寻找那些美丽的数

2009-09-06小七小璐

科学大众（中学） 2009年8期

关键词：四位数个位数位数

小　七　　小　璐

数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。

一个个数字，非但毫不枯燥，而且生机勃勃，鲜活亮丽!今天，我们给大家介绍的二种有意思的数!

首先，提一个问题：大家知道12345678987654321这个十七位数，是由哪一个数的平方得到的呢?

这个问题，看似很复杂，但是我们先来看下面的算式：

11²=121

111²=12321

1111²=1234321

11111²=123454321

你知道它在何时终止吗?

观察上面几个式子，我们就能很容易发现规律：11…11²=123…n…321(等号前面共有n个1，其中n=1，2，……，9)。由此1 2345678987654321这个十七位数，是由哪一个数平方得到的，也便不言而喻了：它是111111111得到的。

瞧，这些数：121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321的排列多么像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齐有序。像上面这些数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大，由1到9，且是连续自然数，达到顶峰，以后又逐渐减小，由9到1，它活像一枚橄榄，所以我们称这些数为橄榄数(它是一种特殊的回文数)。

这样说来，橄榄数只有八个121，12321，1234321，……，12345678987654321，显然最小的橄榄数是121，最大的橄榄数是‘12345678987654321。

再来寻找一下规律：

对各个橄榄数121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321分析可分别得到：

1+2+1=2²

1+2+3+2+1=3²

1+2+3+4+3+2+1=4²

1+2+……+(n-1)+n+(n-1)+……2+1=?=n²

(其中n=1，2，……，9)

即橄榄数各个数字的和等于它中心数字的平方。

请大家想一想：12345654321是不是一个橄榄数，它又是哪个数的平方呢?这个数能被3、7、11、13、37整除吗?

(参考答案：12345654321=111111²。而111111能被3，7，11，13，37整除，所以12345654321也能被3，7，11，13，37整除)

我们知道了121，12321，1234321，123454321……是“橄榄数”。还有一些数，如：26562，9461 649，虽高低交错，却也左右对称。因此，这类数又被我们称作“对称数”，根据它们的风格，不论你顺读，还是倒过来读，都完全一样，所以我们还可以把它们叫做“回文数”。

对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数：奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数：偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数。

对称数的位数，一般大于或等于两位。最小的对称数是11，没有最大的对称数。

对称数排列有序，整齐美观，形象动人。那么，怎样能够得到对称数呢?

有人试着这样做：25+52=77，得到的和正好是对称数：76+67=143，143+341=484，也得到了对称数：59+95=154，154+451=605，605+506=1111又得到了对称数。于是人们猜想：把某些自然数与它的逆序数(在数学中，我们把具有1 089和9801这种对称格式的两个数叫做互为镜反数，有时也称一个数是另一个数的逆序数)相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，可得到对称数，这就是著名的“对称数猜想”，至今仍然是个谜。

那么对称数又有哪些性质?

(1)任意一个数位是偶数的对称数，都能被11整除。如一1001÷11=91，5445÷11=495

(2)两个由相同数字组成的对称数，它们的差必定是81的倍数。

如：9779-7997=1782=81×22，43234-34243=8991=81×111

(3)人们发现，有些对称数相乘之后，所得乘积还是对称数，如：212×141=29892。

对称数中平方数是非常多的。如：121=11²，12321=111²，484=22²，676=26²。一个整数的三次方、四次方也有类似的情况。如：343=7²，1331=11²等。一个整数的五次方、六次方……能够得到对称数吗?这方面的探索令人失望，现在还没有谁发现存在五次方数的对称数，也没有发现次数更高的对称数。

更为有趣的是“回文数”中的“回文年”，如一2002年，2112年我们称它们是“回文年”等。

请你想一想：

1把自己的年、月、日连成一个自然数，求出自己的回文数。

2“青山绿水×4=水绿山青”中的文字分别代表哪些数字?

3“细心大胆×9=胆大心细”中的文字分别代表哪些数字?

参考答案：

1如：小强的生日是97年12月01日，把971201看成一个数，用回文数猜想可求出它的回文数是一个8位的回文数，即51866815。

2因为一个四位数的4倍后，积也是四位数，所以被乘数的千位数只能是1、2，又因为积是偶数，所以“青”字只能是2：因为积的个位数字是2，所以被乘积的“水”字只能是3、8，从积的千位数字分析“水”字只能是8、9，所以“水”字是8：分析被乘数百位数字“山”字只能是0、1、2，因为“青”宇为2，“山”字只能是0、1，当“山”字取0时，找不到“绿”字对应的整数，故“山”只能取1，并可求出“绿”字为7。所以：青山绿水=2178，水绿山青=8712。

3因为一个四位数的9倍后积也是四位数，所以被乘数的千位只能是1，即“细”字是1，因为积的个位数字是1，所以“胆”字只能是1、9，从积的干位数字分析“胆”字只能是9，因为“胆”字是9；分析被乘数的百位数字，它只能是0、1：因为“细”字是1，所以“心”字是0，当“心”字取0时，得另一个“大”字是8。所以：细心大胆=1089，胆大心细=9801。

我们探讨了对称数(回文数)，我们知道对联中有“回文联”(如：处处飞花飞处处，声声笑语笑声声)，诗词中有“回文诗”(如：山连海来海连山)。而在数学中不但有“回文数”还有“回文式”，下面我们再来研究一下“回文式”。

如：38+61=16+83

43-16=61-34

36×42=24×63，

12x231=132×21。

43×6528=8256×34，

168×861=294x492，

1456×6541=2743×3472，

13248×84231=23184 x48132等，像上面这样的式子，我们称做“回文式”。

这样的“回文式”还有吗7

下面让我们以38+61=1 6+83为例，找出两位数加两位数等于两位数加两位数回文等式中的规律。

设这两个两位数分别是lOa+b，10c+d，要使(10a+b)+(10c+d)=(10d+c)+(10b+a)，Ⅲ0有a+c=b+d。