“同增同减”还是“一增一减”?

殷建楼

1 问题的提出

现行高中物理教材(人教版选修3-4P78)给出了某一时刻沿z轴传播的平面正弦电磁波的波形图,如图1所示。图中体现了在电磁波的传播过程中,同一时刻同一地点的电场强度E和磁感应强度B的大小同时增大或同时减小。这使得很多学生不解:既然E、B是相互激发的关系,那么随时间按正弦规律变化的场应激发随时间按余弦规律变化的场,即在E、B两者中,一者增加,另一者应该减小,即两者间应该有π2的相位差,怎么会是同增同减的关系?

本文将从麦克斯韦方程组的两个环路定理出发,讨论该问题。

2 同一点E、B两矢量成正比的推证

2.1 准备知识:两个环路定理

以真空为例,电场和磁场相互激发,遵循两个环路定理。

电场的环路定理:∮E•dl=-dφ瑽dt (E指电场强度、φ瑽=B•S指磁通量),这个定理表明了磁场激发电场时,电场强度E与磁感应强度B之间的激发关系,等式两边分别是E的环路积分和磁通量φ瑽的导数,并不是E与B间简单的导数关系。这个定理其实与法拉第电磁感应定律ε=-dφ瑽dt(负号代表的是感应电动势的方向与磁通量的变化之间成右手反螺旋关系)表述相同的内容:电动势与磁通量之间的导数关系。

磁场的环路定理:∮Bμ0•dl=ε0dφ璄dt(μ0:真空磁导率,ε0:真空介电常数,φ璄=E•S指电通量),这个定理表明电场激发磁场时,磁感应强度B与电场强度E之间的激发关系,等式两边分别是B的环路积分和电通量φ璄的导数,也并不是简单的B与E的导数关系。

2.2 E、B两矢量成正比的推证

以正弦磁场激发电场为例,如图2所示,设一平面电磁波沿z轴传播,磁场矢量沿x轴,其磁场波方程为B=B璵sinω(t-zv),则此变化的磁场将激发沿y轴的电场,从而激发沿z轴传播的电场波。

为简单起见,将图2改画成如图3所示的示意图。在yOz平面内取一闭合曲线12341,从B矢量振动的角度来说,由于空间各点的B随时间变化(如图3中磁感应强度从B变为B′),从而导致穿过平面12341的磁通量发生变化,进而激发电场,产生电场波;异或从磁场波的传播来说,由于波形的平移,导致穿过闭合曲线12341围成的平面的磁通量发生变化,从而产生电场,激发电场波。

取极短的时间dt,磁场波向右平移vdt的距离,移至虚线处,穿过闭合曲线12341的磁通量的变化可认为由两部分构成:图中左侧阴影区磁通量的加入和右侧阴影区磁通量的移出。将环路定理∮E•dl=-dφ瑽dt应用于12341曲线,设1处激发的电场强度为E1,4处激发的电场强度为E4,l12=l34=l。等式左端:∮12341E•dl=E1l12-E4l34;又设t时刻1处的磁感应强度为B1,4处的磁感应强度为B4,则12341平面的磁通量的变化为:dφ瑽=B1lvdt-B4lvdt。等式右边:-dφ瑽dt=-B1lvdt-B4lvdtdt=-lv(B1-B4)。所以,-lv(B1-B4)=l(E1-E4),即-v(B1-B4)=E1-E4。因为此式对任何曲线均成立,若仅考虑大小,则应有E1=vB1,E4=vB4成立,所以对于z轴上的任一点均有E=vB,即z轴上任一点B与E成正比。也就是说若有一沿z轴传播的磁场波,必定激发一同频同相的沿z轴传播的电场波,二者形成不可分割的统一体:平面电磁波。

同样,一列正弦电场波也必然激发一同频同相变化的正弦磁场波,证明过程同上。由以上分析可知平面电磁波传播过程中的同一点E、B两矢量应该是正比关系。

3 与中学常见的一类习题辨析

如图4所示,在某空间区域存在一变化磁场,B=B0sinωt,在磁场中垂直于磁场放有一半径为r的金属环,试分析金属环所在处的感应电场随时间变化的规律。

分析 变化的磁场将会激发感生电场,其电场线为一组同心圆,如图中虚线。

因中学阶段没有介绍环路定理,所以此题也可用法拉第电磁感应定律求解。

穿过金属环的磁通量为

=B0sinωt•πr2

金属环中的感应电动势

ε=Δ鸡t=B0ωπr2cosωt

则环所在处的电场强度为

E=εd=B0ωπr2cosωt2πr

=B0ωrcosωt2

此题中电场与磁场是导数关系,存在π2的相位差,一者增加另一者减少。但此题中变化的磁场与平面电磁波中的磁场波并不遵循相同的规律,此题的磁感应强度虽然随时间按正弦变化,但空间各点磁场变化同步;而平面电磁波中的磁场波传播过程中磁感应强度不仅随时间变化也随空间变化,即空间各点磁场不同步,两种情形下磁通量的变化率不同,也就激发出不同规律变化的电场。

(栏目编辑罗琬华)