中学数学教科书中的开放题

袁玉清

一段时期中,“问题解决”成为我国数学教育界的重要议题,现在把议题转移到开放题上来,可以认为是“问题解决”研究的进一步深入,本文拟对开放题的含义以及怎样在中学数学教科书中引入开放题的问题作初步探讨。

一、什么是开放题

在对开放题的讨论中,对于什么是开放题,大家的意见尚不一致,因而有必要对开放题的含义作一个规定。此外,有的同仁把某些探索性问题也归入开放题,虽然对探索题的研究具有公认的意义,但在讨论与研究开放题的时候,有必要把这两者加以区别。

以下是一些学者关于什么是开放题的论述:

(1)答案不固定或者条件不完备的习题,我们称为开放题;

(2)开放性题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题;

(3)有多种正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会,在解题过程中,学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合,去发现新的思想方法;

(4)答案不唯一的问题是开放性的问题;

(5)具有多种不同的解法,或有多种可能的解答的问题,称之为开放性问题;

(6)问题不必有解,答案不必唯一,条件可以多余。

考察以上论述,关于开放题的条件的描述有:不完备;可以多余;多余需选择,不足需补充;等等。

关于开放题的答案(结论、解法)的描述有:不固定;有多种;不唯一;不必唯一;不确定;不必有解;等等。

从上可知,虽然对问题条件的描述多种多样,但对答案的看法比较一致:答案不唯一。笔者认为:(1)问题的“结论”是在问题系统内部相对于问题的“条件”而言的,不能与问题的“答案”概念混淆,问题的“答案(解法)”是相对于整个问题而言的;(2)对于问题的条件不作太多的限定,对问题的答案给以宽松的环境,但要求是多样化的,丰富多彩的,这正是开放的含义所在。所以,笔者认为对开放题可以作出以下简明的描述:答案不唯一的问题称为开放题。开放题的一个显著特征是:答案的多样性(多层次性)。

一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如,对n个人两两握手共握多少次的问题,在学生学习组合知识以前解法很多,是一个开放题,在学习组合知识之后则是一个封闭题。此外,对一个开放题来说,解决问题的方法的种数和解决问题的思维水平层次是两个基本的指标。因而,可以引入问题的开放度(OpeningDegree)概念:OD(相对于知识的时机,方法≥x,水平≥y)。上面,“相对于知识的时机”是我们对这个问题的一个注解,说明我们何时用这个问题,可指明是在学生学习了某一知识内容之前,还是学生学习了某一知识内容之后,或者是在某一个学习阶段,例如在初中一年级、整个高中阶段等;“方法≥x”是对解决问题的方法种数的描述;“水平≥y”是对解决问题的思维水平层次的描述。

在一些讨论中常常把开放题与探索题混同起来,可能会对开放题的研究带来影响,有必要把两者予以区别。一般地,探索题是指条件完备,结论未给出而需要学生进行探索,猜想并加以证明的问题。当然,开放题集合与探索题集合的交集应该是非空的。

二、教科书中的开放题

教科书是教师组织教学,学生学习的主要依据。教科书中引入开放题,将对教学产生较大影响,并有力地加快在教学中引入开放题的进程。在由我室编写的《九年义务教育三年制初级中学教科书》《义务教育初中数学实验课本》《高级中学试验课本》《全日制普通高级中学教科书(试验本)》等教科书中,都已编入了一些开放题,但形式比较单一,数量也偏少。我们要在认真研究的基础上积极而慎重地引入开放题,以促进中学数学开放题教学。怎样在教科书中引入开放题是一个重要问题,希望大家一起来讨论研究。

作者单位:四川省中江县南华镇中学