例析“微元法”在高中物理中的应用

陈小磊

摘要:“微元法”是物理学中常用的一种方法,本文举例分析在中学物理学习中如何应用“微元法”解决物理问题。

关键词:微元法;高中物理;应用

中图分类号:G633.7 文献标识码:A文章编号:1003-6148(2009)11(S)-0071-3

微元法是物理学中分析问题和解决问题常用的一种方法,其基本思路是将复杂的物理过程分成若干个微小的“元过程”,然后对“元过程”进行分析,找出其物理规律,再将此规律通过一定的数学方法或物理思想运用到整个过程,进而解决问题。微元法在解决许多复杂物理问题中发挥了很大的作用,下面通过几个例子说明其具体的运用。

1 微元法求解位移

例题1 如图1所示,一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值为R的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面,现给金属杆一水平向右的初速度v0,然后

任其运动,导轨足够长,试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少?

解析 由受力分析(图2)可知,ab杆向右做加速度减小的减速运动,取运动过程中极短时间Δt进行分析,由于时间极短,可以视为匀速运动,速度设为v,发生一段极小的位移Δx,则ab杆上电流

I=εR=BLvR

杆受到的安培力

F安=BIL=B2L2vR

可见F安为恒力,选向右为正方向,在Δt时间内,F安的冲量为

ΔI=-F安Δt=-B2L2vRΔt

由于Δx=vΔt,所以ΔI=-B2L2RΔx,得

Δx= -RB2L2ΔI

金属杆在导轨上向右移动的最大距离就是对所有Δx求和,即

x=ΣΔx=Σ(-RB2L2ΔI)=-RB2L2ΣΔI

ΣΔI是安培力的总冲量,而对杆用动量定理可得总冲量

ΣΔI=0-mv0

∴x=RB2L2mv0

点评 这是一道典型的变加速运动求位移的问题,对整个过程来讲直接求解比较困难,但将运动无限微分后,对于时间极短的“元过程”,杆可以视为匀速运动,而安培力则为恒力,这就使问题得以简化,相关公式都可直接使用,再利用数学求和及冲量、动量定理即可推得结果。

2 微元法求解力

例题2 如图3所示,一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑均匀铁链,其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌面不接触,铁链单位长度的质量为ρ,试求铁链A端受的拉力T。

解析 取铁链上极短的一小段ΔL作为研究对象,作出受力分析图(图4),设该小段所在半径OC与OB成θ角且受到的沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔTθ,根据受力平衡,在切线方向上有

Tθ+ΔTθ=Tθ+ΔGcosθ

ΔTθ=ΔGcosθ=ρΔLgcosθ

整条铁链对A端的拉力是各小段ΔTθ之和,即

T=ΣΔTθ=Σ(ρΔLgcosθ)=ρgΣΔLcosθ

分析ΔLcosθ的意义(图5),由于ΔL所对圆心角Δθ很小,所以弧CD可视为一小段切线,CD⊥OC,∠DCE=θ,可见ΔLcosθ表示ΔL在竖直方向上的投影ΔR,因此

ΣΔLcosθ=R

∴T=ρgR。

点评 本题中铁链不可视为质点,无法直接受力分析求解,但仔细观察发现铁链内部的拉力不断变化,可从此拉力入手分析,将铁链分割成若干小段,每小段可看成质点,并进行受力分析,根据平衡条件可求得每小段受到相邻小段拉力之差(ΔTθ),再利用数学求和即可推得整条铁链在A端的拉力情况。

3 微元法求解速度

例题3 一个半径为R的环(环心为O2)立在水平面上,另一个同样大小的环(环心为O1)以速度v从前一环的旁边经过。试求当两环环心相距为d(2R>d>0)时,两环上部的交点A的运动速度(两环均很薄,可认为两环是在同一平面内,第二个环是紧贴着第一个环擦过去的)。

解析 设两环心相距为d时如图中的实线所示(图6),自此时刻起,经历一段极短的时间Δt,环O1运动到虚线位置(图7),交点A运动到C点(图中的A、C、D三点是相距很近的,为使相对位置清楚,图中的位移是夸大了的),弧AC、DC可以近似地看成是弦AC、DC重合的,动环的位移可用AD表示,交点的位移可用弦AC表示,其大小分别为

AD=vΔt ,AC=v瑼Δt

所以v瑼=ACADv

其中v瑼为交点的移动速度。又以α表示等腰△AO1O2的底角,且视AC为一小段切线,则:

∠CAD=π2-∠DAO2=π2-α

在等腰△ADC中,有

AD=2ACcos∠CAD

ACAD=12cos∠CAD=12sinα

其中sinα=R2-(d2)2R

∴v瑼=v2sinα=Rv4R2-d2

点评 题目中从整体来看A点做变速圆周运动,速度与环速无直观联系,但取一段微小的“元过程”进行分析,可作出极短时间内A点运动的轨迹,并可与圆环的位移对比分析,利用“元过程”时间极短的特性,将圆弧简化为直线和切线,避开了问题的复杂点,再加上数学推导,找出两速度的关系迎刃而解。

4 微元法求解时间

例题4 A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为L的三角形顶点A、B、C出发,以相同的速率V运动,运动中始终保持A朝着B、B朝着C、C朝着A。试问经多长时间三人相聚?

解析 从三个演员刚刚出发时开始,取极短的时间Δt,每个演员的运动近似为直线运动,则第一个Δt内A、B、C的运动方向和位移,以及第一个Δt末三者的位置A1、B1、C1如图8所示。这样可依次作出以后每经Δt,以三个演员为顶点组成的三角形A2B2C2,A3B3C3,…。由速率V相同可得,三个演员都作等速率曲线运动,而且任何时刻三个演员的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上,但这正三角形的边长不断缩小,最终三人于△ABC的中心相聚。图中

〢A1=〣B1=VΔt

从B1作B1D1⊥AB于D1,则

〣D1=〣B1猚os60°=12VΔt

〢1D1=L-〢A1-〣D1

=L-VΔt-12VΔt

=L-32VΔt

因为在Rt△B1A1D1中∠B1A1D1很小,可以认为

〢1B1=〢1D1=L-32VΔt

可见,经过Δt,A、B间距离缩小了

ΔL=〢B-〢1B1=32VΔt

且每一个Δt内情况相同

Δt=23VΔL

三人一起相聚于三角形ABC的中心所需时间即为所有Δt之和,即

T=ΣΔt=Σ23VΔL=23VΣΔL=2L3V

点评 对于不规则的变速曲线运动,没有直接求解时间等物理量的公式,但本题中三演员的运动通过微元分析后很快发现物理规律,将此规律应用到整个过程即可很容易地求出总时间。

以上列举了微元法的几个常见的应用,除此之外,其他许多物理问题都可以运用此法求解,但不论什么题型,微元法始终是从事物的微小部分入手分析,达到解决事物整体问题的方法,是从部分到整体的思维方式。在一定的条件下,通过微元法可以化曲为直、化变为恒、化动为静,将变化的、运动的对象转化为不变的、静止的元对象,以便进行分析和处理,从而归纳出适用于整体的结论,使复杂问题得到简化。

(栏目编辑张正严)