弯曲的模拟效果[49]。

图2 利用变形算子对树枝弯曲的模拟

2.2 融合(Blending)

融合技术是隐式曲面建模技术应用最广泛的技术之一，正是这一技术解决了树枝曲面的光滑拼接问题。融合问题主要是通过引入融合函数来对融合过程进行干预，一般意义上的融合是指通过把两个待融合隐式曲面的势函数相加，Barthe[51]和Pasko 等[52]给出了一些常用的融合函数。由于树枝的拼接关系，在树木建模中需要大量的采用融合操作，而简单的融合操作会导致融合处存在突起，如图3(a)所示。

图3 融合突起与消除突起的融合

Galbraith 等[39]通过试验的方法，改变了两个待融合枝条的半径，解决了这一问题，如图3(b)所示。但大量的隐式曲面融合都会存在融合问题。Ricci[53]提出采用超椭圆函数来增大融合区域，解决了融合区域小的节点在融合过程中不出现融合的问题。影响半径相差较大的两个曲面进行融合时，也会出现不想要得到的结果，这是由于从骨架到影响范围内的所有点都有其所对应的势值f (P)，可见的只是那些势值等于c 的所有点所构成的隐式曲面，正是那些人们所没有看到点的势值影响了融合的效果，了解了这点后，Wyvill[2,45]等提出引入改变影响区域上势值的函数来优化融合效果，该函数保留原有的隐式曲面，只改变那些影响范围内f (P)≠c 的点P 的函数值，从而减小他们在融合过程中所带来的影响，达到更好的融合效果。

2.3 精确接触造型(PCM)

精确接触造型(PCM, precise contact modeling)[6,46-47]是隐式曲面造型在真实感显示方面的一个重要技术，在树木建模中模拟树杈分支脊梁，在一些不需要融合的地方产生出接触面，应用的都是精确接触造型技术。

早期的精确接触造型技术[54]是应用在距离曲面[10]上的，Cani 等[55]将其发展并应用于交互式建模和动漫技术环境中。Cani 等[56]将该技术应用到卷积曲面上。精确接触造型技术主要分为3个步骤：检测碰撞，建立接触面和生成变形区域。 精确接触造型技术把两个相互接触的隐式曲面所构成的体分成3 个部分，如图4[6]所示，第1 部分是两个物体相交的部分，称为渗透区域，也就是对于两个隐函数来说同时满足使函数值大于势值c 的所有点，这部分区域的点加上对应的变形项，并产生出精确的接触面；第2 部分是衍生区域，也是精确接触造型技术最复杂的部 分， 给 定 c1∈ R， 其 中 0 ＜ c1＜ c， 满 足c1≤ f ( P )≤ c 的所有点P 属于衍生区域，衍生区 域一方面要保证与渗透区域的连接处连续，另外一方面要保证与接触面、原曲面未变形的区域的连接处连续，Cani 等[55]构造了满足上面条件的膨胀变形函数，从而构造出了衍生区域新的势函数；第3 部分是原隐式曲面中未变形的部分，保持其原有的势函数即可。图5 是利用精确接触造型技术生成的树枝脊梁[8]。

图4 精确接触造型原理示意图

图5 利用精确接触造型技术生成的树枝脊梁

2.4 具有多项式密度分布的直线骨架卷积曲面

由于树木的生长规律，树枝通常一端大一端小，为了使曲面能够模拟树木的这种遗传特征，金小刚等[5]提出了具有多项式密度分布的直线骨架卷积曲面，具体表达式如下

图 6 基于具有多项式密度分布的直线骨架 卷积曲面构造的三维树木模型

2.5 植物表面纹理

隐式曲面的纹理映射主要方法是：首先在曲面上进行采样点的选取，采样方法主要取决于隐式曲面的可视化方法，Witkin 等[58]提供了粒子采样方法，当采用多面体化方法对隐式曲面进行可视化时，可直接以网格化后的曲面顶点作为采样点；选取完采样点后，使采样点沿指定的轨迹方程运动，直到运动到纹理支持曲面上停止，从而找到了该采样点对应的纹理坐标[59]。图7 提供了利用粒子系统进行纹理映射的原理过程[59]。

图7 利用粒子系统进行纹理映射示意图

上面的纹理映射方法仅仅适用于BlobTree结构中的节点，对于隐式曲面的其他操作会导致不连续纹理的出现，如图8(a)所示，Tigges 等[60]解决了BlobTree 结构中各种操作的纹理映射问题，比如在融合过程中，将融合后的点采用自适应轨迹方法，使采样点运动轨迹为采样点法向与纹理支持曲面的线性组合。图8(b)为用此方法得到的BlobTree 纹理映射结果[60]。

图8 两种方法对BlobTree 结构的纹理映射结果

在树木建模过程中，Hart 等提出了一种过程树皮纹理生成方法[61]，他们创建了从树木根部到树枝末梢的粒子流，每个粒子被限定在隐式曲面上，对根部的粒子给定一定的初速度，使得粒子沿网格运动。图9 为用该方法得到的树皮纹理[61]。

