中职学生函数概念学习的个案研究

黄惠如

【摘 要】函数概念是中职数学的重要内容,但同时又是学生最难理解的内容之一。本文通过对中职学生函数概念学习的个案研究,提出了在函数概念教学中,加强“变量”意识培养、全面展现函数表示、渐进渗透明晰概念、注重“数形结合”思想等四点建议。

【关键词】函数概念 个案研究 学生

一、个案研究的目的

函数概念是中职数学的重要内容,同时函数也成为中学数学中的纽带。因此,学生学好函数知识,可促使学生更好地掌握中学数学中的基础知识,有利于学生以函数所反映的运动变化、相互联系的观点来贯穿所学的基础知识,形成良好的知识体系。而函数概念发展的曲折性和函数定义的多样性必然导致学生对函数概念的理解是多种多样的,会造成理解上的困难。因此,有必要研究中职生对函数概念理解的具体状况。本人选择了一些学习态度较好、智力状况一般、数学学习状况一般的学生的学习片断作个案研究,以此来了解中职生对函数概念学习的把握情况。

二、个案研究的过程

同学A,女,中职一年级会计专业学生,对人友善,学习认真踏实,智力活动表现一般,按中考数学成绩在全班51名学生中排名31,遇到不懂的问题爱请教老师和同学。

在学习了函数的表示法后,同学A和我进行了一次讨论:

A:我觉得课本上的例子气温随时间变化的情况不是函数关系。

T:为什么?

A:因为它的图像不是直线或光滑的曲线。

T:你认为函数是什么?

A:起码是一个等式,并且含有两个未知数,如初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数都可以用等式表示,而且它们的图像都是直线或光滑的曲线。

看来,学生A用函数的某些表象替代了函数概念的本质特征,以偏盖全。我不得不安排在自习课给她补习函数的概念、三要素,特别是对对应法则的认识这些知识点,让她加深对函数概念的本质理解。

过了一两个星期,我布置了一道作业“求函数y=x2-2x-3在[0,3]内的最小值”。同学A是这样解答的:因为f(0)=-3,f(3)=0,所以函数在在[0,3]内的最小值是-3。她的解释是初中时老师就是这样教的,至于为什么要这样解她不知道也没有追究。我翻看了她的初中教科书,的确有这样的求函数最值的题目,但是在函数的某个单调区间内求解,两道题目的这种区别同学A并没有注意。和同学A同一解法的同学占了多数,他们都把求函数的最值问题看作是求代数式的值,亦即许多学生对函数的理解只停留在简单运算上,他们并没有真正的理解函数的动态变化过程,没有把函数看作变量研究。我不得不在课堂上再次讲解函数的单调性问题。

这次后同学A的课堂练习及课后作业都没有什么特别的地方。在第三章《函数》的测验中还考了全班第10名。然而第四章《指数函数和对数函数》的测验却掉到43名。这给她的打击很大,我也吃了一惊。我想了解原因。

T:这次测验你的成绩不怎么理想,你能谈谈这段时间的学习情况吗?

A:平时我还是能听明白你讲课的内容,作业也能应付,但在测验中我发现自己很多基础的东西都忘记了,很多性质也搅在一起,我只凭模模糊糊的印象硬着头皮作答。

T:是这样吗?那么你说说你是如何区别y=a瑇和y=log璦x这两个函数的?

A:不知道,我经常把它们弄混。

T:你是如何记忆这两个函数的性质的?

A:主要按课本上学习它们的先后顺序记忆。

T:你能否画图说明?

(A努力地回忆这两个函数的图象,但把两种图象混在一起了。)

学生A对待数学科目表现出屡败屡战的执着,然而,她的认真努力并没能使她很好的掌握函数知识。

三、关于函数概念教学的反思

1.加强“变量”意识培养

人类的认识规律是先从具体事物开始,再上升到抽象变化的高度。学生的学习过程也是这样。从小学的“数”到初中的“符合语言”是一个飞跃,从初中的“定量”到高中的“变量”是一个更大的飞跃。从学生A的个案可以看到,在学生的头脑中函数只等同于方程或等式,求函数的最值就是求代数式的值,他们还未形成变量的观点去理解函数概念的相关问题。所以在函数的教学中,首先要有意识地、逐步地培养学生的“变量意识”。讲清变量“x”、“y”究竟代表什么,范围怎样,可以怎样变化,可以怎样替换,两变量之间的关系如何,使学生明白如果定义域和值域相同,“ f(x)”和“f(t)”是两个完全相同的函数。只有当学生认识“变量”、掌握“变量”,进而喜欢上“变量”,形成一种“变量意识”,才会更好的掌握函数概念,才会完成初等数学中这个思维层次的飞跃。

2.全面展现函数表示

学生A对函数概念认识的以偏盖全,既有她自身理解的主观原因,也有初中课本选取编排的客观因素。初中教科书介绍了具体的函数,如一次函数、二次函数的图像、性质及解析式表示,致使学生认为函数都可以用解析式表示,函数的图像都是连续光滑的直线或曲线。学生对函数多种表示方法的理解掌握程度直接地反映了学生对函数概念的理解程度。学生理解了函数的表示方法的多样性也就加深了对函数概念本质的理解。在函数概念教学中,可以通过列举心电图、幼儿生长表等例子,利用图像、表格、符号、箭头等多种形式来表示函数,使学生在不同的表示法中认识同一个概念,反思多种表示法背后函数概念的共同点,从而体会形式与本质之间的紧密联系,进一步理解函数概念的本质。

3.渐进渗透明晰概念

函数概念的抽象性和函数表示的多样性决定了学生函数概念的形成不能一蹴而就,它是一个反复体会、螺旋上升的过程,是一个由浅入深、循序渐进的过程。中职学生在初中函数变量说学习的基础上,通过函数对应说学习进一步理解函数的本质属性,掌握函数的形式化描述,明确其三要素及表示符号;然后联系生活实际问题,阐述函数不同的表示方法和基本性质,构建函数的一般概念;再通过对指数函数、对数函数等新的具体函数的研究,加深学生对函数概念的理解。需要注意的是,在渐进的教学过程中,教师始终要有一个“概念教学”的意识。

4.注重“数形结合”思想

学生A把函数的图像与性质孤立对待,不会利用图像记忆性质,也就更不会利用图像帮助解决数学问题了。在初中以前的数学知识,“数”与“形”是分开的,但到中职阶段学习了函数后,由于函数概念需要同时考虑几种表示,并要协调各种表示之间的关系,故而常常需要在各种表示之间进行转换。因此,在函数教学中,应注重“数形结合”思想的培养。“数形结合”的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观。心理学理论告诉我们,利用图形语言进行记忆具有符号语言所不能及的优越性。函数的性质都可采用图形语言来帮助理解和记忆,这样学生学起来就会感到很轻松而且记忆也很深刻。同时训练“数”“形”互化,建立图形语言与符号语言的转换关系,利用图形语言来辅助思维和表达思维,使学生更易接受和掌握函数知识。

参考文献:

[1]郝妍琴.关于中职生函数概念理解的调查研究[J].教育与职业,2006,(6):114.