图9 过程树皮纹理

3 隐式曲面的可视化

隐式曲面的可视化方法相对于隐式曲面建模技术已经十分成熟，主要可以分为粒子可视化方法、网格可视化方法以及光线跟踪方法。

粒子可视化方法将空间采样点，沿隐式曲面法方向，运动至隐式曲面上来达到可视化效 果[62]。粒子可视化方法相对其他隐式曲面可视化方法来说效率高，但由于其缺乏视觉深度，这种方法并没有被广泛应用。

网格可视化方法，又称多边形化方法[63]，是用空间多边形来逼近隐式曲面，由于该方法可以很好的显示隐式曲面，并且运行速度快，所以在隐式曲面建模过程中被广大用户采用。多边形化方法是把隐式曲面所在空间分成体素，然后对每个体素判断与隐式曲面相交情况，并把每个体素内的隐式曲面用多边形逼近表示出来。多边形化方法因空间分割成体素的方式不同又分为收敛分割和跟踪分割方法。收敛分割方法判断体素内是否有更复杂的隐式曲面没有被表示出来，如果有，那么这个体素将继续被分割，直到满足分割要求为止，用收敛分割来实现可视化的隐式曲面的包围盒必须正确选择，否则会导致曲面绘制不完整；跟踪分割方法给定一定大小的体素，以一个与隐式曲面相交的体素为起点，判断周围体素是否与隐式曲面相交，如果相交，则继续判断周围体素，直到外围所有体素与隐式曲面不再相交为止，跟踪分割对于复杂的隐式曲面来说必须采用足够小的步长，否则会丢失隐式曲面的细节。

但用正常的多边形化方法得到的网格三角片规则性不好，可能生成大量狭长三角片和度数过高的顶点，会严重干扰法向计算、着色光滑及对模型的后续操作。余莉等于2004 年提出了隐式曲面快速多边形化算法[64]。该方法通过网格顶点优化以及网格细分两步可以得到规则网格，并且有更快的网格生成速度。

然而多边形化方法仍然对显示C0连续但不C1连续的曲面存在缺陷。Ohtake 等[65]利用将网格顶点向隐式曲面移动的方法对多边形化后的网格进行了优化，解决了这一问题。

光线跟踪方法是计算机图形学的经典可视化方法之一，隐式曲面的光线跟踪方法[66]由于需要判断大量的射线与隐式曲面相交问题，所以方法的速度很慢，但是该方法的绘制效果非常好。因此，在进行隐式曲面建模时，都是用多面体化进行中间过程的可视化，而最后结果的显示是用光线跟踪方法进行绘制。图10为基于隐式曲面的方法，利用光线跟踪方法可视化的结果[39]。

图10 利用光线跟踪方法将基于BlobTree 结构 得到的树木模型进行可视化的结果

4 发展趋势及讨论

基于隐式曲面的植物建模的研究在2004 年之后几乎没有进展，但隐式曲面建模技术却在近几年发展迅速。如挤压域隐式曲面(Extrusion fields)[67-68]， 隐 式 扫 描 曲 面(Implicit sweep surface)[69-70]等。

Barthe 等人对挤压域隐式曲面技术进行了深入的研究，他们提出用操作二维挤压域的隐式曲线来代替二元融合函数对原型的融合操作，所谓的二维挤压域是指二维空间中每个坐标都是一个隐式曲面的势函数，在实际应用中，常常以一个坐标的隐式曲面为融合框架，另一个坐标为融合方向，图11 为用该方法得到的隐式曲面模 型[68]。

图11 用挤压域隐式曲面技术构造的隐式曲面模型

Crespin 等人于1996 年提出了隐式扫描曲面(Implicit sweep surfaces)的概念， Schmidt 等人于2005 年将此技术发展，他们将有号距离场[71]，变分曲线等定义引入隐式扫描物体，消除了有界标量场下的不连续曲面形态，为交互性隐式建模提供了有力的保障。图12 为利用该方法得到的隐式曲面模型[70]。

图12 利用隐式扫描曲面技术构造的隐式曲面模型

交互性一直是隐式曲面建模的一个难题[72]，Schmidt[73]结合隐式曲面建模基本技术以及隐式扫描曲面和空间层次模型[74]，达到了实时交互的隐式曲面建模的目的。

但这些新技术并没有被应用到植物建模中，因此如何将这些新的隐式曲面技术应用在植物建模上成为了三维植物建模的真实感显示和隐式曲面建模应用领域新的课题。另外，现有的隐式曲面建模技术大部分都被应用在了树木建模上，在其他植物上的应用很少，所以如何将这一技术应用到更多植物上进行真实感显示也成为了这一领域新的课题。

另一方面，利用隐式曲面方法构建的植物模型的表面往往比较光滑，而真实植物器官的表面通常较为粗糙，老年的树木尤其如此。此外，大部分植物器官表面往往带有极为丰富的细节特征，如斑纹、绒毛等，这些细节特征很难通过规则的纹理图片获得。而在现有的三维植物建模和绘制中，对于植物器官表面纹理生成和映射已有较多的研究，并开发了较为有效的方法。因此，如何在隐式曲面建模技术中结合这些方法也是一个值得深入研究的问题。

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